Cinematica 3 MRUV 11

3.11. Un automovilista se da cuenta, al sobrepasar a un motociclista, de que se trata de un amigo e instantáneamente (se desprecia el tiempo de reacción) aplica los frenos. Toda la información está contenida en el gráfico v vs. t, en el que se ha prendido el cronómetro en el instante en el que el auto sobrepasa a la moto.

a. Cuatro segundos después de que el coche pasa a la moto, ¿quién va adelante?, ¿o van juntos? Justifique la respuesta.

En t₀ = 0s el automovilista ve al amigo y frena; los datos, según el gráfico, en ese momento son

Auto

t_a0 = tiempo inicial del auto = 0 s

x_a0 = posición inicial del auto = 0 m

v_a0 = velocidad inicial del auto = 90 km/h = 90 * 1000 /3600 m/s = 25 m/s

Moto 

t_m0 = tiempo inicial de la moto = 0 s

x_m0 = posición inicial de la moto = 0 m

v_m0 = velocidad inicial de la moto = 54 km/h = 54 * 1000 /3600 m/s = 15 m/s

A los t₁ = 4s el auto y la moto tienen la misma velocidad v_a1  = v_m0= 15 m/s.

aceleración del auto 

a = (v_a1 – v_a0) / (t₁ - t₀₎ = ( 15 m/s – 25 m/s)/( 4s -0s) = -2,5 m/s²

Las ecuaciones horarias que describen el movimiento del auto y la moto

x_m =  x_m0+ v_m0 * t

x_a =  x_a0 + v_a0 * t + 1/2 a * t²

v_a = v_a0 + a* t

Reemplazando por los datos

x_m = 15 m/s * t

x_a = 25 m/s * t + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t²

v_a = 25 m/s + ( -2,5 m/s²) * t

a. Quien esta adelante?

En t₁ = 4s la posición de ambos móviles

x_m1 = 15 m/s * 4s =  60 m

x_a1 = 25 m/s * 4s + 1/2 *(-2,5 m/s²) * (4s)²  = 80 m

El auto esta adelante

b. ¿Cuándo y dónde vuelven a encontrarse?

Se encuentra cuando están en el mismo sitio ( x_m =  x_a ) en el mismo momento (t_e)

x_m = 15 m/s * t

x_a = 25 m/s * t + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t²

Igualando

15 m/s * t_e = 25 m/s * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²

Reordenando los términos

( 25 m/s – 15 m/s) * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²  = 0

10 m/s * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²  = 0

t_e * ( 10 m/s + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e)  = 0

Como toda cuadrática tiene dos soluciones

t_e = 0s ( cuando el auto adelanto la moto)

10 m/s + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e =  0

Despejando t_e

t_e = 8 s ( segundo encuentro)

c. ¿Cuál es la velocidad del auto en ese momento?

reemplazando en la ecuación horaria de la velocidad

v_ae = 25 m/s + ( -2,5 m/s²) *  8s =  5 m/s

d. Grafique x vs. t para ambos móviles.

e. ¿Podría hallar las soluciones a partir del gráfico v vs. t?

Distancia recorrida = superficie bajo la curva velocidad vs tiempo

Auto

Distancia recorrida = ½  base ( 4s) * altura ( 25 -15 m/s) + base (4s) * altura ( 15 m/s) =

Distancia recorrida = 20 m + 60 m = 80 m

Moto

Distancia recorrida = base (4s) * altura ( 15 m/s) = 60 m