Biofísica 1 Biomecánica 13 MRUV

Biomecánica 13.Un objeto cae partiendo del reposo desde una altura de 25m respecto del piso.

a. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al piso?

Por convención el eje de desplazamiento horizontal es el “x” y el de desplazamiento vertical es el “y”

Ecuación horaria de la posición

y(t) = yi + vi (t - ti) + 1/2 a (t - ti)²

donde

y(t) : posición en el instante t 

yi : posición inicial (ti=0) = 25 m

vi : velocidad inicial (ti=0) = 0 (parte del reposo)

ti : tiempo inicial = 0

a = aceleración = - aceleración de la gravedad = -g = -10 m/s² (aproximadamente)

reemplazando

y(t) = 25 m + 0 *t  + 1/2 * (-10 m/s²) * t²  

y(t) = 25 m - 1/2 * 10 m/s² * t²

cuando llega al piso y(t) = 0

0 = 25 m - 1/2 * 10 m/s² * t²

Despejando t

t²  = 25 m / 5 m/s² = 5s² 

t = 2,24 s  < ------  tiempo que tardó en llegar al piso

b. ¿A qué altura del piso se hallará a los 2s  de la partida?

y(t) = 25 m - 1/2 * 10 m/s² * t²

para t = 2s

y(2s) = 25 m - 1/2 * 10 m/s² * (2s)² = 5 m  < ----  altura a los 2 s

c. ¿Qué velocidad tendrá en ese momento?

Ecuación horaria de la velocidad

 v(t) = vi + a * (t-ti)

donde

v(t) : velocidad en el instante t 

vi : velocidad inicial (ti=0) = 0 (parte del reposo)

ti : tiempo inicial = 0

a = -g = -10 m/s²

reemplazando

v(t) = 0  + (-10 m/s²) * t

v(t) =  (-10 m/s²) * t

para t = 2s

v(2s) = -10 m/s² * 2s = - 20 m/s t  < --------  velocidad a los 2s

d. Grafique la posición y la velocidad desde que parte hasta que llega al piso.

e. ¿Con qué velocidad, como mínimo, debería ser lanzado desde el piso hacia arriba para llegar otra vez hasta una altura de 25m?

Hoy una forma rápida de resolver este problema, tomando algunos atajos pero …. Vamos por la ruta panorámica

Ecuación horaria de la posición

y(t) = yi + vi (t - ti) + 1/2 a (t - ti)²

donde

y(t) : posición en el instante t = 25 m

yi : posición inicial (ti=0) = 0 ( ahora parte del piso)

vi : velocidad inicial (ti=0) = ¿??

ti : tiempo inicial = 0

t : tiempo transcurrido = ¿?

a = -g =  -10 m/s²

reemplazando

y(t) = 0 + vi *t  + 1/2 * (-10 m/s²) * t²  

25 m = vi * t  - 1/2 * 10 m/s² * t²  < ------- Ecuación horaria de la posición (A)

Ecuación horaria de la velocidad

 v(t) = vi + a * (t-ti)

donde

v(t) : velocidad en el instante t  = 0 ( debe llegar a 25 m, pero no seguir subiendo)

vi : velocidad inicial (ti=0) = ¿?

a =  -g = -10 m/s²

reemplazando

0 = vi  + (-10 m/s²) * t  < --------  ecuación horaria de la velocidad (B)

Despejando t

 t = vi /10 m/s²

reemplazando t en la ecuación (A)

25 m = vi * (vi /10 m/s²)  - 1/2 * 10 m/s² * (vi /10 m/s²)²  

Trabajando un poco matemáticamente

25 m = vi² /10 m/s²  - 1/2 * vi² /10 m/s² =  1/2 * vi² /10 m/s²

Despejando vi

vi² = 25 m * 2 *10 m/s² = 500 m²/ s²

vi = 22,4 m/s  < --------- velocidad mínima para que llegar a 25 m

Calculemos el tiempo que tarda en llegar a los 25 m

t = 22,36 m/s  /10 m/s² = 2,24 s

el mismo tiempo que había tardado en bajar (ver a.)

El método corto para resolver este ítem seria:

tiempo de subida = tiempo de bajada = 2,24 s

reemplazar l tiempo en la ecuación (B)

0 = vi  + (-10 m/s²) * 2,24 s

Despejando vi

 vi =  22,4 m/s < ------