Las masas de A y B en la figura (i) y (ii) son 10 kg y 5 kg, respectivamente. El coeficiente de fricción de A con la mesa es de 0.20.
a. Hallar la masa mínima de C que evitará que A se mueva.
DCL
Ecuaciones de Newton
Cuerpo A según x: - FrozA + T = 0
Cuerpo A según y: NA – PA – RCA = 0
Cuerpo C según y: RAC – PC = 0
Cuerpo B según x: - T + PB = 0
donde
FrozA = fuerza de rozamiento estático
máximo entre el cuerpo A y la mesa = μe
NA
μe
= coeficiente de rozamiento estático entre el cuerpo A y la mesa = 0,2
NA = fuerza que ejerce la mesa sobre el
cuerpo A
T = tensión de la soga
RCA = reacción del cuerpo C sobre el
cuerpo A
RAC = reacción del cuerpo A sobre el
cuerpo C
| RCA | = | RAC | par de acción-reacción
PA, PB, PC = peso de los cuerpos A, B y
C respectivamente = masa g
mA = masa del cuerpo A = 10 kg
mB = masa del cuerpo B = 5 kg
mC = masa del cuerpo C
sumando las ecuaciones según y de los
cuerpos A y C y despejando NA
NA = PA + PC = mA g + mC g
calculando FrozA
FrozA = μe
(mA + mC) g
Sumando las ecuaciones según x de los
cuerpos A y B
PB = FrozA = μe
(mA + mC) g
despejando mC
mC = mB / μe - mA = 5 kg / 0,2 - 10 kg = 15 kg
b. Si se retira el
cuerpo C, calcular el vector aceleración de las masas A y B considerando un μd = 0,1.
DCL
Ecuaciones de Newton
Cuerpo A según x: - FrozA + T = mA a
Cuerpo A según y: NA – PA = 0
Cuerpo B según y: - T + PB = mB a
donde
FrozA = Fuerza de rozamiento dinámico
entre el cuerpo A y la mesa = μd NA
μd
= coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo A y la mesa =
0,1
NA = fuerza que ejerce la mesa sobre el
cuerpo A
T = tensión de la soga
PA, PB = peso de los cuerpos A y B
respectivamente = masa g
mA = masa del cuerpo A = 10 kg
mB = masa del cuerpo B = 5 kg
a = aceleración del sistema
despejando NA de la ecuación según y del
cuerpo A
NA = PA = mA g
calculando FrozA
FrozA = μd mA g
restando las ecuaciones según x de los
cuerpos A y B
g mB - μd g mA =
(mA + mB) a
Despejando a
a = g (mB - μd mA) / (mA + mB) = 10
m/s2 (5 kg – 0,1*10 kg) / (10 kg + 5 kg) =
a = 2,67 m/s2
vA = vAB + vB (vectorial)
donde
vA = velocidad de A = a t = 2,67 m/s2 * 0,5
s = 1,33 m/s î (dirección
x, sentido positivo)
vAB = velocidad relativa de A respecto
de B
vB = velocidad de B = 1,33 m/s ĵ (soga ideal)
reemplazando y despejando vAB
vAB = 1,33
m/s î + 1,33
m/s ĵ
d.1. Si se vuelve a colocar el cuerpo C sobre el A
(misma situación que en el ítem a), pero la soga se sujeta del cuerpo C, ¿qué coeficiente de rozamiento es necesario entre el
cuerpo A y C para que los cuerpos permanezcan en equilibrio?
DCL
Ecuaciones de Newton
Cuerpo A según x: - FrozA + FrozCA = 0
(está en equilibrio)
Cuerpo A según y: NA – PA - RCA = 0
Cuerpo B según y: - T + PB = 0 (está en
equilibrio)
Cuerpo C según x: T - FrozAC = 0 (está
en equilibrio)
Cuerpo C según y: RAC – PC = 0
donde
FrozA = Fuerza de rozamiento estático
máximo entre el cuerpo A y la mesa = μe
NA
μe = coeficiente de rozamiento estático
entre el cuerpo A y la mesa = 0,2
NA = fuerza que ejerce la mesa sobre el
cuerpo A
RCA = fuerza ejercida por el cuerpo C
sobre el cuerpo A
RAC = fuerza ejercida por el cuerpo A
sobre el cuerpo C
| RCA | = | RAC | par de acción-reacción
FrozCA = fuerza de rozamiento
entre los cuerpos A y C, sobre el cuerpo A = μeCA
RAC
μeCA = coeficiente de rozamiento estático
entre los cuerpos A y C
FrozAC = fuerza de rozamiento
entre los cuerpos A y C, sobre el cuerpo C
| FrozCA | = | FrozAC | par de
acción-reacción
T = tensión de la soga
PA, PB, PC = peso de los cuerpos
A, B y C respectivamente = masa g
mA = masa del cuerpo A = 10 kg
mB = masa del cuerpo B = 5 kg
mC = masa del cuerpo C = 15 kg
despejando RAC de la ecuación según
y del cuerpo C
RAC = PC = mC g
FrozAB = μeCA
FAC = μeCA mC g
restando las ecuaciones según y de los
cuerpos B y C y despejando FrozAB
FrozAB = PB = mB g
reemplazando FAC e igualando
μeCA mC g = mB g
despejando
μeCA =
mB / mC = 5 kg / 15 kg = 0,33 o mayor
d.2. ¿Cómo se
moverían los cuerpos si, entre A y C, existiese el mismo coeficiente de roce
que entre A y la mesa?
Si μe
= 0,2 (entre A y C) < 0,33 à
B y C se mueven
Cuerpo C según y: RAC – PC = 0
Donde
RCA = fuerza ejercida por el cuerpo C
sobre el cuerpo A
PC = peso del cuerpo C = mC g
Reemplazando
RAC = mC g
FrozCA = μdCA mC g = μd RAC = 0,20 * 15 kg 10 m/s2 =
30 N
Cuerpo A según y: NA – PA - RCA = 0
Donde
NA = fuerza que ejerce la mesa sobre el
cuerpo A = PC = mC g
RCA = fuerza ejercida por el cuerpo C
sobre el cuerpo A
PA = peso del cuerpo A = mA g
Reemplazando
NA = PA + RCA
FrozA max = μe
NA = μe
g (mA + mC) = 0,20 * 10 m/s2 (10 kg + 15 kg) = 50 N
FrozCA < FrozA max à A NO se mueve
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