Física 1 (Exactas) Practica 5.7 - Sistemas no inerciales

Una partícula de masa m se halla engarzada en un riel circular de radio R, que carece de rozamiento. En un dado instante la partícula se encuentra en reposo en el punto C, y se aplica sobre el riel una fuerza tal que a partir de ese instante el mismo se mueve con aceleración constante A . Utilice para resolver el problema un sistema no inercial fijo a la esfera.

 

 

 

a-     Haga un diagrama de las fuerzas que actúan sobre m, y determine cuáles son sus pares de interacción.

 

 

 

Fuerza de interacción

 

N = Normal = fuerza que ejerce el riel

El par de interacción está en el riel

 

P = peso = fuerza de atracción de la Tierra sobre el paquete = m g

El par de interacción está en el centro de la Tierra

 

Fuerza de inercia

 

Fi = Fuerza de inercia = m ( - A)

 

 

b.     Plantee las ecuaciones de Newton, y encuentre la ecuación de movimiento de la partícula.

 

Ecuaciones de Newton (sistema no inercial)

Según radial: N – Fir – Pr = m ac

Seguin tangencial: - Fit – Pt = m at

 

Donde

N = reacción del riel

Fir = componente radial de la fuerza de inercial Fi = Fi sen φ

Fit = componente tangencial de la fuerza de inercial Fi = Fi cos φ

Fi = Fuerza de inercia = m A

Pr = componente radial del peso = P cos φ

Pt = componente tangencial del peso = P sen φ

P = peso = m g

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R = ω^2 R

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular

R = radio del riel

at = aceleración tangencial = R γ

γ = aceleración angular = d²φ/dt²

  

Reemplazando

N – m A sen φ – m g cos φ = m ω^2 R

- m A cos φ -  m g sen φ = m R d²φ / dt²

 

Reordenando la ecuación tangencial

d²φ / dt²   + A / R cos φ + g / R sen φ = 0

 

 

c.     Exprese el valor de la normal ejercida por el riel sobre m como función del ángulo φ. 

 

d²φ / dt² = dω / dt = (dω / dφ) (dφ / dt) = (dω / dφ) ω

 

reemplazando

ω dω / dφ = -  A / R cos φ -  g / R sen φ

 

Integrando

ω^2 / 2 = - A / R sen φ + g / R cos φ + C

 

Para to = 0 à  φo = 0  y vo = 0 (ωo = 0)

Reemplazando

0  = g / R + C  à C = - g / R

 

Reemplazando en ω^2 R

ω^2 R = - 2 A sen φ + 2 g cos φ - 2 g

 

Reemplazando en N

N =   -  m A sen φ + 3 m g cos φ – 2 g m

 

 

d.      Encuentre la posición de equilibrio, y determine si el equilibrio es estable o inestable.

 

Posición de equilibrio

 

- m A cos φe -  m g sen φe = 0 (posición de equilibrio)

 

Despejando φe

tan φe = - A / g

 

Esta ecuación tiene dos soluciones

cos φ1 <  0 y sen φ1 > 0 à  φ1 pertenece  (π/2 ; π)

cos φ2 > 0 y sen φ2 < 0 à  φ2 pertenece (3π/2: 2π)

 

Pequeñas perturbaciones

 

FN(φ) = - m A cos φ -  m g sen φ

 

Con FN = fuerza neta

 

φ = φe + ε

 

Con ε es una pequeña perturbación respecto de φe

 

La serie de Taylor de FN en el entorno de φe

FN(φ) ≈ - m A cos φe -  m g sen φe + (m A sen φe -  m g cos φe) ε

 

La ecuación diferencial

d²ε/dt² + (A / R sen φe - g / R cos φe) ε = 0

 

con A cos φe = - g sen φe

cos φe = - g / A sen φe

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² + (A / R + g^2 / (R A)) sen φe ε = 0

 

Si sen φe > 0 la solución de la ecuación diferencial es un oscilador.

Ante pequeñas perturbaciones (ε)  la partícula oscila en torno a la posición de equilibrio (φe) 

à Equilibrio estable

 

Si sen φe < 0 la solución de la ecuación diferencial es una función exponencial

Ante pequeñas perturbaciones (ε)  la partícula se aleja de la posición de equilibrio (φe) 

à Equilibrio inestable