Física 1 (Exactas) Practica 4.7 – Movimiento oscilatorio

 Una bolita de masa m está enhebrada en un aro semicircular de radio R y sujeta a un resorte de constante elástica k y longitud natural l₀ = πR/2, como muestra la Figura,

 

 

 

 

 

a)  Halle la ecuación de movimiento.

 

 

 

Ecuaciones de Newton

Según dirección radial: N – Pr = m ac

Según dirección tangencial: Fe – Pt = m at

 

Donde

N = reacción del aro

Pr = componente radial del P = P cos θ

Pt = componente tangencial del P = P sen θ

P = peso = m g

θ = ángulo con la vertical

Fe = fuerza de elástica = k ∆l

k = constante del resorte

∆l = variación de la longitud del resorte = (l – lo)

l = longitud del resorte estirado = R (θ + π / 2)

lo = longitud natural del resorte = π R/ 2

R = radio del aro

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R = ω^2 R

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular

at = aceleración tangencial = γ R

γ = aceleración angular = d²θ/ dt²

 

 

Reemplazando en la ecuación tangencial

k (R (θ + π / 2) – R π / 2) – m g sen θ = m R d²θ/ dt²

 

Reordenando

d²θ/ dt²  – k  /m θ + g /R sen θ = 0

 

 

 

b)  Encuentre posiciones de equilibrio.

 

Según dirección tangencial: Fe – Pt = 0 (equilibrio)

k R θeq – m g sen θeq = 0

 

Reordenando

θeq = m g / (k R) sen θeq

 

θeq y sen(θeq) tienen el mismo signo en el intervalo  [0 ; m g / (k R) ] 

 

Además, θ pertenece al intervalo [0; π/2]  (ver figura)

 

La intersección de ambos intervalos

[0;  min (π/2; m g / (k R)] 

 

Si m g << k R  à  θeq tiende a 0

Si m g >>  k R  à  θeq tiende a π/2

 

 

c)  Diga bajo qué condiciones el equilibrio es estable.

 

El equilibrio es estable en θeq en el entorno de 0 à m g << k R