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Biomecánica 8. Un auto se
desplaza en línea recta. En t= 0seg, pasa por un punto ubicado a 12m del
origen del sistema de referencia elegido, alejándose con velocidad 10m/seg.
En ese instante acelera, con aceleración constante 2 m/s² que mantiene durante 5seg.
Respecto de la velocidad:
a.¿Qué significa que la
aceleración es 2 m/s²?
¿Qué significa que es constante?
La
aceleración de 2 m/s² significa que la velocidad aumenta 2 m/seg
cada 1 segundo.
La
aceleración constante indica que no hay ninguna modificación en las
condiciones del movimiento.
b. ¿Qué es lo que varía
uniformemente en el MRUV?
La
velocidad varía uniformemente en el MRUV.
c. Conociendo la velocidad en t=0
y el valor de la aceleración, complete la segunda columna de la tabla.
a = aceleración
= variación de la velocidad / tiempo = (v(t) – vi) / (t - ti)
reemplazando
los datos
2 m/s² = ( v(t) – 10m/s) / (t -0)
Despejando
v(t)
v(t) = 10
m/seg + 2
m/s² * t
Reemplazando
cada uno de los t de la tabla obtendremos la segunda columna
p.e. para t = 4 seg
v(4seg) = 10 m/seg + 2 m/s² *4seg = 18 m/seg
d. Grafique la velocidad del
auto en función del tiempo.
e. ¿Cómo hubiera sido el
gráfico si el auto no hubiese acelerado? Compare
Si no
acelera la velocidad se mantiene contante en 10m/seg
f. ¿Qué significa la pendiente
en un gráfico velocidad en función del tiempo?
La
pendiente de la recta v vs t es la aceleración
g. Escriba la ecuación horaria
de velocidad para el auto.
Ecuación
horaria de la velocidad
v(t) = vi + a * (t – ti)
donde
v(t) : la
velocidad en el instante t
vi :
velocidad inicial(ti = 0) = 10 m/seg
ti : tiempo
inicial = 0
a : aceleración
2
m/s²
reemplazando
v(t) = 10
m/seg + 2
m/s² *t < ---------- ecuación horaria de la
velocidad
De lo discutido resulta que la
forma general de la ecuación horaria de velocidad para un MRUV es:
v(t) = vi + a
* (t - ti)
|
Respecto de la
posición:
a. ¿Se desplazará el auto lo mismo entre
0 y 1seg que entre 3seg y 4seg? Explique
La distancia recorrida
depende de la velocidad y del intervalo de tiempo transcurrido, si bien el
intervalo de tiempo es el mismo, 1seg en los dos casos, la velocidad aumenta
por lo tanto la distancia recorrida también aumentara.
b. Deduzca (con ayuda del docente) la
ecuación horaria de la posición para un MRUV.
En el gráfico
v vs t la distancia recorrida es igual al área debajo de la curva.
Para calcular
el área dividamos el trapecio que queda debajo de la curva en dos figuras más simples un triángulo
(verde) y un rectángulo (amarillo)
AREA
RECTANGOLO =
base * altura
Base = t – ti (tiempo transcurrido)
Altura = vi (velocidad inicial)
RECTANGULO =
vo (t - ti)
TRIANGULO = 1/2 base * altura
Base = t – ti (tiempo transcurrido)
Altura = v(t)
– vi = variación de la velocidad
v(t) = vi – a ( t - ti) ecuación horaria de la
velocidad
TRIANGULO = 1/2
(vi + a (t-ti) – vi) * (t-ti) = 1/2 a (t-ti)²
La distancia
recorrida (x(t) –xi) = Área rectángulo +
área de triángulo
x(t) – xi = vi * (t-ti) + 1/2 a (t-ti)²
despejando x(t)
x(t) = xi + vi
(t - ti) + 1/2 a (t-ti)² < ----- ecuación horaria de la posición
para MRUV
Esta es una
de las muchas formas de encontrar la ecuación horaria de la posición.
La forma general de ecuación horaria de
posición para un MRUV es:
x = xi + vi (t -ti) + 1/2 a
(t-ti)²
c. ¿Qué representan los dos primeros
términos de esta ecuación?
xi = posición
inicial
vi (t – ti) =
desplazamiento en el intervalo t-ti de un MRU (sin aceleración)
d. Escriba la ecuación horaria de para
el auto.
Ecuación
horaria de la posición
x(t) = xi + vi (t - ti) + 1/2 a (t - ti)²
donde
x(t) :
posición en el instante t
xi : posición
inicial (ti=0) = 12m
vi :
velocidad inicial (ti=0) = 10 m/s
ti : tiempo
inicial = 0
a =
aceleración = 2 m/s²
reemplazando
x(t) = 12m +
10m/s *t + 1/2 2 m/s² t²
< ---------- ecuación horaria
e. Complete la tercer columna de la
tabla adjunta.
A partir de
la ecuación horaria de la posición, reemplazando t por cada valor de la columna
1, obtendremos las columna 3.
p.e. para t = 2s
x(2s) = 12m + 10m/s *2s + 1/2 * 2 m/s² * (2s)² = 36 m
|
t(seg)
|
v(m/seg)
|
x(m)
|
|
0
|
10
|
12
|
|
1
|
12
|
23
|
|
2
|
14
|
36
|
|
3
|
16
|
51
|
|
4
|
18
|
68
|
|
5
|
20
|
87
|
f. Grafique la posición del auto en
función del tiempo. ¿Qué curva obtiene?
Curva = Arco
de parábola
g. Determine en forma aproximada, a
partir de este gráfico, la velocidad en t = 0s y en t = 3s . ¿Qué valores
obtiene? ¿Coinciden con lo que debía obtener? Explique.
La velocidad
aproximada resulta la definición (Δx / Δt ) en dos lugares cercanos t=0 y t=1s
v(0) = Δx / Δt = (x(1s)-x(o)) / (1s -0)
= (23m – 12m)/ 1s = 11 m/s
La velocidad
real la calculamos de la ecuación horaria
v(0) = 10 m/s
Ambos valores
son parecidos pero no iguales, debido a la curva del gráfico que resulta de la
aceleración. Estamos comprando una recta con una curva.
Para 3s
utilizamos el mismo método.
v(3s) = Δx / Δt = (x(4s)-x(3s)) / (4s – 3s)
= (68m - 51m)/ 1s = 17 m/s
v(3s) = 16 m/s
Dos finales para el mismo cuento:
FINAL 1:
Si a partir de t
= 5s y hasta t
= 8s el auto deja de acelerar,
describa lo que sucederá, escriba las ecuaciones correspondientes, complete la
tabla adjunta y continúe los gráficos de velocidad en función del tiempo y de
posición en función del tiempo.
|
t(seg)
|
v(m/seg)
|
x(m)
|
|
5
|
|
|
|
6
|
|
|
|
7
|
|
|
|
8
|
|
|
Ecuación
horaria de la posición
x(t) =
xi + vi (t -ti) + 1/2 a (t-ti)²
donde
x(t) :
posición en el instante t
xi : posición
inicial (ti=5s) = 87m
vi :
velocidad inicial (ti=5s) = 20 m/s
ti : tiempo
inicial = 5s
a =
aceleración = 0
reemplazando
x(t) = 87m + 20m/s * (t-5s) + 1/2 0 m/s² ( t -5s)²
x(t) = 87m +
20m/s * (t-5s) si 5s < t ≤ 8s <
---------- ecuación horaria de la posición
Ecuación
horaria de la velocidad
v(t) = vi + a * (t – ti)
donde
v(t) : la
velocidad en el instante t
vi :
velocidad inicial ( ti = 5s) = 20 m/s
ti : tiempo inicial
= 5s
a :
aceleración = 0
reemplazando
v(t) = 20 m/seg + 0 m/s² *(t-5s)
v(t) = 20
m/seg si 5s <
t ≤ 8s < ---------- ecuación horaria de la
velocidad
El
movimiento se transformó en un MRU (v=constante)
A partir de
la ecuación horaria de la posición y la velocidad, reemplazando t por cada
valor de la columna 1, obtendremos las columnas 2 y 3 de la tabla.
p.e para
t=7s
v(7s) = 20
m/seg
x(7s) = 87m + 20m/s * (7st-5s) = 127m
|
t(seg)
|
v(m/seg)
|
x(m)
|
|
5
|
20
|
87
|
|
6
|
20
|
107
|
|
7
|
20
|
127
|
|
8
|
20
|
147
|
Gráfico
x vs t
Grafico v vs t
FINAL 2:
Si a partir de t
= 5s y hasta t
= 8s el auto frena con aceleración
constante -3 m/s²,
describa lo que sucederá, escriba las ecuaciones correspondientes y continúe
los gráficos de velocidad en función del tiempo y de posición en función del
tiempo.
|
t(seg)
|
v(m/seg)
|
x(m)
|
|
5
|
|
|
|
6
|
|
|
|
7
|
|
|
|
8
|
|
|
Ecuación
horaria de la posición
x(t) =
xi + vi (t -ti) + 1/2 a (t-ti)²
donde
x(t) : posición
en el instante t
xi : posición
inicial (ti=5s) = 87m
vi :
velocidad inicial (ti=5s) = 20 m/s
ti : tiempo
inicial = 5s
a =
aceleración = -3 m/s²
reemplazando
x(t) = 87m + 20m/s * (t-5s) + 1/2 (-3 m/s²) ( t
-5s)²
x(t) = 87m +
20m/s * (t-5s) - 3/2 m/s² ( t -5s)² si 5s < t
≤ 8s <
---------- ecuación horaria de la posición
Ecuación
horaria de la velocidad
v(t) = vi + a * (t – ti)
donde
v(t) : la
velocidad en el instante t
vi :
velocidad inicial ( ti = 5s) = 20 m/s
ti : tiempo inicial
= 5s
a :
aceleración = -3 m/s²
reemplazando
v(t) = 20 m/seg + (-3 m/s²) *(t-5s)
v(t) = 20
m/seg -3 m/s² *(t -5s) si 5s <
t ≤ 8s < ---------- ecuación horaria de la
velocidad
El
movimiento continua siendo MRUV pero con a < 0, movimiento retardado (en oposición
a acelerado)
A partir de
las ecuación horaria de la posición y la velocidad, reemplazando t por cada
valor de la columna 1, obtendremos las columnas 2 y 3 de la tabla.
p.e para t=7s
v(7s) = 20 m/seg -3 m/s² *(7s -5s) =
14 m/s
x(7s) = 87m + 20m/s *
(7st-5s) - 3/2 m/s² ( 7s -5s)² = 121 m
|
t(seg)
|
v(m/seg)
|
x(m)
|
|
5
|
20
|
87,0
|
|
6
|
17
|
105,5
|
|
7
|
14
|
121,0
|
|
8
|
11
|
133,5
|
Gráfico
x vs t
Grafico v vs t
genia
ResponderEliminargracias !!!
ResponderEliminarmuuuuuchas gracias!!
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