Física 1 (Exactas) Practica 4.8 – Movimiento oscilatorio

Una bolita de masa m se mueve por un tubo delgado, carente de rozamiento, el cual describe una semicircunferencia de radio R. La bolita se halla sujeta por un extremo a un resorte de constante elástica k y longitud natural l₀ = πR/2, y por el otro a una soga, deslizando ambos elementos por el interior del tubo, tal como muestra la Figura del extremo de la soga pende, a través de una polea, otro cuerpo de masa M que actúa como contrapeso. Considere la soga inextensible, y las masas de soga, resorte y poleas despreciables.

En el instante inicial la bolita se halla en el punto A (φ = 0) con velocidad v₀.

 

 

a)     Plantee las ecuaciones de Newton para cada una de las masas. Halle la ecuación diferencial que rige el movimiento de la bolita. 

 

 

 

Ecuaciones de Newton

Bolilla m. Dirección radial: N – Pr = m ac

Bolilla m, Dirección tangencial: T - Fe – Pt = m at

Cuerpo M: PM – T = M a

 

Donde

N = reacción del tubo

Pr = componente radial del P = P cos φ

Pt = componente tangencial del P = P sen φ

P = peso = m g

φ = ángulo con la vertical

T = tensión de la soga

Fe = fuerza de elástica = k ∆l

k = constante del resorte

∆l = variación de la longitud del resorte = (l – lo)

l = longitud del resorte estirado = R (φ + π / 2)

lo = longitud natural del resorte = π R/ 2

R = radio del tubo

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R = ω^2 R

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular = dφ / dt

at = aceleración tangencial = γ R

γ = aceleración angular = d²φ / dt²

 PM = peso del cuerpo = M g

a = aceleración del cuerpo = at (soga ideal)

 

Sumando las ecuaciones de ambos cuerpos

PM - Fe – Pt = (m + M) a

 

Reemplazando

M g - k (R (φ + π / 2) – R π / 2) – m g sen φ = (m + M) R d²φ / dt²

 

Reordenando

 d²φ / dt²   + k / (m + M) φ + m g / ((m + M) R) sen φ = M g / ((m + M) R)

 

.d² φ / dt²  =  ω dω / d φ

 ω dω / d φ   = M g / ((m + M) R) - k / (m + M) φ - m g / ((m + M) R) sen φ

 

Integrando

 ω^2 / 2 =  M g  φ / ((m + M) R) – k / (m + M) φ^2 / 2  - m g / ((m + M) R) cos φ + C

 

Para t = 0; φ = 0 y v = vo

ωo^2 / 2 =   - m g / ((m + M) R) + C = (vo / R)^2

 

v^2 = [(m + M) vo^2 – k (R φ)^2 – 2 m g ( R – R cos φ) – 2 M g R φ] / (m + M)

 

  

b)     Halle gráficamente la o las posiciones de equilibrio de la bolita, determinando si corresponden a posiciones de equilibrio estable o inestable.

 

Posición de equilibrio à d2 φ / dt2 = 0

k R φ + m g sen φ = M g

 

φ pertenece al intervalo [0; π/2] (ver figura)

 

Analicemos los extremos del intervalo

 

Si φ tiende a cero à sen φ ≈  φ

k R φ + m g φ = M g

 

Despejando φ

φ = M g / (k R + m g)

 

Si φ tiende a π/2 à sen φ tiende a  1

k R φ + m g = M g

 

Despejando φ

φ = (M g - m g) / (k R)

 

 

c)     Halle la expresión de la fuerza de vínculo ejercida por el tubo sobre la bolita como función del ángulo φ.

 

Reemplazando en la ecuación radial de la Bolilla

N – m g cos φ = m v^2 / R

 

v^2 = [(m + M) vo^2 – k (R φ)^2 – 2 m g ( R – R cos φ) – 2 M g R φ] / (m + M)

 

Despejando N

N = m g cos φ + m v^2 / R

 

Con v^2

v^2 = [(m + M) vo^2 – k (R φ)^2 – 2 m g ( R – R cos φ) – 2 M g R φ] / (m + M)