Física 1 (Ing.) Práctica 1.22 - Cinemática y Dinámica

Un péndulo simple de longitud L oscila con amplitud A. Expresar, como función del

tiempo :

 

 

Ecuaciones de Newton

Según radial: T – Pr = m ac

Según tangencial: Pt = - m at

 

Donde

T = tensión del hilo

Pr = componente radial de P = P cos θ

Pt = componente tangencial de P = P sen θ

P = peso del cuerpo = m g

θ = ángulo con la vertical

m = masa del cuerpo

ac = aceleración centrípeta = v^2 / L = ω^2 L

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular

L = longitud del hilo = 80 cm = 0,80 m

at = aceleración tangencial = L γ

γ = aceleración angular = d²θ/dt²

 

Reemplazando

T – m g cos θ = m v^2 / L

m g sen θ = - m L d²θ/dt²

 

Movimiento armónico à pequeñas oscilaciones à sen θ ≈ θ

 

Reemplazando en la ecuación tangencial

d²θ/dt²   + g / L θ = 0

 

Solución general

 θ(t) = Θ cos (ωo t)

 

Donde

Θ = ángulo máximo = A / L

ωo = velocidad angular = (g / L)^(1/2)

 

 

 

(a)   su desplazamiento angular,

 

Reemplazando

 θ(t) = A / L cos ((g / L)^(1/2) t)

 

 

 

(b)  su velocidad angular,

 

derivando

Ω(t) = dθ(t) / dt = - A / L (g / L)^(1/2) sen ((g / L)^(1/2) t)

 

 

(c)   su aceleración angular,

 

derivando

α(t) = dΩ(t) / dt = - A g / L^2 cos ((g / L)^(1/2) t)

 

(d)  su velocidad tangencial,

 

v(t) = Ω(t) L

 

Reemplazando

v(t) = - A / L (g / L)^(1/2) sen ((g / L)^(1/2) t) L = - A (g / L)^(1/2) sen ((g / L)^(1/2) t)

 

 

(e)   su aceleración centrípeta y

 

ac = (v(t))^2 / L

 

reemplazando

ac = (A (g / L)^(1/2) sen ((g / L)^(1/2) t))^2 / L

ac = A^2 g / L^2 (sen ((g / L)^(1/2) t))^2   

 

 

 

(f)    la tensión de la cuerda si la masa de la lenteja es m.

 

T – m g cos θ = m v^2 / L

 

Pequeñas oscilaciones

cos θ = (1 – (sen θ)^2)^(1/2) ≈ (1 – θ^2)^(1/2) ≈ 1 - θ^2 / 2

 

T(t) = m g (1 – θ(t)^2 / 2) + m v(t)^2 / L =

       = m g [1 – 1/ 2 A^2 / L^2 (cos ((g / L)^(1/2) t))^2] + m A^2 g / L^2 (sen ((g / L)^(1/2) t))^2