Física 1 (Exactas) Practica 4.2 – Movimiento oscilatorio

El sistema de la Figura, compuesto por dos cuerpos de masas m₁ y m₂ y un resorte de constante elástica k y longitud natural l₀, se encuentra inicialmente en equilibrio. Se lo pone en movimiento imprimiendo a la masa m₁ una velocidad v₀ hacia abajo (no hay rozamiento).

 

 

a)  Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo para m₁ y para m₂.

 

 

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo 2 Según x:  T2 - Fe = 0

Cuerpo 2 Según y:  N – P2 = 0

Polea: - T2 + T1 = 0 (polea ideal)

Cuerpo 2 Según x:  P1 – T1 = 0

 

donde

T1, T2 = tensión en la soga

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (la - lo) en tracción

la = longitud estirado

lo = longitud natural

N = normal = fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo 1

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

 

De la ecuación de la polea

T1 = T2 = T

 

Reemplazando y sumando ambas ecuaciones

m1 g – k (la – lo) = 0

 

Despejando la

la = m1 g / k + lo

 

Ecuaciones de Newton (sistema en movimiento)

Cuerpo 2 Según x:  T - Fe = m2 a2

Cuerpo 1 Según x:  P1 - T = m1 a1

 

donde

T = tensión en la soga

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (l - lo) en tracción

l = longitud estirado

lo = longitud natural

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a1 = aceleración del cuerpo 1

a2 = aceleración del cuerpo 2 = a1 = a (soga ideal)

 

Reemplazando y sumando ambas ecuaciones

m1 g – k (l – lo) = (m1 + m2) a

 

Con l – lo

l – lo = x + la – lo = x + m1 g / k + lo – lo = x + m1 g / k

 

Reemplazando

.m1 g – k (x + m1 g / k) = (m1 + m2) a

 – k x = (m1 + m2) d²x/dt²

 

Reordenando

d²x/dt² + k / (m1 + m2) x = 0

 

 

 

b)  Diga cómo varía la posición de m₂ con el tiempo.

 

Solución general

x(t) = A cos (ω t + φ)  

v(t) = dx(t)/dt = - A ω sen (ω t + φ)

 

Donde

A = amplitud  

ω = (k / (m1 + m2))^(1/2)

φ = ángulo de fase

 

para t = 0 à x(0) = la y v(0) = vo

x(0) = A cos (φ)  =  la

v(0) = - A ω sen (φ) = vo

 

cociente de ambas ecuaciones

tan (φ) = (- vo / ω) / la

 

Reemplazando

 tan (φ) = - vo (m1 + m2) / k)^(1/2) / (m1 g / k + lo)

φ = arco tan [ - vo (m1 + m2) / k)^(1/2) / (m1 g / k + lo)]

 

 

Elevando las ecuaciones al cuadrado y sumando

A^2 = (la)^2 + (- vo / ω)^2

 

Reemplazando

A = raíz cuadrada [(m1 g / k + lo)^2 + (- vo (m1 + m2) / k)^(1/2))^2]

 

 x(t) = A cos (ω t + φ)