Física 1 (Exactas) Practica 5.12 - Sistemas no inerciales

Una bolita de masa m se encuentra engarzada en un alambre circular de radio R, ubicado en posición vertical. El aro de alambre gira alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω constante.

 

 

a.     Escriba las ecuaciones de Newton utilizando un sistema de referencia fijo al aro, indicando las fuerzas de interacción que actúan sobre la bolita.

 

Fuerzas de Interacción

P = peso de la bolita = m g

N = Normal ejercida por el alambre (perpendicular a la trayectoria - dirección radial)

 

Fuerzas Inerciales

Fcf = Fuerza centrífuga = m ω^2 D

Fco = Fuerza de Coriolis = - 2 m ω x v

 

 

Ecuaciones de Newton (para sistema no inercial)

Dirección radial: N - Fcfr – Pr = m ac

Dirección perpendicular:  Fcfp – Pt = m at

 

Donde

N = Normal

Fcfr = componente radial de la fuerza centrífuga = Fcf sen φ

Fcfp = componente perpendicular de la fuerza centrífuga = Fcf cos φ

Fcf = Fuerza centrífuga = m ω^2 D

ω = velocidad angular del aro

D = radio de giro de la masa = R sen φ

R = radio del aro

Pr = componente radial del peso = P cos φ

Pt = componente perpendicular del peso = P sen φ

P = peso = m g

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R = Ω^2 R

v = velocidad tangencial de la masa

Ω = velocidad angular de la masa = dφ / dt

at = aceleración tangencial = d²x / dt² = R d²φ / dt² 

 

Reemplazando

N -  m ω^2 R sen φ sen φ -  m g cos φ = m R (dφ / dt)^2

m ω^2 R sen φ cos φ -  m g sen φ = m R d²φ / dt²

 

 

Ecuación diferencial

d²φ / dt² -  ω^2 sen φ cos φ + g / R sen φ = 0

 

 

b.     Calcule las posiciones de equilibrio y analice la estabilidad de las mismas.

 

Posición de equilibrio

 

 m ω^2 R sen φ cos φ -  m g sen φ = 0

 

Reordenando

m sen φ (ω^2 R cos φ -  g) = 0

 

sen φ = 0 à

φ1 = 0

φ2 = π

 

(ω^2 R cos φ -  g) = 0 à

cos φ3 = g / (ω^2 R)

Solo existe si g / (ω^2 R) < 1 à  g / R < ω^2

 

 

Análisis de estabilidad – pequeñas perturbaciones

 

FN = m ω^2 R sen φ cos φ -  m g sen φ

Con FN = Fuerza Neta

 

φ = φeq + ε

Con ε pequeña perturbación

 

Serie de Taylor de 1er orden de FN

FN(φeq + ε) = m ω^2 R sen φeq cos φeq -  m g sen φeq +

                        (m ω^2 R cos φeq cos φeq - m ω^2 R sen φeq sen φeq -  m g cos φeq) ε =

                     = (m ω^2 R cos φeq cos φeq - m ω^2 R sen φeq sen φeq -  m g cos φeq) ε

 

Para φ1 = 0

FN(ε) = (m ω^2 R -  m g) ε

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² - (ω^2 -  g / R) ε = 0

 

Si (ω^2  -  g / R ) > 0 à la solución de la ecuación es exponencial

ω^2  > g / R à el equilibrio es inestable

 

Si (ω^2  -  g / R ) <  0 à la solución de la ecuación es oscilatoria

ω^2  <  g / R à el equilibrio es estable

 

 

Para φ2 = π

FN(π + ε) = (m ω^2 R + m g) ε

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² - (ω^2 + g / R) ε = 0

 

(ω^2 + g / R ) > 0 à la solución de la ecuación es exponencial à el equilibrio es inestable

 

Para  cos φ3 = g / (ω^2 R) con à   g / R  < ω^2

FN(φ3 + ε) = (m ω^2 R   -  m g^2 / (ω^2 R)) ε

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² - (ω^2   -  g^2 / (ω^2 R^2)) ε = 0

 

Si g / R  < ω^2  à (ω^2   -  g^2 / (ω^2 R^2)) < 0  à el equilibrio es estable

 

 

c.      Considere que inicialmente se suelta la masa m desde un ángulo φo, encuentre la fuerza de vínculo ejercida por el alambre en función de la posición de la bolita.

 

Ecuación diferencial

d²φ / dt² -  ω^2 sen φ cos φ + g / R sen φ = 0

 

 d²φ / dt² = dΩ / dt = (dΩ / dφ) ⁽dφ / dt) = (dΩ / dφ) Ω

 

Reemplazando

Ω dΩ / dφ = ω^2 sen φ cos φ -  g / R sen φ

 

Integrando

Ω^2 / 2 = ω^2 (sen φ)^2 / 2 + g / R cos φ + C

 

Para φ = φo à vo = 0  (Ωo = 0)

0 = ω^2 (sen φo)^2 + 2 g / R cos φo + C

C = - ω^2 (sen φo)^2 - 2 g / R cos φo

 

Reemplazando en Ω

Ω^2 = ω^2 ((sen φ)^2 - (sen φo)^2) + 2 g / R (cos φ - cos φo)

 

Reemplazando en la ecuación radial

N = m ω^2 (2 (sen φ)^2 - (sen φo)^2) + g m (3 cos φ – 2 cos φo)