Un cañón antiaéreo que dispara proyectiles a 600 m/s apunta con un ángulo de 37 º hacia arriba respecto de la horizontal. Su misión es derribar un avión que viene volando hacia el a 360 km/h y a una altura fija H de 3,6 km. Se desprecian los efectos del rozamiento del aire.
a.
a) que distancia horizontal D debe estar el avión del cañón al ejecutar el
disparo para que el proyectil lo impacte por su parte inferior?
Ecuaciones horarias del proyectil
x = xo + vox t
y = yo + voy t – 1/ 2 g t^2
Donde
x
= posición en el instante t
xo
= posición inicial = 0
vox
= velocidad inicial según x = vo cos 37º
vo
= velocidad del proyectil = 600 m/s
t
= tiempo transcurrido
y
= altura en el instante t = altura del avión = 3,6 km = 3600 m
yo
= altura inicial = 0
voy
= velocidad inicial según y = vo sen 37º
g
= aceleración de la gravedad = 10 m/s2
Reemplazando
en la ecuación de la altura para el tiempo
en que el proyectil alcanza la altura del avión
3600 m = 0 + 600 m/s sen 37º t – 1 /2 10 m/s2 t^2
Esta
cuadrática (en t) tiene 2 soluciones
t1
= 12 seg ( cuando el proyectil subiendo)
-- > impacta al avión en la parte inferior
t2
= 60 seg ( cuando el proyectil bajando) -- > impacta al avión en la parte
superior
x = 600 m/s cos 37º * 12 s = 5760 m
xa
= xoa - voa t
Donde
xa
= posición del avión en t ( cuando impacta el proyectil) = 5760 m
xoa
= posición inicial del avión en el momento del disparo = D
voa
= velocidad del avión = 360 km/h (1000 m/1km) (1 h/3600 s) = 100 m/s
t
= tiempo del impacto = 12 s
Reemplazando
y despejando D
D =
xa + voa t = 5760 m + 100 m/s *12 s = 6960
m
b. b) Cuál es el módulo de la velocidad del proyectil cuando impacta en el avión?
| v | = raíz ( vx^2 + vy^2)
Donde
| v | = módulo de la velocidad
vx = velocidad del proyectil según x =
vox
vy = velocidad del proyectil según y = voy –
g t
Reemplazando
.vx = 600
m/s * cos 37 º = 480 m/s
.vy = 600
m/s * sen 37º - 10 m/s2 * 12 s = 240
m/s
| v | = raíz ( (480 m/s)^2 + (240 m/s)^2) = 537 m/s
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