Energía mecánica 2

Calcular el trabajo que realiza la fuerza elástica en el resorte del problema 1.10 al comprimirlo desde su posición original hasta la mitad de ésta (Posición B). Comparar con la suma de los trabajos calculados en dicho problema. ¿Es conservativa la fuerza elástica? ¿De qué modo puede hallarse el trabajo de la fuerza elástica, sin necesidad de evaluar el área bajo la gráfica fuerza-elongación?

“1.10. Se tiene un resorte cuya longitud sin carga es 0,8 m, y su constante elástica es 500 N/m. Dejando fijo un extremo, se lo estira hasta que su longitud es el doble de la original (Posición A), para luego comprimirlo hasta la mitad de su longitud natural (Posición B).”

 

ΔEpe = - WFe

 

Donde

ΔEpe = variación de la energía potencial elástica = Epef – Epei

 

Epef = energía potencial elástica = 1/ 2 k (Lc – Lo)^2

k = constante elástica = 500 N/m

Lc = longitud comprimido = 0,8 m /2 = 0,4 m

Lo = longitud natural = 0,8 m

 

Epei = 1/ 2 k (Lo – Lo)^2

 

WFe = trabajo de la fuerza elástica 

 

Reemplazando

WFe = - 1/ 2 k (Lc – Lo)^2 = 1/ 2 500 N/m (0,4 m - 0,8 m)^2 = - 40 J

 

La fuerza elástica es conservativa

 

Energía mecánica 1

El forzudo Igor levanta una pesa de 200 kg por encima de su cabeza, desde el suelo hasta una altura de 2 m.

 

a.     Hallar el trabajo que realiza la fuerza peso de la misma, en el ascenso.

 

ΔEP = - WP

 

Donde

ΔEp = variación de la energía potencial = Epf – Epi

 

Epf = energía potencial final = m g hf

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

hf = distancia entre el suelo y la altura = 2 m

 

Epi = energía potencial inicial = m g hi

hi = altura inicial = 0

 

WP = trabajo de la fuerza peso 

 

Reemplazando

WP = -  m g hf = 200 kg 10 m/s² 2 m = - 4000 J

 

b.     ¿La fuerza que ejerce Igor es constante? Hallar el trabajo que realiza esta fuerza. (Sugerencia: tener en cuenta que las velocidades inicial y final de la pesa son nulas).

 

Fuerza de Igor NO es constante

 

WI = trabajo de Igor = - WP = 4000 J

  

c.      Calcular el trabajo que realiza Igor al mantener a la pesa en esa posición durante 10 segundos.

 

WI´ = 0 (No varia la altura)

 

      d.      Desde la posición anterior, hace descender a la pesa hasta su pecho, quedando a 1,2 m sobre el suelo. Hallar el trabajo que realiza la fuerza peso de la misma, en el descenso.

 

ΔEpd = - WPd

 

Donde

ΔEpd = variación de la energía potencial = Epfd – Epid

 

Epfd = energía potencial final =  m g hfd

hfd = distancia entre el suelo y la altura de su pecho = 1,2 m

 

Epid = energía potencial inicial = m g hid

hid = altura inicial d = 2 m

 

WP1 = trabajo de la fuerza peso 

 

Reemplazando

WPd = - (m g hfd – m g hid) = - (200 kg 10 m/s² 2 m – 200 kg 10 m/s² 1,2 m) = 1600 J

 

e.      ¿Qué trabajo habría realizado la fuerza peso, si Igor hubiera levantado la pesa desde el piso sólo hasta su pecho? Comparar con la suma de los trabajos hallados en a y en d.

 

ΔEpe = - WPe

 

Donde

ΔEpe = variación de la energía potencial = Epfe – Epie

 

Epfe = energía potencial final = m g hfe

hfe = distancia entre el suelo y la altura de su pecho = 1,2 m

 

Epie = energía potencial inicial = m g hie

hie = altura inicial e = 0 m

 

WPe = trabajo de la fuerza peso 

 

Reemplazando

WPe = - (m g hfe – m g hie) = - 200 kg 10 m/s² 1,2 m = -2400 J

 

WPad = WP + WPd  = - 4000 J + 1600 J = - 2400 J

 

 

Trabajo y Energía 14

 La potencia del motor de un vehículo le alcanza para subir por una pendiente de 60° con una velocidad de 10 km/h. Si subiera por otra pendiente de 30°, sin modificar la velocidad, ¿en qué porcentaje disminuiría la potencia?

  

a) 13%	b) 30%	█ c) 42%
d) 50%	e) 58%	f) 87%

 

 

 

Según x: F – Px = 0 (velocidad constante)

Según y: N – Py = 0

 

Donde

F = fuerza del motor

Px = componente x del peso = P sen α

Py = componente y del peso = P cos α

N = reacción del plano

 

Reemplazando y despejando F

F = Px = P sen α 

 

Pot = F v

 

Donde

Pot = potencia

v = velocidad = 10 km/h

 

α = 60° : Pot60 = P sen 60° 10 km/h

α = 30° : Pot30 = P sen 30° 10 km/h

 

Pot30 / Pot60 = sen 30°/ sen 60° = 0,577

 

Pot se reduce en 1 – 0,577 = 0,423  = 42%

 

 

Trabajo y Energía 13

 Sabiendo que la energía eléctrica cuesta $0,08/kWh (8 centavos de pesos por cada kWh de energía), mantener encendida una bombita de 100 W durante todo el día un mes completo (30 días) cuesta:

(considerar 1 kWh = 1000 Wh = 1000 W. 3600 s)

 

a) $ 57,6	b) $ 12,8	█  c) $ 5,76
d) $ 1,28	e) ninguno de los anteriores

Pot = W / t

 

Donde

Pot = potencia = 100 W

W = trabajo = energía eléctrica = EE

t = tiempo = 30 días (24 horas / 1 día) = 720 horas

 

Reemplazando y despejando EE

EE = Pot tiempo = 100 W 720 h = 72000 Wh = 72 kWh

 

Costo = EE costo = 72 kWh $ 0,08/ kWh = $ 5,76

 

Trabajo y Energía 12

 Una grúa iza verticalmente una caja de caudales de 400 kg, que parte del reposo con aceleración constante durante 2 s, hasta alcanzar una velocidad de 2 m/s; prosigue con ella durante 5 s, para frenar luego y detenerse en otros 2 s.

 

a.     Graficar la velocidad de la caja en función del tiempo.

 

0 < t < 2 seg

v1 = vo + a1 t1

 

Donde

v1 = velocidad final = 2 m/s

vo = velocidad inicial = 0 (parte del reposo)

a1 = aceleración

t1 = tiempo transcurrido = 2 seg

 

Reemplazando y despejando a

a1 = (v1 – vo) / t1  = 2m/s / 2 seg = 1 m/s²

 

v(t) =   1 m/s²  t

 

2 seg < t < 2 seg + 5seg = 7 seg

v(t) = 2 m/s

 

7 seg < t < 7 seg + 2 seg = 9 seg

v2 = v1 + a2 (t3 – t2)

 

Donde

v2 = velocidad final = 0

v1 = velocidad inicial = 2 m/s

a2 = aceleración

t3= tiempo final = 9 seg

t2 = tiempo inicial = 7 seg

 

Reemplazando y despejando a2

a2 = (v2 – v1) / (t3 – t2)  = - 2 m/s / (9 seg – 7 seg)  = - 1 m/s²

 

v(t) =  2 m/s - 1 m/s²  ( t – 7 seg)

 

 

b.     Graficar la fuerza que ejerce el cable, en función del tiempo.

 

0  < t < 2 seg

T1 – P = m a1

 

Donde

T1 = tensión

P = peso = m g

m = masa = 400 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

a1 = aceleración = 1 m/s²

 

Reemplazando y despejando T

T1 = m a + P = m a + m g = 400 kg (1 m/s² +  10 m/s² ) = 4400 N

 

2 seg < t <  7 seg

T2 – P = 0

 

Donde

T2 = tensión

P = peso = m g = 400 kg 10 m/s²  = 4000 N

 

Reemplazando

T2 = P = 4000 N

 

7 seg < t <  9 seg

T3 – P = m a2

 

Donde

T3 = tensión

P = peso = m g = 400 kg 10 m/s²  = 4000 N

a2 = aceleración = - 1 m/s²

 

Reemplazando  y despejando T

T3 = m a2 + P = 400 kg (- 1 m/s² ) + 4000 N  = 3600 N

 

 

c.      Graficar la potencia que desarrolla la fuerza que ejerce el cable, en función del tiempo.

 

 Pot = T v

 

Donde

Pot = Potencia instantánea

T = tensión

v = velocidad

 

0 < t < 2 seg

v(t)  = 1 m/s² t

 

Reemplazando

Pot 1 (t)  = T1 a1 t = 4400 N 1 m/s² t = 4400 W/s t

 

2 seg < t <  7 seg

v(t) = 2 m/s

 

Reemplazando

Pot 2 (t) =  T2 v2 = 4000 N 2 m/s = 8000 W

 

7 seg < t <  9 seg

v(t) = 2 m/s - 1 m/s²  (t – 7 s)

 

Reemplazando

Pot 3(t) = T3 (v2 + a2 t = 3600 J (2 m/s -1 m/s²  (t – 7 s) )  = 7200 W - 3600 W/s (t – 7s)

 

 

d.     A partir de este último gráfico, determinar el trabajo que realiza dicha fuerza, y expresarlo en kWh. Comparar con el trabajo del peso.

W =área de la curva P vs t

 

 

W = area triángulo rojo + rectángulo verde + triangulo amarillo = 8,8 kW 2 seg /2 + 8 kW (7 seg – 2 seg) + 7,2 kW (9 seg – 7 seg) / 2 = 56 kWs (1 h / 3600 s) = 0,0156 kWh

 

 Trabajo de la fuerza peso

 

W = - WT = - 0,0156 kWh

 

e.      Determinar la potencia media desarrollada por el cable.

 

Pot media = W / t = 56 kWs / 9 seg = 6,22 kW

 

f.      Determinar la potencia máxima en todo el proceso.

 

Pot max = máximo grafico Potencia = 8,5 kW

 

g.     ¿Cuál debería ser la potencia mínima del motor de la grúa? (formular las hipótesis necesarias).

 

Potencia minima grua = potencia máxima de la tensión

 

 

 

 

Trabajo y Energía 11

Una máquina eleva verticalmente una carga de 200 kg mediante una cuerda que se arrolla en un tambor de 20 cm de radio. De terminar la potencia desarrollada por la fuerza que ejerce el cable, cuando el tambor gira a 300 rpm, con velocidad angular constante.

 

 

  

T – P = 0  (velocidad constante)

 

Donde

T = tensión

P = peso = m g

m = masa = 200 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

 

Reemplazando y despejando T

T = P = m g = 200 kg 10 m/s² = 2000 N

 

 

Pot = W / Δt

 

Donde

Pot = potencia

W = trabajo de la fuerza T = T Δx cos α  

T = tensión de la cuerda = 2000 N

Δx = distancia recorrida

α = ángulo entre la dirección de la Tensión y el desplazamiento = 0°

 

Reemplazando

Pot = 2000 N  Δx / Δt

 

 Δx / Δt = v  (velocidad constante)

 

Donde

v = velocidad  de subida  = velocidad tangencial del tambor = ω R

ω  = velocidad angular del tambor = 2 π f

f = frecuencia = 300 rpm = 300 ( 1 mim / 60 seg) = 5 / seg

R = radio del tambor = 20 cm = 0,20 m

 

Reemplazando

Pot = 2000 N  2 π  5/ seg 0,20 m = 12 560  Watts = 12,56 kW