Biofísica 1 Biomecánica 23 Dinámica

Biomecánica 23. Dos remolcadores llevan un barco de 1000 toneladas hasta una dársena, tirando cada uno con una fuerza constante de 2x10^5 N, como indica la figura. Si la fuerza de rozamiento que ejerce el agua sobre el barco es 10^5 N, ¿cuál es la aceleración del barco?

DCL

La F1 puede descomponerse en una fuerza según el eje x y otra según el eje y

Un poco de trigonometría

cos 37º = Fx1 / F1  o bien Fx1 = F1 * cos 37º
sen 37º = Fy1 / F1  o bien Fy1 = F1 * sen 37º

Ídem con F2

DCL  resultante

Según Newton

eje x  -----------> F1x + F2x - Fr = m * ax

eje y  -----------> F1y - F2y = m * ay

donde
F1x = F1 * cos 37º = 2x10^5 N * cos 37º
F1y = F1 * sen 37º = 2x10^5 N * sen 37º

F2x = F2 * cos 37º = 2x10^5 N * cos 37º
F2x = F2 * sen 37º = 2x10^5 N * sen 37º

Fr = fuerza de rozamiento del agua = 10^5 N
m = 1000 ton = 1x10^6 kg

ax = aceleración según el eje x = ¿¿
ay = aceleración según el eje y = ¿¿

reemplazando

2x10^5 N * cos 37º + 2x10^5 N * cos 37º - 10^5 N = 1x10^6 kg * ax

despejando ax
ax = (2x10^5 N * cos 37º+ 2x10^5 N * cos 37º - 10^5 N ) / 1x10^6 kg =  0,22 m/s²

2x10^5 N * sen 37º- 2x10^5 N * sen 37º = 1x10^6 kg * ay

despejando ay
ay = (2x10^5 N * sen 37º- 2x10^5 N * sen 37º)/1x10^6 kg = 0

a = ( ax^2 + ay^2)^(1/2) = 0,22 m/s² < ------aceleración del barco

Biofísica 1 Biomecánica 22 Dinámica

Biomecánica 22. En los siguientes esquemas se aplican fuerzas F1 = 10 kgf y F2 = 15 kgf a un mismo cuerpo, de masa 40 kg. Para cada caso:

Caso 1

a) Dibuje la fuerza resultante.

Resultante = F1 + F2

F1 = 10 kgf = 100 N ( 1 kgf = 10 N)
F2 = 15 kgf = 150 N

R = 100 N + 150 N = 250 N <---------- resultante

b) Calcule la aceleración del cuerpo.

Según  Newton
R = m * a

donde
m = 40 kg

reemplazando
250N = 40 kg * a

despejando a
a = 250N /40 kg = 6,25 m/s² < -------- aceleración caso 1

Caso 2

a) Dibuje la fuerza resultante.

Resultante = - F1 + F2

R = -100 N + 150 N = 50 N <----------- resultante

Según  Newton
R = m * a

reemplazando
50 N = 40 kg * a

despejando a
a = 50 N /40 kg = 1,25 m/s² <-------- aceleración caso 2

Biofísica 1 Biomecánica 21 Dinámica

Biomecánica 21. Un niño mantiene sobre su mano una pelota en equilibrio.

a. ¿Qué fuerzas actúan sobre la pelota? Identifique las reacciones correspondientes.

Pelota en la mano en equilibrio

DCL pelota

 DCL mano

Según Newton

Fuerza - Peso = 0 (esta en equilibrio)

Fuerza = Peso

Los pares de acción y reacción son la Fuerza de la mano sobre la pelota y la Fuerza de la pelota sobre la mano ( las flechas rojas)

b. Si ahora lanza la pelota al aire: ¿qué fuerzas actúan sobre la pelota mientras está subiendo en contacto con la mano?, ¿cómo es el módulo de la fuerza de contacto entre la mano y la pelota, con respecto al peso de la pelota? Identifique las reacciones correspondientes. ¿Qué fuerzas actúan sobre la pelota mientras está en el aire? Aclare las suposiciones que emplea para resolver este problema.

Pelota lanzada aun en contacto con la mano

DCL pelota

Según Newton

Fuerza - Peso = masa * aceleración  

Fuerza > Peso

Pelota lanzada en el aire
DCL pelota

Según Newton

 - Peso = masa * aceleración  

Biofísica 1 Biomecánica 20 Dinámica

Biomecanica 20. Qué fuerza neta hay que aplicar sobre un coche de 1.000 kg para que adquiera una aceleración de 2 m/s²?


DCL ( Diagrama de Cuerpo Libre)

Según Newton

eje y ------ > Normal - Peso = 0 ( el coche no salta)

eje x -------> Fuerza neta = masa * aceleración

La Fuerza Normal es la reacción del piso a la Fuerza Peso, se la llama Normal porque es perpendicular (normal) al piso.

reemplazando

Fuerza neta = 1.000kg *  2 m/s²  = 2.000 kg m/s² = 2.000 N (Newton) < --------- Fuerza Neta

Biofísica 1 Biomecánica 19 MRUV

Biomecánica 19. El gráfico representa en forma aproximada la posición en función del tiempo para un corredor en una carrera de 100m. Analice el gráfico y responda: Los tramos curvos son arcos de parábola. La curva pasa por el punto (0;0) a.¿Cuál es la velocidad máxima que desarrolla? Analizando el tramo de velocidad constante entre 5s y 15s Ecuación horaria de la posición x(t) = xi + vi (t-ti) + 1/2 a (t-ti)2 donde x(t) = posición en el instante t xi = posición inicial = 15 m vi = velocidad inicial = ¿?? a = aceleración = 0 ( velocidad constante)  ti = tiempo inicial = 5s reemplazando x(t) =  15 m + vi ( t – 5s) para t = 15s, x(15s) = 75 m 75 m =  15 m + vi ( 15s  – 5s) Despejado vi   vi = ( 75 m – 15 m) / ( 15s  – 5s) = 6m/s  < --------- máxima velocidad desarrollada Porque es la máxima?  el arco de parábola a partir de los 15 s es convexa Parábola convexa = coeficiente principal < 0 Cual es el coeficiente principal de la parábola que representa la ecuación horaria de la posición :  1/2 a Entonces a < 0 (el corredor está frenando) b. ¿Se detiene al llegar a la meta? No hay suficiente información en el gràfico pero parece que si c. Efectúe un gráfico aproximado de v = v (t). Primer tramo ( 0  ≤ t < 5s) Ecuación horaria de la posición x(t) = xi + vi (t-ti) + 1/2 a (t-ti)2 donde x(t) = posición en el instante t xi = posición inicial = 0 vi = velocidad inicial = 0 a = aceleración = ¿?  ti = tiempo inicial = 0 reemplazando x(t) =  1/2 a t2 para t = 5s, x(5s) = 15 m 15 m =  1/2 a (5s)2 Despejado a   a = 15 m / (1/2 ( 5s)2 )= 1,2m/s2 Ecuación horaria de velocidad v(t) = vi + a (t-ti) donde v(t) = velocidad en el instante t vi = velocidad inicial = 0 a = aceleración = 1,2m/s2  ti = tiempo inicial = 0 reemplazando v(t) = 1,2m/s2  t   < ----- ecuación horaria de la velocidad  ( 0  ≤ t < 5s) Segundo tramo ( 5s  ≤ t < 15s) Ecuación horaria de velocidad v(t) = vi + a (t-ti) donde v(t) = velocidad en el instante t vi = velocidad inicial = 6 m/s a = aceleración = 0 ti = tiempo inicial = 5s reemplazando v(t) = 6m/s  < ----- ecuación horaria de la velocidad  ( 5s  ≤ t < 15s) Tercer tramo ( 15s  ≤ t) Ecuación horaria de la posición x(t) = xi + vi (t-ti) + 1/2 a (t-ti)2 donde x(t) = posición en el instante t xi = posición inicial = 75 m vi = velocidad inicial = 6 m/s a = aceleración = ¿?   ti = tiempo inicial = 15s reemplazando x(t) =  75 m + 6m/s * (t -15s) + 1/2 a (t-15s)2   el maratonista llega a la meta x = 100 m 100 m =  75 m + 6m/s * (t -15s) + 1/2 a (t-15s)2  < -------ecuación (A) Ecuación horaria de velocidad v(t) = vi + a (t-ti) donde v(t) = velocidad en el instante t vi = velocidad inicial = 6 m/s a = aceleración = ¿? ti = tiempo inicial = 15s reemplazando v(t) = 6 m/s  +  a (t-15s)   el maratonista se detiene v = 0 en la meta 0 = 6 m/s  +  a (t-15s) < -------ecuación (B) Despejado a   a = - 6 m/s / (t-15s) Reemplazando en la ecuación (A) 100 m -  75 m =  6m/s * (t -15s) + 1/2 (- 6 m/s / (t-15s))* (t-15s)2  Trabajando un poco matemáticamente 25 m = 1/2 *6m/s * (t -15s) Despejando t t = 25 m / (1/2 *6m/s) + 15s = 23,33 s reemplazando en (B) a = - 6 m/s / (23,33s - 15s) = - 0,72 m/s2 Reemplazando en la ecuaciones horaria v(t) = 6 m/s – 0,72m/s2  * (t-15s)   < ----- ecuación horaria de la velocidad  ( 15  ≤ t < 23,33s) Gráfica v(t) .

Biofísica 1 Biomecánica 18 MRUV

Biomecánica 18. El siguiente gráfico representa la velocidad de un móvil en función del tiempo, considerando que el móvil parte desde el origen. a.¿Cuáles son su velocidad y su posición al cabo de tres segundos? Velocidad Del grafico surge que su velocidad al cabo de 3 s = 0 m/s  < ----- velocidad a los 3s Posición Desplazamiento del móvil = Área debajo de la curva v(t) Área triángulo = 1/2 base * altura = 1/2* 3s * 20 m/s = 30 m < ----- posición a los 3s b. ¿Cuánto vale su aceleración? Ecuación horaria de la velocidad v(t) = vi + a (t-ti) donde v(t) = velocidad en el instante t vi = velocidad inicial = 20 m/s a = aceleración ¿? ti = tiempo inicial = 0 reemplazando v(t) = 20 m/s + a *t para t= 3s v = 0 0 = 20 m/s + a *3s Despejando a a= - 20 m/s / 3s = - 6,67 m/s2  < ----- aceleración c. ¿Volverá al punto de partida? ¿Cuándo? Ecuación horaria de la posición x(t) = xi + vi (t-ti) + 1/2 a (t-ti)2 donde x(t) = posición en el instante t xi = posición inicial = 0 vi = velocidad inicial = 20 m/s a = aceleración - 6,67 m/s2  ti = tiempo inicial = 0 reemplazando x(t) = 20 m/s * t  - 1/2 * 6,67 m/s2  * t2 vuelve al origen cuando x(t) = 0 0 = 20 m/s * t  - 1/2 * 6,67 m/s2  * t2 Esta ecuación tiene dos soluciones t = 0 instante en que partió t =  20 m/s / (1/2 *6,67 m/s2) = 6 s  < ------- tiempo en que tardo en volver al origen d. Grafique la posición en función del tiempo en los primeros 10 s.

Biofísica 1 Biomecánica 17 MRUV

Biomecánica 17  Represente gráficamente aceleración en función del tiempo para una persona que salta repetidamente sobre una cama elástica.

La aceleración varia en los intervalos en que la persona está en contacto con la cama elástica (justamente porque es elástica)

La aceleración es constante ( -10m/s²) en los intervalos en que la persona está en el “aire”. 

Biofísica 1 Biomecánica 16 MRUV

Biomecánica 16. Considerando un sistema de coordenadas positivo hacia arriba:

a. Representar velocidad en función del tiempo para un objeto que es arrojado hacia arriba, queda pegado en el techo durante unos instantes y luego cae.

Ecuación horaria de la velocidad

 v(t) = vo – g (t – ti)  si ti ≤ t < t1    < ----- sube

v(t) = 0 si t1 ≤ t < t2     < ---- pegado al techo

v(t) = – g (t – t2) si t2 ≤ t < t3   < ----- baja

donde

v(t) : velocidad en el instante t 

v0 : velocidad inicial

ti : tiempo inicial = 0

t1 : instante en que llega al techo

t2 : instante en que comienza a caer

t3 : instante en que llega al suelo

g = 10 m/s²

b. Representar posición en función del tiempo para el mismo movimiento.

Ecuación horaria de la posición

y(t) = vi (t - ti) - 1/2 g (t - ti)²    si ti ≤ t < t1    < ----- sube

y(t) = h   si t1 ≤ t < t2     < ---- pegado al techo

y(t) = h - 1/2 g (t – t2)²  . si t2 ≤ t < t3   < ----- baja

donde

y(t) : posición en el instante t 

h : altura del techo

vi : velocidad inicial

ti : tiempo inicial = 0

t1 : instante en que llega al techo

t2 : instante en que comienza a caer

t3 : instante en que llega al suelo

g = 10 m/s²

Biofísica 1 Biomecánica 15 MRUV

Biomecánica 15. Una partícula disparada hacia arriba está a 200 m de altura respecto del punto de lanzamiento a los 10 segundos de la partida.

a. Hallar la velocidad inicial.

Ecuación horaria de la posición

y(t) = yi + vi (t - ti) + 1/2 a (t - ti)²

donde

y(t) : posición en el instante t  = 200 m

yi : posición inicial (ti=0) = 0 (parte del piso)

vi : velocidad inicial (ti=0) = ¿?

ti : tiempo inicial = 0

t = 10s

a = -g = -10 m/s²

reemplazando

200m = 0 + vi * 10 s  + 1/2 * (-10 m/s²) * (10s)² 

200m = vi * 10s  + 1/2 * (-10 m/s²) * (10s)² 

Despejando vi

 vi = (200m + 1/2 * 10 m/s² * (10s)²)/ 10s = 70 m/s  < ------  velocidad inicial

b. Determinar la máxima altura que alcanzará la partícula.

La altura máxima se alcanza cuando la velocidad = 0.

Si la velocidad fuera mayor que cero seguiría subiendo y si fuera menor que cero estaría cayendo

Ecuación horaria de la velocidad

 v(t) = vi + a * (t-ti)

donde

v(t) : velocidad en el instante t = 0

vi : velocidad inicial (ti=0) = 70 m/s (ver a)

ti : tiempo inicial = 0

t : ¿??

a = -g = -10 m/s²

reemplazando

0 = 70 m/s  + (-10 m/s²) * t

Despejando t

 t = 70 m/s / 10 m/s² = 7 s

Ecuación horaria de la posición

y(t) = yi + vi (t - ti) + 1/2 a (t - ti)²

donde

y(t) : posición en el instante t  = ¿??

yi : posición inicial (ti=0) = 0

vi : velocidad inicial (ti=0) = 70 m/s

ti : tiempo inicial = 0

t =  7s

a = -g = -10 m/s²

reemplazando

y(7s) = 0 + 70 m/s * 7s  + 1/2 * (-10 m/s²) * (7s)² 

y(7s) = 70 m/s * 7s  - 1/2 * 10 m/s² * (7s)² = 245 m < --------- altura máxima