Física 1 (Exactas) Practica 4.6 – Movimiento oscilatorio

Un cuerpo suspendido de un hilo inextensible de longitud 80 cm realiza un movimiento oscilatorio en un plano siendo θ = θ(t) el ángulo entre la vertical y el hilo.

a)  Plantee las ecuaciones de Newton para el cuerpo.

 

 

Ecuaciones de Newton

Según radial: T – Pr = m ac

Según tangencial: Pt = - m at

 

Donde

T = tensión del hilo

Pr = componente radial de P = P cos θ

Pt = componente tangencial de P = P sen θ

P = peso del cuerpo

θ = ángulo con la vertical

m = masa del cuerpo

ac = aceleración centrípeta = v^2 / L = ω^2 L

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular

L = longitud del hilo = 80 cm = 0,80 m

at = aceleración tangencial = L γ

γ = aceleración angular = d²θ/dt²

 

Reemplazando

T – m g cos θ = m v^2 / L

m g sen θ = - m L d²θ/dt²

 

 

b)  ¿Bajo qué aproximación el movimiento es armónico? ¿qué período tiene?

 

Movimiento armónico à pequeñas oscilaciones à  sen θ ≈ θ

Reemplazando en a ecuación tangencial

d²θ/dt²    + g / L θ = 0

 

Solución general

 θ = Θ sen (ωo t + φ)

 

Donde

Θ = ángulo máximo

ωo = velocidad angular = (g / L)^(1/2) = 2π / T

T = periodo

φ = fase

 

Despejando el periodo

T = 2π (L/g)^2

 

 

c) ¿Si en t = 0 es θ = 0, ω = 0,2 s^-1, se satisface la aproximación de b) para todo t?

 

θ = Θ sen (ωo t + φ)

ωo = velocidad angular = (g / L)^(1/2) = 3,53 s^-1

 

Para t = 0 à θ = 0, ω = 0,2 s^-1

Θ sen ( φ) = 0 à φ = 0

 

ω = dθ/dt =  Θ ωo cos (ωo t)

Θ ωo cos (0) = ω à Θ =  ω / ωo  = 0,2 s^-1 /  3,53 s^-1 = 0,05657

 

Reemplazando en la ecuación θ

θ(t) = 0,057 sen (3,53 s^-1)^(1/2) t)   

 

θ(t) <  0,05657  y sen(0,05657) = 0,5654 à sen θ ≈ θ

 

 

d)  Usando las ecuaciones planteadas en a), halle la posición de equilibrio y diga si es estable o inestable y por qué.

 

Ecuaciones de Newton

Según radial: T – Pr = 0 (posición de equilibrio)

Según tangencial: Pt = 0 (posición de equilibrio)

 

Reemplazando

T – m g cos θ = 0

m g sen θ = 0

 

Despejando sen θ

sen θ = 0 à θ = 0 ó π

 

Para θ = 0 

T – m g cos 0 = 0 à T = m g

 

θ = 0 à posición estable

Al desplazar el péndulo de esta posición, el péndulo tiende a volver a la posición inicial

 

Para θ = π

T + m g cos 0 = 0 à T = - m g

 

 θ = π à posición inestable

Al desplazar el péndulo de esta posición, el péndulo tiende a alejarse de la posición inicial