Física 1 (Exactas) Practica 4.10 – Movimiento oscilatorio

Considere que el sistema de la Figura está sumergido en un medio que le ejerce una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad del cuerpo. La constante de proporcionalidad es Г.  

 

a)       Escriba el vector fuerza de rozamiento.

 

Fr = - Г v (se opone a v)

 

Donde

Fr = fuerza de rozamiento

Г = constante de proporcionalidad de la velocidad

v = velocidad = dx/dt

 

b)      Escriba la ecuación de movimiento.

 

Ecuaciones de Newton

Según x: Fe - Fr = m a

Según y = N – P = 0

 

Donde

Fe = fuerza elástica = k (x – lo)

Fr = fuerza de rozamiento = - Г dx/dt

N = reacción del plano

P = peso = m g

m = masa

a = aceleración = d²x/dt²

 

Reemplazando

- k (x – lo) - Г dx/dt = m d²x/dt²

 

reordenando

 d²x/dt² + Г/m dx/dt + k/m (x – lo) = 0

 

 

c)       Definiendo β = Г / 2m, ω₀² = k/m, halle las soluciones x(t) de la ecuación de movimiento y verifique que son:

 

ωo = velocidad angular natural = (k / m)^(1/2)

β = parámetro de amortiguación = Г / 2m

 

Reemplazando

 d²x/dt² + 2 β dx/dt + ωo² (x – lo) = 0

 

Esta ecuación diferencial tiene como solución

x(t) = e^(- β t) [ A1 e^(ω t) + A2 e^(- ω t)]

 

Donde

A1 y A2 = amplitudes

ω = velocidad angular amortiguada = (ω^2 - β^2)^(1/2)

 

 

i)      Si β² > ω₀²

 

x(t) = e^(- β t) [ A1 e^(ω t) + A2 e^(- ω t)]

 

Si β² >  ωo²  à sobre amortiguado (no hay oscilación)     

 

ii)    β² = ω₀²

 

x(t) = e^(- β t) [ A1 e^(ω t) + A2 e^(- ω t)]

 

Si β² = ωo²     à ω = 0  à amortiguación critica

 

x(t) = e^(- β t) [ A1 + A2 t]

 

 

 

iii)   β² < ω₀²

 

x(t) = e^(- β t) [ A1 e^(ω t) + A2 e^(- ω t)]

 

Si β² <  ωo²     à subamoriguado (oscilación con amplitud decreciente)

 

x(t) = A e^(- β t) cos (ω t + φ)

 

 

 

d)             Grafique x en función de t para los tres casos en c) y analice.