Una plataforma de radio R, gira con velocidad angular Ω constante alrededor de un eje vertical situado en su centro. Sobre la plataforma se halla apoyado un paquete de masa m (hay rozamiento entre el paquete y la superficie de la plataforma, siendo μe y μd los coeficientes de rozamiento estático y dinámico, respectivamente). En el instante t = 0 el paquete se halla en reposo sobre la plataforma a una distancia L del centro, con L < R.
a.
Escriba las ecuaciones de Newton para el paquete en un
sistema solidario a la plataforma, S’, indicando los pares de acción y reacción
de las fuerzas que actúan sobre él.
Fuerzas interacción
N = reacción de la plataforma
La fuerza de acción – reacción
está en la plataforma
P = peso del paquete = m g
La fuerza de acción – reacción
está en el centro de la Tierra
Fr = fuerza de rozamiento
La fuerza de acción – reacción
está en la plataforma = m Ω^2 L
Fuerzas inerciales
Fcf = fuerza centrífuga = m
Ω^2 L
Efecto de la aceleración del
sistema de referencia
Ecuaciones de Newton
Según radial: Fr – Fcf = 0
Según y: N – P = 0
Donde
Fr = fuerza rozamiento
Fcf = fuerza centrífuga = m
Ω^2 L
m = masa
Ω = velocidad angular
L = distancia al centro de la
plataforma
N = reacción de la plataforma
P = peso del paquete = m g
Reemplazando
Fr - m Ω^2 L = 0
N – m g = 0
b.
Halle la máxima velocidad angular Ω max que puede
tener la plataforma para que el paquete no deslice sobre la plataforma.
Frmax - m Ωmax^2 L = 0
Donde
Frmax = fuerza de rozamiento máxima = μe N
μe =
coeficiente de rozamiento estático
N = reacción de la plataforma = m g (Ecuación de Newton según y)
Ωmax = velocidad angular máxima
Reemplazando
μe
m g -
m Ωmax^2 L = 0
Despejando Ωmax
Ωmax = (μe g /
L)^(1/2)
c.
Si desaparece el rozamiento, halle la velocidad del
paquete en el sistema S’ como función de la distancia al centro de la
plataforma. Describa cualitativamente el movimiento del paquete.
Ecuaciones de Newton
Según radial: – Fcf = - m an
Según y: N – P = 0
Donde
Fcf = fuerza centrífuga = m
Ω^2 r
m = masa
Ω = velocidad angular
r = distancia al centro de la
plataforma
an = aceleración respecto al
sistema S´ = dvn / dt
vn = velocidad del paquete
respecto al sistema S´
Reemplazando en la ecuación
radial
m Ω^2 r = m dvn / dt
dvn / dt = (dvn / dr) (dr / dt)
= vn dvn / dr
Reemplazando en la ecuación
diferencia
vn dvn/dr = Ω^2 r
Integrando
vn^2 / 2 = Ω^2 r^2 / 2 + C
Para t = 0: vn = 0 y r = L
Reemplazando
0 = Ω^2 L^2 + C à C = - Ω^2 L^2
Reemplazando en la ecuación de
vn
vn = Ω (r^2 – L^2)^(1/2)
Descripción del movimiento
Sistema inercial (sistema fuera de la plataforma)
El paquete se mueve en línea recta (no hay ninguna fuerza externa aplicada sobre él
Sistema no inercial (sistema gira con la plataforma)
El paquete está sometido a dos fuerzas ficticias:
-
Fuerza centrífuga (Fcf = m Ω^2 r) que lo aleja del centro aumentado su velocidad
-
Fuerza de Coriolis (Fco = - 2 m Ω x v) perpendicular a la velocidad y en sentido opuesto al
giro de la plataforma, aumentando su velocidad.
El paquete realiza un
movimiento en espiral que se aleja
del centro aumentando su velocidad
No hay comentarios:
Publicar un comentario