Física 1 (Exactas) Practica 4.1 – Movimiento oscilatorio

Considere una partícula de masa m suspendida del techo por medio de un resorte de constante elástica k y longitud natural l₀. Determine cómo varía la posición con el tiempo sabiendo que en t = 0 la partícula se halla a una distancia 2 l₀ del techo, con velocidad nula. 

 

 

DCL

 

Resorte en equilibrio (con m)

 

P - Fe = 0

 

Donde

Fe = fuerza elástica = k (xe - Lo)

k = constante del resorte

xe = longitud de equilibrio

Lo = longitud natural 

P = peso = m g

 

Reemplazando

m g - k (xe - Lo) = 0

 

Despejando  xe

 xe  = m g  / k + Lo

 

 

Resorte fuera del equilibrio

 

m g - Fe  = m a

 

Donde

Fe = fuerza elástica = k (x – Lo)

x = desplazamiento del resorte

a = aceleración = d²x(t)/dt²

reemplazando

m g - k (x - Lo)  = m  d²x(t)/dt²

reordenando 

d²x(t)/dt²  + k / m  x  = g +  k/ m Lo

Solución general

x(t) = xe + A cos (ω t + φ)  

v(t) = dx(t)/dt = - A ω sen (ω t + φ)

 

Donde

A = amplitud  

ω = (k / m)^(1/2)

φ = ángulo de fase

 

Reemplazando en las ecuaciones para t = 0; x(0) = 2 lo y vo = 0

x(0) = m g  / k + Lo  + A cos (φ) = 2 Lo   

v(0) = A ω sen (φ) = 0

 

De la ecuacion de la velocidad

sen φ = 0  à φ = 0

 

Reemplazando en la ecuación x(0)

x(0) = m g / k + Lo + A cos (0) = 2 Lo   à A = Lo – m / k g 

 

Reemplazando en la fórmula de la posición

x(t) = (Lo – m / k g) cos ((k / m)^(1/2) t)  + (m g  / k + Lo )