Un 24 de diciembre a medianoche, un trineo con regalos que se encuentra en reposo en el punto a, comienza a deslizarse sin rozamiento por un techo cubierto de nieve, el cual presenta una inclinación de 25° respecto de la horizontal. Sabiendo que la masa total del trineo es 400 kg, responda:
a. La aceleración que
experimenta el trineo a lo largo del techo.
Según x: Px = m a
Donde
Px = componente x del peso = P sen 25°
P = peso del trineo = m g
m = masa = 400 kg
g = aceleración de la gravedad = 9,8 m/s2
a = aceleración del trineo
Reemplazando
m g sen 25° = m a
Despejando a
a = g sen 25° = 9,8 m/s2 sen 25° = 4,14 m/s2
b.
La rapidez del trineo cuando
pasa por el punto b
∆Emab
= Wfnc
Donde
∆Emab
= variación de energía mecánica = Emb – Ema
Emb =
energía mecánica en b = Epb + Ecb
Epb =
energía potencial en b = m g hb
hb =
altura en b del techo
Ecb = energía
cinética en b = 1/ 2 m vb^2
vb =
velocidad en b
Ema =
energía mecánica en a = Epa + Eca
Epa = energía
potencial en a = m g ha
ha =
altura en a del techo = hb + ∆h
∆h =
altura del techo = 2,31 m
Eca =
energía cinética en a = 1/ 2 m va^2
va =
velocidad en a = 0
Wfnc =
trabajo de las fuerzas no conservativas = 0 (no hay fuerzas)
Reemplazando
m g hb
+ 1 /2 m vb^2 – m g (hb + ∆h) = 0
Despejando
vb
vb = raíz (2 g ∆h) = raíz (2 * 9,8 m/s2
2,31 m) = 6,73 m/s
c.
La energía potencial gravitatoria
–respecto del piso- que el trineo tiene en el punto b.
Epb =
m g hb
Donde
Epb =
energía potencial
hb =
altura en b = 3 m
Reemplazando
Epb = 400 kg 9,8 m/s2 3 m =
1,18 x 10^4 J
d.
La rapidez del trineo al
llegar al suelo
∆Emac
= Wfnc
Donde
∆Emac
= variación de energía mecánica = Emc – Ema
Emc =
energía mecánica en c = Epc + Ecc
Epc =
energía potencial en c = m g hc
hc =
altura en c = 0
Ecc = energía
cinética en c = 1/ 2 m vc^2
vc =
velocidad en c
Ema =
energía mecánica en a = Epa + Eca
Epa = energía
potencial en a = m g ha
ha =
altura en a del techo = hb + ∆h
Eca = energía cinética en a = 1/ 2 m va^2 = 0
Wfnc =
trabajo de las fuerzas no conservativas = 0 (no hay fuerzas)
Reemplazando
1 /2 m
vc^2 – m g (hb + ∆h) = 0
Despejando
vc
vc = raíz (2 g (hb + ∆h)) = raíz (2 * 9,8 m/s2 (3 m + 2,31 m)) = 10,2 m/s
e.
La energía cinética del trineo
al llegar el suelo
Ecc =
1 /2 m vc^2
Reemplazando
Ecc =
1 /2 * 400 kg (10,2 m/s)^2 = 2,08 x 10^4
J
f.
La distancia horizontal entre
el punto c y el sitio en donde el
trineo llega al suelo.
Ecuaciones
horarias
x =
xo + vcx t
y =
yo - vcy t – 1/ 2 g t^2
Donde
x = posición
según x
xo = posición
inicial = 0
vcx =
componente x de la velocidad en c = vc cos 25°
vcy =
componente y de la velocidad en c = vc sen 25°
y =
altura final = 0 (suelo)
yo =
altura en c = 3 m
t =
tiempo de vuelo
Reemplazando
en la ecuación según y
0 = 3 m - 10,2 m/s sen 25° t –
1 /2 9,8 m/s2 t^2
Las
soluciones de la cuadrática
t1 =
- 1,337 seg (descartado)
t2 =
0,458 seg
Reemplazando
en la ecuación según x
x = 10,2 m/s cos 25° 0,458 seg = 4,23
m
