Física 1 (Exactas) Practica 4.11 – Movimiento oscilatorio

Un péndulo simple de 10 g de masa tiene inicialmente un período de 2 s y una amplitud de 2º. Luego se lo sumerge en un medio con rozamiento y después de dos oscilaciones completas la amplitud se reduce a 1,5º Encuentre la constante de amortiguamiento Г  

 

Ecuaciones de Newton

Radial: T – Pr = m ac

Tangencial: Fr – Pt = m a

 

Donde

T = tensión del hilo

Pr = componente radial de P = P cos θ

Pt = componente tangencial de P = P sen θ

P = peso del cuerpo

θ = ángulo con la vertical

m = masa del cuerpo = 10 gr

ac = aceleración centrípeta = v^2 / L

v = velocidad = L ω

ω = velocidad angular = dθ/dt

L = longitud del hilo

Fr = fuerza de rozamiento = - Г v (se opone a v)

Г = constante de amortiguación (proporcionalidad de la velocidad)

at = aceleración tangencial = L γ

γ = aceleración angular = d²θ/dt²

 

Reemplazando

T – m g cos θ = m v^2 / L

- Г L dθ/dt - m g sen θ = m L d²θ/dt²

 

Reordenando

d²θ/dt² + Г / m dθ/dt + g/ L sen θ = 0

 

Péndulo simple  à sen θ ≈ θ

d²θ/dt² + Г / m dθ/dt + g/ L θ = 0

 

Si Г / m < g / L (amortiguación débil) la solución de la ecuación diferencial

θ = θo e^(- Г / (2m) t) cos (ωo t + φ)

 

La amplitud de oscilación varia

θ = θo e^(- Г / (2 m) t)

 

Donde

.t = tiempo transcurrido = 2 T

T = periodo = 2 s

θ = Angulo final = 1,5°

θo = Angulo inicial = 2°

m = masa = 10 gr = 0,01 kg

 

Reemplazando y despejando Г

Г = - ln (θ /θo) / (2 T) * 2 m = - ln (1,5°/2°) / (2 * 2 s) * (2 * 0,01 kg) = 1,44 kg/s