Física 1 (Exactas) Practica 0 – 1. 6. Vectores y trigonometría

 a) Utilizando el Teorema de Pitágoras y la definición de las funciones trigonométricas, usando el triángulo de la Fig. demostrar el Teorema del Coseno:

 

AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 AB BC cos β,

 

donde AB, BC y AC son las longitudes de los respectivos lados.

Considerar los dos triángulos rectángulos ABD y ADC, respectivamente.

 

Teorema de Pitágoras

AC^2 = AD^2 + DC^2

AB^2 = AD^2 + BD^2

 

Restando ambas ecuaciones

AC^2 – AB^2 = DC^2 – BD^2

 

Reordenando

AC^2 = AB^2 + DC^2 – BD^2

 

Además

BC = BD + DC à DC = BC - BD  

cos β = BD / AB à BD = AB cos β

 

Reemplazando

AC^2 = AB^2 + (BC – BD)^2 - BD^2

AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 BC BD + BD^2 – BD^2

AC^2 = AB^2 + BC^2 -  2 BC AB cos β

 

  

b) Utilizando la definición del seno demostrar sobre los mismos triángulos que

 

AC / sen β = AB / sen γ,

 

sen β  = AD / AB à AD = AB sen β

sen γ = AD / AC à AD = AC sen γ

 

Igualando

AB sen β = AC sen γ

 

Reordenando

AC / sen β = AB / sen γ (I)

 

y generalizar el resultado para demostrar el Teorema del Seno:

 

AC / sen β = AB / sen γ = BC / sen α.

 

sen β  = EC / BC à EC = AB sen β

sen α = EC / AC à EC = AC sen α

 

Igualando

BC sen β = AC sen α

 

Reordenando

AC / sen β = BC / sen α (II)

 

(I) y (II)

AC / sen β = AB / sen γ = BC / sen α.