Física 1 (Ing.) Práctica 1.12 - Cinemática y Dinámica

 Una llanta de radio R rueda sin deslizar por un plano horizontal, con velocidad constante 𝑣⃗₀ :

  

 

a.     Verificar que la posición de un punto de su borde, inicialmente en el origen de coordenadas, está dada por las ecuaciones:      

x (t) = R (ω t - sen ω t)

y (t)= R (1 - cos ω t)

En donde ω = v₀ / R es el módulo de la velocidad angular de la llanta y t se mide desde el instante en que el punto está inicialmente en contacto con el plano.  

 

 

Movimiento del centro de llanta

 

rc(t) = vo t ǐ + R ǰ

 

Donde

rc(t) = desplazamiento del centro de la llanta

vo = velocidad del centro de la llanta = ω R

ω = velocidad angular

R = radio

 

Reemplazando

rc(t) = ω R t ǐ + R ǰ

 

 

Movimiento de un punto del borde

 rp(t) = x(t) ǐ + y(t) ǰ

donde

rp(t) = posicion de un punto del borde

x(t) = posicion en el instante t = -  R sen (θ)

y(t) = altura en el instante t = -  R cos (θ)

θ = angulo barrido = ω t

 

reemplazando

rp(t) = -  R sen (ω t) ǐ  -  R cos (ω t) ǰ

 

 

Sumando ambas ecuaciones

r(t) = rc(t) + rp(t) = ω R t ǐ + R ǰ -  R sen (ω t) ǐ  -  R cos (ω t) ǰ

 

Reordenando

r(t) = (ω R t -  R sen (ω t)) ǐ  + (R -  R cos (ω t)) ǰ

 

 

x(t) = R (ω t -  sen (ω t))

y(t) = R (1 -  cos (ω t))

 

.

b.     Hallar las componentes de la velocidad y de la aceleración del punto.

 

v(t) = d r(t) / dt = (ω R  -  R ω  cos (ω t)) ǐ  + ( R ω sen (ω t)) ǰ

 

a(t) = d v(t) / dt =  ( R ω^2  sen (ω t) ǐ  + ( R ω^2 cos (ω t)) ǰ

 

 

c.      Dibujar la velocidad y la aceleración del punto.