Cinematica 3 MRUV 14

3.14. Dos móviles A y B viajan por un camino rectilíneo. Inicialmente A tiene aceleración nula, velocidad 9 m/s y posición –30 m, mientras que los valores correspondientes a B son 6 m/s², -6 m/s y cero. Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

 ( a ) A los 3 s los móviles se encuentran.

 ( b ) Transcurridos 2 s están separados 5 m.

 ( c ) Por tener aceleración positiva, la velocidad de B nunca cambia de sentido.

 ( d ) Los móviles no se encuentran.

 ( e ) Ninguna de las anteriores.

Las ecuaciones horarias de los dos móviles

Móvil A

x = x_o + v ( t – t_o )

Donde

t_o = tiempo inicial = 0 s

x_o = posición inicial = - 30 m

v_o = velocidad inicial = 9 m/s

a = aceleración = 0

Reemplazando

x_A = – 30 m + 9 m/s * t

Móvil B

x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

Donde

t_o = tiempo inicial = 0 s

x_o = posición inicial = 0 m

v_o = velocidad inicial = - 6 m/s

a = aceleración = 6 m/s²

Reemplazando

x_B =  – 6 m/s * t + ½* 6 m/s² * t²

Las opciones

( a ) A los 3 s los móviles se encuentran.

Reemplazando t = 3s en ambas ecuaciones

x_A = – 30 m + 9 m/s * 3s = - 3 m

x_B =  – 6 m/s * 3s + ½ * 6 m/s² * (3s)² = 9 m

Falsa. Están en dos sitios diferentes

 ( b ) Transcurridos 2 s están separados 5 m.

Reemplazando t = 2s en ambas ecuaciones

x_A = – 30 m + 9 m/s * 2s = -12 m

x_B =  – 6 m/s * 2s + ½ * 6 m/s² * (2s)² = 0 m

Falsa. La separación es de 12 m.

 ( c ) Por tener aceleración positiva, la velocidad de B nunca cambia de sentido.

Falsa. Inicialmente la velocidad y la aceleración tienen distinto signo por lo tanto en algún momento la velocidad cambiara de sentido.

 ( d ) Los móviles no se encuentran.

Dos móviles se encuentran si están n el mismo sitio en el mismo momento

Igualando las ecuaciones horarias del desplazamiento

 - 30 m + 9 m/s * t =  – 6 m/s * t + ½ * 6 m/s² * t²

Reordenando los términos para armar una ecuación cuadrática

 1/2 * 6 m/s² * t²  – 6 m/s * t - 9 m/s * t  + 30 m = 0

3 m/s² * t²  – 15 m/s * t  + 30 m = 0

Esta ecuación es de la forma

a * t²  + b * t  + c = 0

Donde

a = 3 m/s²

b = – 15 m/s

c = 30 m

tiene dos soluciones

t_1,2 = ( - b +/- √(b² - 4*a*c))/(2*a)

Resolvamos primero el discrimínante ( lo que esta dentro de la raíz)

b² - 4*a*c = (-15)² - 4*3*30 = 225 – 360 = -135

No existe raíz cuadrada de números negativos en el campo de los reales.

Por lo tanto,  la ecuación cuadrática no tiene solución.

Verdadera. Los móviles nunca se encuentran

 ( e ) Ninguna de las anteriores.

Falsa. Por ser la anterior verdadera