Física 1 (Exactas) Practica 4.4 – Movimiento oscilatorio

Una bolita de masa m se halla sobre un plano inclinado sostenida por dos resortes, de constantes elásticas k₁ y k₂, y longitudes libres l₀₁ y l₀₂, respectivamente, los cuales se encuentran fijos a dos paredes separadas una distancia L.

 

 

  

 

a)  Plantee la ecuación de Newton para la bolita y encuentre la ecuación de movimiento.

 

 

Según x: Fe1 - Fe2 -  Px = m a

Según y:  N – Py = 0

 

Donde

Fe1 = fuerza elástica del resorte 1 = k1 (L - x – lo1)

Fe2 = fuerza elástica del resorte 2 = k2 (x – lo2)

k1 = constante del resorte 1

k2 = constante del resorte 2

x = posición de la bolita

L = distancia entre las paredes

lo1 = longitud natural del resorte 1

lo2 = longitud natural del resorte 2

Px = componente según x del P = P sen α

Py = componente según y del P = P cos α

P = peso de la bolita = m g

N = reacción del plano

 

Reemplazando en la ecuación según x

k1 (L - x – lo1) -  k2 (x – lo2) – m g sen α = m d²x/dt²

 

Reordenando

m d²x/dt² + (k1 + k2) x + (m g sen α – k1 (L - lo1) - k2 lo2) = 0

 

 

 

b)  Halle la posición de equilibrio y determine si es estable o inestable.

 

Ecuación de Newton

k1 (L - xeq – lo1) – k2 (xeq – lo2) – m g sen α = 0 (posición de equilibrio)

 

Despejando x

xeq = (k1 (L – lo1) + k2 lo2 - m g sen α) / (k1 + k2)

 

Análisis de estabilidad – pequeñas perturbaciones

 

x = xeq + ε

 

Donde

x = desplazamiento

xeq = posición de equilibrio

ε = pequeño desplazamiento

 

Reescribiendo la ecuación de movimiento

FN(x) = m d²x/dt²  

 

Donde

FN(x) = fuerza neta actuante = - (k1 + k2) x - (m g sen α – k1 (L - lo1) - k2 lo2)

 

La serie de Taylor de FN en el entorno de xeq

FN((xeq + ε) ≈ FN(eq) + dFN / dε (eq) ε

con FN(xeq) = 0  (definición de equilibrio)

 

FN(xeq + ε) ≈ - (k1 + k2) ε

 

Reemplazando en la ecuación de movimiento

m d²ε/dt² + (k1 + k2) ε = 0

 

La solución de esta ecuación diferencial es un seno ó un coseno à el equilibrio es estable

 

c)  Si partiendo de la posición de equilibrio el sistema se pone en movimiento imprimiéndole a la bolita una velocidad v₀ hacia arriba, encuentre la posición de la bolita como función del tiempo.

 

 

Cambio de variables en la ecuación diferencial

u = x – xeq (desplazamiento respecto del equilibrio)

 

Ecuación de movimiento

.du²/dt² + (k1 + k2) / m u = 0

 

Solución

u = A cos (ω t + φ)

 

Donde

A = amplitud

ω = ((k1 – k2) / m)^(1/2)

φ = ángulo de fase

 

Reemplazando

x = A cos (ω t + φ) + xeq

dx/dt = v = - A ω sen (ω t + φ)

 

Para t = 0 à x = xeq y  v = vo

x(0) = A cos ( φ) + xeq = xeq  à  φ = π/2

v = - A ω sen (π/2)  = vo à A = vo / ω

 

Reemplazando en la ecuación de movimiento

x(t) = vo / ω cos (ω t + π/2) + [k1 (L – lo1) + k2 lo2 - m g sen α] / (k1 + k2)