Física 2P Jul24 T 623.1 – 4 Hidrostática

Un bloque cúbico, macizo y homogéneo de 50 cm de arista y 600 kg/m³ de densidad se encuentra en equilibrio totalmente sumergido en agua contenida en un recipiente, vinculado al fondo del mismo por medio de una soga ideal que se mantiene siempre tensa y vertical.

 

 a. Calcule la intensidad de la tensión en la soga.

  

Ea – P – T = 0

 

Donde

Ea = empuje = δa g Vc

δa = densidad del agua = 1000 kg/m³

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

Vc = volumen del cuerpo = L^3 (totalmente sumergido)

L = arista del cubo = 50 cm = 0,50 m

 

P = peso = δc g Vc

δc = densidad del cuerpo = 600 kg/m³

 

T = tensión de la cuerda

 

Reemplazando y despejando T

T = δa g L^3 – δc g L^3 = 10 m/s² (0,50 m)^3 (1000 kg/m³ - 600 kg/m³) = 500 N

 

b. Explique qué ocurrirá con el bloque si se cortara la soga, y determine la presión hidrostática sobre la cara inferior del bloque cuando encuentre nuevamente el equilibrio.

 

Eb – P = 0

 

Donde

Eb = empuje = δa g Vb

Vb = volumen del cuerpo sumergido = L^2 h

h = arista sumergida

 

Reemplazando y despejando h

h = δc g L^3 / (δa g L^2) = 600 kg/m³  0,50 m / 1000 kg/m³ = 0,30 m

 

h < L à Cuerpo parcialmente sumergido

 

Ph = δa g h

 

Donde

Ph = presión hidrostática

h = profundidad de la cara inferior

 

Reemplazando

Ph = 1000 kg/m³ 10 m/s²  0,30 m = 3000 Pa

 

 

 

Física 2P Jul24 T 623.1 - 3 Trabajo y energía

Una bola de 2 kg se deja caer desde el reposo sobre una pista como muestra la figura. Se introduce por el interior de un tramo circular de radio r = 4 m pasando por el punto más alto A. Luego de dar una vuelta completa, continúa por la pista horizontal comprimiendo el resorte (k = 2400 N/m). Se desprecian todos los rozamientos. Calcule:

 

 

a. la altura inicial h necesaria para alcanzar el punto A con la mínima velocidad posible.

 

EmA – Emo = Lfnc

 

Donde

Lfcn = trabajo de las fuerzas no conservativas = 0

 

EmA = energía mecánica en el punto A = EpA + EcA

EpA = energía potencial en A = m g hA

m = masa de la bola = 2 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

hA = altura en el punto A = 2 R

R = radio del tramo circular = 4 m

EcA = energía cinética en A = 1/ 2 m vA^2

vA = velocidad en A

 

Emo = energía mecánica inicial = Epo + Eco

Epo = energía potencial inicial = m g h

h = altura inicial

Eco = energía cinética inicial = 1 /2 m vo^2

vo = velocidad inicial = 0  

 

En el punto A

P = m ac

 

Donde

P = peso de la bola = m g

ac = aceleración centrípeta = vA^2 / R

 

Reemplazando y despejando vA^2

vA^2 = g R

 

Reemplazando en la variación energía

m g 2 R + 1 / 2 m g R - m g h = 0

 

Despejando h

h = 5/2 R = 5/2 * 4 m = 10 m

 

 

b. la compresión máxima que experimenta el resorte si se deja caer desde una altura h = 15 m.

 

Emf – Emo = Lfnc

 

Donde

Lfcn = trabajo de las fuerzas no conservativas = 0

 

Emf = energía mecánica final = Ep + Ec + Epe

Ep = energía potencial final = m g hf

hf = altura final = 0

Ecf = energía cinética final = 1/ 2 m vf^2

vf = velocidad final = 0

Epe = energía potencial elástica = 1 /2 k L^2

k = constante del resorte = 2400 N/m

L = compresión máxima

 

Emo = energía mecánica inicial = Epo + Eco

Epo = energía potencial inicial = m g h

h = altura inicial = 15 m

Eco = energía cinética inicial = 1 /2 m vo^2

vo = velocidad inicial = 0 

 

Reemplazando en la variación energía

1/2 k L^2 - m g h = 0

 

Despejando L

L = raíz (2 m g h / k) = raíz (2 * 2 kg 10 m/s² 15 m / 2400 N/m) = 0,50 m

 

 c. el trabajo de la fuerza peso desde que es soltado hasta que alcanza el punto A, en el caso considerado en el ítem anterior.

 L = P d cos 0°

 

Donde

L = trabajo de la fuerza peso

P = peso = m g

d = variación de altura = 15 m – 8 m = 7 m

 

Reemplazando

L = 2 kg 10 m/s²  7 m = 140 J 

 

Física 2P Jul24 T 623.1 - 2 Dinámica

Dos satélites A y B orbitan alrededor de la Tierra. Sus masas son tales que mB = 2 mA y sus radios orbitales RB = RA/4.

a. Si el período orbital de A es de 2 horas, ¿cuál es el período orbital de B?

 

F = m ac

 

Donde

F = fuerza gravitatoria = G MT m / R^2

G = constante de gravitación universal

MT = masa de la Tierra

m = masa del satélite

R = radio orbital

ac = aceleración centrípeta = ω^2 R

ω = velocidad angular = 2 π / τ

τ = periodo

 

Reemplazando

G MT m / R^2 = m (2 π / τ)^2 R

 

Despejando τ

τ = 2 π raíz (R^3 / (G MT))

 

Satélite A: τA = 2 π raíz (RA^3 / (G MT))

Satélite B: τB = 2 π raíz (RB^3 / (G MT))

 

El cociente

τB / τA = (RB / RA)^(3/2) = ((RA / 4) / RA)^(3/2) = 1 / 8

τB = τA / 8 = 2 horas / 8 = 0,25 hora

 

 

b. Sea F la fuerza de atracción gravitacional entre cada satélite y el centro de la Tierra. Si |FA|= 1500 N, ¿cuál es la intensidad de FB?

 

Satélite A: FA = G MT mA / RA^2

Satélite B: FB = G MT mB / RB^2

 

El cociente

FB / FA = mB RA^2 / (mA RB^2) = 2 mA RA^2 / (mA (RA / 4)^2 = 2 * 4^2 = 32

 

FB = 32 FA = 32 * 1500 N = 48000 N

 

Física 2P Jul24 T 623.1 - 1 Dinámica

En el sistema dado, los bloques A y B (mA = 15 kg y mB = 5 kg) están vinculados por una soga ideal que pasa por una polea, también ideal. El A está apoyado sobre una superficie inclinada con rozamiento (μe = 0,6 y μd = 0,4), mientras que el B está vinculado al piso por medio de un resorte vertical e ideal de constante elástica k = 200 N/m y longitud natural l0 = 35 cm.

 

 

a. En el instante t = 0 s el sistema está en reposo, y en esas condiciones la longitud del resorte es 50 cm. Indique si el sistema podrá seguir o no en reposo, y calcule la intensidad de la fuerza de rozamiento que actuará sobre el bloque A un instante justo después de t = 0s. Determine claramente su sentido y justifique su respuesta.

 

DCL

 

Bloque A

Según x:  PAx + Froz – T = 0 (en reposo)

Según y: NA – PAy = 0

 

Bloque B

Según x: T – PB – Fe = 0 (en reposo)

 

Donde

PAx = componente x del peso del bloque A = PA sen 37°

PAy = componente y del peso del bloque A = PA cos 37°

PA = peso del bloque A = mA g

mA = masa del bloque A = 15 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

T = tensión

Froz = fuerza de rozamiento estático

NA = reacción el plano

PB = peso del bloque B = mB g

mB = masa del bloque B = 5 kg

Fe = fuerza elástica = k (L – Lo)

k = constante del resorte = 200 N/m

L = longitud del resorte = 50 cm = 0,50 m

Lo = longitud natural del resorte = 35 cm = 0,35 m

 

Sumando las ecuaciones según x

PAx + Froz – PB – Fe = 0

 

Reemplazando y despejando Froz

Froz = mA g sen 37° - mB g -  k (L – Lo) = 15 kg 10 m/s² 0,60 – 5 kg 10 m/s²  - 200 N/m (0,50 m - 0,35 m) = 10 N

 

Froz max = μe NA

 

Donde

Froz max = fuerza de rozamiento estático máxima

μe = coeficiente de rozamiento estático = 0,6

NA = reacción del plano al cuerpo A (ecuación según y) = PAy

 

Reemplazando

Froz max = μe mA g cos 37° = 0,6 * 15 kg 10 m/s² 0,80 = 72 N

 

Froz < Froz max à el sistema permanece en reposo

 

 

b. Calcule la máxima longitud que puede tener el resorte para mantener al sistema en reposo.

Sumando las ecuaciones según x

PAx + Froz max – PB – Fe = 0

 

donde

Fe = fuerza elástica = k (Lb – Lo)

Lb = longitud del resorte máxima

  

Reemplazando y despejando Lb

Lb = (mA g sen 37° + μe mA g cos 37° - mB g) / k + Lo = (15 kg 10 m/s² 0,60 + 0,6 * 15 kg 10 m/s² 0,80 – 5 kg 10 m/s²) / 200 N/m + 0,35 m = 0,91 m

 

 c. Si se corta la soga, calcule la aceleración de B en el instante en que la longitud del resorte sea 30 cm. Indique claramente su sentido.

 

PB – Fe = mB a

 

Donde

Fe = fuerza elástica = k (Lc – Lo)

Lc = longitud del resorte = 30 cm = 0,30 m

a = aceleración

 

Reemplazando y despejando a

a = (mB g - k (Lc – Lo)) / mB =  (5 kg 10 m/s² - 200 N/m (0,30 m – 0,35 m)) / 5 kg = 8 m/s²   hacia abajo

 

 

Física 2P Jul24 T 622.1 – 4 Hidrostática

Los recipientes de la figura contienen un aceite incompresible de 0,75 kg/lt de densidad. El pistón A tiene un área de 20 cm², y el radio del pistón B es el triple que el del A. El tubo delgado vertical está abierto a la atmósfera en su extremo superior. El sistema se encuentra en equilibrio gracias a la acción de la fuerza vertical F sobre A, con ambos pistones a la misma altura respecto del piso, sosteniendo un bloque de 54 kg colocado sobre la plataforma en B. Si se desprecian las masas de los pistones y la plataforma, y el rozamiento con las paredes:

 

 

 a.     Calcule la intensidad de la fuerza F que debe aplicarse perpendicularmente sobre el pistón A para sostener el equilibrio.

 

F / AA = P / AB (Pascal)

 

Donde

F = Fuerza

AA = área del pistón A = 20 cm²

P = peso del bloque = m g

m = masa del bloque = 54 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

AB = área del pistón B = π rB^2

rB = radio del pistón B = 3 rA

 

AB = π rB^2 = π (3 rA)^2 = 9 (π rA^2) = 9 AA

 

Reemplazando y despejando F

F = m g AA / (9 AA) = 54 kg 10 m/s² / 9 = 60 N

 

 

b.     Si h1 = 80 cm, ¿cuál es la altura de aceite h2 que alcanzará sobre el tubo vertical?

 

Pab A = Pab T

 

Donde

Pab A = presión absoluta en la base del recipiente A = Patm + F / AA + δac g h1

Patm = presión atmosférica

F = Fuerza = 60 N

AA = área del pistón A = 20 cm² = 0,002 m²

δac = densidad del aceite = 0,75 kg/lt (1 lt / 10^-3 m³) = 750 kg/ m³

h1 = altura de aceite en el recipiente A = 80 cm = 0,80 m

 

Pab T = presión absoluta en la base del Tubo = Patm + δac g h2

h2 = altura de aceite en el tubo

 

Reemplazando y despejando h2

h2 = (F / AA + δac g h1) / (δac g) = (60 N / 0,002 m² + 750 kg/m³ 10 m/s² 0,80 m) / (750 kg/m³ 10 m/s²) = 4,8 m

 

Física 2P Jul24 T 622.1 - 3 Trabajo y energía

Una bolita de 2 kg pasa por un punto A con una velocidad de módulo 12 m/s, y recorre la pista de la figura, en la que sólo se considera rozamiento en la zona horizontal sombreada (μe = 0,9 y μd = 0,8), de longitud d. La pista tiene un tramo circular de radio r = 2 m.

 

 

a.     ¿Cuál es la intensidad de la fuerza que la pista ejerce sobre la bolita en el punto más alto en el interior del tramo circular?

  

N + P = m ac

 

Donde

N = fuerza que ejerce sobre la bolilla

P = peso = m g

m = masa de la bolilla = 2 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

ac = aceleración centrípeta = vB^2 / R

vB = velocidad en B

R = radio = 2 m

 

EmB – EmA = LncAB

 

Donde

LncAB = trabajo de las fuerzas no conservativas entre A y B = 0

 

EmB = energía mecánica en B = EpB + EcB

EpB = energía potencial en B = m g hB

hB = altura en B = 2 R = 2 * 2 m = 4 m

EcB = energía cinética en B = 1 /2 m vB^2

 

EmA = energía mecánica en A = EpA + EcA

EpA = energía potencial en A = m g hA

hA = altura en A = 0

EcA = energía cinética en A = 1/ 2 m va^2

vA = velocidad en A = 12 m/s

 

Reemplazando en la variación de energía mecánica y despejando vB^2

vB^2 = (1 / 2 m vA^2 – m g hB) / (1 /2 m) = 12 m/s)^2 – 2 * 10 m/s² 4 m = 64 m²/s²

 

Reemplazando en la ecuación de Newton en B y despejando N

N = m vB^2 / R -  m g = 2 kg 64 m²/s² / 2 m – 2 kg 10 m/s² = 44 N

 

 

b.     Halle el trabajo de la fuerza peso de la bolita cuando viaja desde A hasta B.

 

LAB = P  hB cos 180°

 

Donde

LAB = trabajo de la fuerza peso entre A y B

P = peso = m g

 

Reemplazando

L = 2 kg 10 m/s²  4 m (-1) = - 80 J

 

c.      Si la bolita llega justo al punto C, ¿cuál es la longitud d del tramo con rozamiento?

 

EmC – EmA = LncAC

 

Donde

LncAC = trabajo de las fuerzas no conservativas entre A y C = Froz d cos (180°)

Froz = fuerza de rozamiento = μd Nd

μd = coeficiente de rozamiento dinámico = 0,8

Nd = reacción del plano en el trayecto d = P

 

EmC = energía mecánica en C = EpC + EcC

EpC = energía potencial en C = m g hC

.hC = altura en C = 2 R = 2 * 2 m = 4 m

EcC = energía cinética en C = 1 /2 m vC^2

,vC = velocidad en C = 0

 

EmA = energía mecánica en A = EpA + EcA

EpA = energía potencial en A = m g hA

hA = altura en A = 0

EcA = energía cinética en A = 1/ 2 m va^2

vA = velocidad en A = 12 m/s

 

Reemplazando y despejando d

d = (m g hc –  1 / 2 m vA^2) / (-  μd m g) = (1/ 2 (12 m/s)^2 – 10 m/s²  4 m) / (0,8 * 10 m/s²) = 4 m

 

 

Física 2P Jul24 T 622.1 - 2 Dinámica

 Un bloque de 3 kg está apoyado sobre el extremo libre de un resorte vertical e ideal de 80 cm de longitud natural. El bloque se encuentra inicialmente en equilibrio, a una altura de 50 cm respecto del piso. Se desprecian todos los rozamientos.

a.     Calcule a qué altura respecto al piso hay que llevar al cuerpo (manteniéndolo unido al resorte), para que al soltarlo desde el reposo su aceleración sea de 15 m/s² hacia abajo.

 

 

Fe1 – P = 0

 

Donde

Fe1 = fuerza elástica = - k (L1 – Lo)

k = constante del resorte

L1 = longitud del equilibrio = 50 cm = 0,50 m

Lo = longitud natural = 80 cm = 0,80 m

P = peso del bloque = m g

m = masa del bloque = 3 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

 

Reemplazando y despejando k

k =  - m g / (L1 – Lo) = - 3 kg 10 m/s²  / (0,50 m - 0,80 m) = 300 N/m

 

 

Fe2 + P = m a

 

Donde

Fe2 = fuerza elástica = - k (L2 – Lo)

L2 = longitud

a = aceleración = 15 m/s²

 

Reemplazando y despejando L2

L2 = (m a – m g) / k + Lo = 3 kg (15 m/s²  - 10 m/s²) / 100 N/m + 0,80 m = 0,95 m

 

  

b.     Si, desde la posición de equilibro, se desplaza al bloque 30 cm hacia abajo y se lo suelta desde el reposo, calcule la aceleración instantánea que adquiere, indicando su sentido.

  

Fe3 - P = m a3

 

Donde

Fe3 = fuerza elástica = - k (L3 – Lo)

L3 = longitud = L1 – 30 cm = 0,50 m – 0,30 m = 0,20 m 

a3 = aceleración

 

Reemplazando y despejando a3

a3 = (- k (L3 – Lo) – m g) / m = (- 100 N/m (0,20 m – 0,80 m) – 3 kg 10 m/s² ) / 3 kg = 10 m/s²

c.      Grafique la aceleración del bloque en función de la altura respecto al piso, indicando los valores correspondientes a las posiciones estudiadas en los ítems anteriores.