Física 1 (Ing.) Práctica 1.17 - Cinemática y Dinámica

Halle la expresión para la aceleración de los cuerpos m₁ y m₂ y la tensión en las cuerdas en cada caso. Considere las poleas como ideales, y desprecie la fricción de m₁ con la superficie.

Primero resuelva algebraicamente y luego analice el movimiento para m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

Caso A 

DCL

 

 

Cuerpo 1. Según x: T = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Cuerpo 2. Según x: P2 – T = m2 a2

 

Donde

T = tensión

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2 = a1 = a (cuerda ideal)

 

Sumando ambas ecuaciones

m2 g = (m1 + m2) a

 

Despejando a

a = m2 g / (m1 + m2)

 

Reemplazando T

T = m1 a = m1 m2 g / (m1 + m2)

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a = m2 g / (m1 + m2) = 6 kg 10 m/s² / (4 kg + 6 kg) = 6 m/s²

T = m1 m2 g / (m1 + m2) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (4 kg + 6 kg) = 24 N

 

 

Caso B

DCL

 

Cuerpo 1. Según x: T1 = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Polea:  T2 – T1 – T3 = 0

Cuerpo2. Según x: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

T2 = tensión del cuerpo 2

T3 = tensión de la polea al techo 

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Relación de movimientos

 

 

 

 

L = AB + BC + CD

L´ = A´B + BC´+ C´D

 

Restando ambas ecuaciones

L – L´ = AB – A´B + BC – BC´+ CD – C´D

 

Con

L = L’ = longitud de la cuerda

AB – A´B = d1

BC – BC´= - dp

CD – C´D = - dp

 

reemplazando

 d1 – dp – dp = 0 à d1 = 2 dp

 a1 = 2 a2

 

Polea

T2 – T1 – T3 = 0 à T2 = 2 T1

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 = m1 a1

m2 g – 2 T1 = m2 a1 / 2

 

Reemplazando T1

.m2 g – 2 m1 a1 = m2 a1 / 2

 

Despejando a1

a1 = m2 g / (m2 / 2 + 2 m1)

a2 =  a1 / 2

 

Reemplazando T

T1 = m1 a1 = m1 m2 g / (m2 / 2 + 2 m1)

T2 = 2 T1

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a1 = m2 g  / (m2 / 2 + 2 m1)  = 6 kg 10 m/s² / (6 kg / 2  + 2 * 4 kg) = 5,45 m/s²

a2 = 5,45 m/s² / 2 = 2,73 m/s²

T1 = m1 m2 g / (m2 / 2 + 2 m1) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (6 kg / 2 + 2 * 4 kg) = 21,82 N

T2 = 2 T1 = 2 * 21,82 N = 43,64 N

 

  

Caso C 

 

DCL

Cuerpo 1. Según x: T1 = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Polea:  T2 + T3 – T1 = 0

Cuerpo2. Según x: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

T2 = tensión del cuerpo 2

T3 = tensión de la polea al piso 

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Relación de movimientos 

L1 = AB + BC

L1´ = A´B + BC´

 

Restando ambas ecuaciones

L1 – L1´ = AB – A´B + BC – BC´

 

Con

L1 = L1’ = longitud de la cuerda 1 (desde el cuerpo 1 a la polea móvil)

AB – A´B = d1

BC – BC´= - dp

 

reemplazando

d1 – dp = 0 à d1 =  dp

a1 = ap

 

L2 = EC + CD

L2´ = EC´ + C´D´

 

Restando ambas ecuaciones

L´2 – L2´ = EC – EC´ + CD – C´D´

 

Con

L2 = L2’ = longitud de la cuerda 2 (desde el cuerpo 2 al piso)

EC– EC´ = dp

CD – C´D´ = CD – C´D + C´D – C´D´ = dp + d2

 

reemplazando

 dp  + dp – d2 = 0 à 2 dp =  d2

 ap = a2

 2 a1 = a2

 

Polea

T2 + T3 – T1 = 0 à 2 T2 = T1

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 = m1 a1

m2 g – T1 / 2 = m2 2 a1

 

Reemplazando T1

m2 g –  m1 a1 / 2 = m2 2 a1

m2 g = 2 m2 a1 + m1 /2 a1

 

Despejando a

a1 = m2 g / (2 m2 + m1 / 2)

a2 =  2 a1 

 

Reemplazando T

T1 = m1 a1 = m1 m2 g / (2 m2 + m1 / 2)

T2 = T1 / 2  

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a1 = m2 g / (2 m2 + m1 / 2)  = 6 kg 10 m/s² / (2 * 6 kg  + 4 kg / 2) = 4,29 m/s²

a2 = 2 * 4,29 m/s² / 2 = 8,57 m/s²

T1 = m1 m2 g / (2 m2 + m1 / 2) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (2 * 6 kg + 4 kg / 2 = 17,14 N

T2 = T1 / 2 = 17,14 N / 2 = 8,57 N