Dinamica y estatica 1 - Leyes de la dinamica 19

1.19. En la superficie de cierto planeta la aceleración de la gravedad es 5 veces mayor que en la Tierra. Analizar la veracidad o falsedad de las proposiciones siguientes:

 a. La masa del Kilogramo Patrón terrestre es allí de 5 kg.

 b. El Kilogramo Patrón terrestre pesa allí 5 kgf.

 c. Si al Kilogramo Patrón terrestre se lo coloca allí sobre una mesa con rozamiento despreciable, y se lo empuja con una fuerza horizontal de 1 kgf, adquiere una aceleración de 5 |g|.

 d. Si al Kilogramo Patrón terrestre se lo deja caer allí libremente, al cabo de 1 segundo habrá recorrido una distancia 5 veces mayor que la recorrida en idéntico experimento aquí en la Tierra.

Determinación de la aceleración de la gravedad del Planeta

, g_P  = 5 * g = 5 * 10 m/s² = 50 m/s²

a. La masa del Kilogramo Patrón terrestre es allí de 5 kg.

Falso

La masa sigue siendo la masa lo que varia es el peso (en cualquier planeta).

, m = 1 kilogramo patrón = 1 kg

b. El Kilogramo Patrón terrestre pesa allí 5 kgf.

Verdadero

P = m * g = 1 kg * 50 m/s² = 50 N = 5 kgf

(Recordar 1 kgf = 10 N)

c. Si al Kilogramo Patrón terrestre se lo coloca allí sobre una mesa con rozamiento despreciable, y se lo empuja con una fuerza horizontal de 1 kgf, adquiere una aceleración de 5 |g|.

Falso

F = m * a

Despejando a

, a = F / m = 1 kgf / 1 kg = 10 N / 1 kg = 10 m/s² = 1 |g|

d. Si al Kilogramo Patrón terrestre se lo deja caer allí libremente, al cabo de 1 segundo habrá recorrido una distancia 5 veces mayor que la recorrida en idéntico experimento aquí en la Tierra.

Verdadero

La ecuación horaria de la distancia en la caída libre

, y = y_o – ½ g_P * t²

Donde

, y_o = la altura de partida

La distancia recorrida

, y_o – y =  ½ g_P * t² = 1/2 * 5* g * t² = 5 * (1/2 g * t²)

Distancia recorrida = 5 * distancia recorrida en la Tierra

Dinamica y estatica 1 - Leyes de la dinamica 16

1.16. Responder verdadero o falso justificando la respuesta.

a) A un cuerpo de masa 1 kg se le aplica una fuerza de 1 kgf entonces adquiere una aceleración de 1 m/s².

Falso

Recordar 1 kgf = 10 N

Según la segunda Ley de Newton

Σ F = m * a

donde

Σ F = sumatoria de las fuerzas aplicadas

m = masa

a = aceleración

Reemplazando

1 kgf = 10 N = 1 kg * a

a = 10 m/s²

b) Cuando una mariposa golpea contra el vidrio delantero de un automóvil en movimiento la fuerza que hace la mariposa sobre el vidrio tiene la misma intensidad que la que hace el vidrio sobre la mariposa.

Verdadero

La tercera Ley de Newton o principio de acción y reacción lo asegura.

c) Según como proceda una persona para subir a un estante una carga de 30 kg podría llegar a hacerle en algún instante una fuerza de módulo menor que 30 kgf.

Verdadero

En “algún” instante todo es posible.

Fuerzas mayores, iguales y/o menores a 30 kgf, nadie obliga a la persona a subir la caja en forma continua.

d) La expresión de la segunda ley de Newton  vale solamente si F es la resultante.

Verdadero.

La forma “correcta” de escribir la segunda ley de Newton es

Σ F = m * a

Por definición la resultante es

R = Σ F

e) Si un cuerpo tiene aplicada una fuerza hacia abajo, solo puede moverse hacia abajo.

Falso

Todo depende de lo que esta haciendo el cuerpo en el instante que se le aplica la fuerza.

Si el cuerpo estaba quieto, comienza a bajar (caída libre)

Si estaba subiendo, continuara subiendo y luego bajara (tiro vertical).

f) En un cuerpo apoyado sobre un plano horizontal la fuerza peso y la fuerza que el plano hace sobre el cuerpo son pares de acción y reacción.

Falso

Los pares de acción y reacción se aplican en cuerpos distintos. En este caso “ambas” fuerzas se ejercen sobre el cuerpo.

g) Cuando un colectivo frena una fuerza nos impulsa hacia adelante.

Falso

Lo que nos impulsa hacia delante es el principio de inercia o primera Ley de Newton.

El pasajero se sigue moviendo con la velocidad que traía el colectivo antes de frenar.

Cuando el colectivo frena, es el colectivo el que se detiene y el pasajero sigue (hasta que algo lo frena p.e. el asiento de adelante o el parabrisas)

Dinamica y estatica 1 - Leyes de la dinamica 20

1.20. Analiza

1.20. Analizar y comentar el párrafo siguiente: ... siendo así que a toda «acción» se opone una “reacción”, ¿cómo se puede explicar que podamos mover un cuerpo empujándolo, si ambas fuerzas se anulan entre sí, y por lo tanto deberán producir reposo?

El principio de acción y reacción o tercera ley de Newton se refiere a fuerzas en cuerpos distintos.

El cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B de igual dirección, igual modulo y sentido opuesto a la que ejerce B sobre el cuerpo A.

En este caso el cuerpo A es el individuo que ejerce la fuerza y el cuerpo B es la caja.

El individuo ejerce una fuerza sobre la caja y por lo tanto la caja se mueve.

La caja ejerce una fuerza sobre el individuo, pero ese es un problema del individuo.

Cinematica 6 - MCU 5

6.5. Un móvil recorre una circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia de 10 Hz. Determinar:

a. el período

b. la velocidad angular

c. su velocidad tangencial

d. su aceleración

Recordar 1 Hz = 1 / s = s^-1

a. el período

T = 1 / ƒ

T = 1 / 10 Hz = 1 / 10 s^-1 = 0,1 s

b. la velocidad angular

, ω = 2π / T = 2π * ƒ

, ω = 2π * 10 Hz  = 62,8 s^-1

c. su velocidad tangencial

, v = ω * R = 2π * ƒ * R

, v = 2π * 10 Hz * 0,5 m  = 31,4 m/s

d. su aceleración.

, a_c = ω * v = 2π * ƒ * 2π * ƒ * R = 4*π² * ƒ² * R

, a_c = 4π² * (10 Hz)² * 0,5 m = 1.972 m/s²

Cinematica 6 - MCU 4

6.4. Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. Determinar el radio de ésta. Si el automóvil tiene aceleración en algún instante, determinar su módulo, dirección y sentido.

La ecuación que vincula la velocidad lineal con la velocidad angular es:

V = ω * R

donde

V = velocidad = 72 km/h = 72/3,6 m/s = 20 m/s

R = Radio

ω = velocidad angular

Por definición la velocidad angular es el ángulo barrido / el tiempo empleado.

El móvil “barre” 2 π en cada periodo (T)

ω = velocidad angular = 2 π  / T

donde

T = 1 min = 60 s

ω = velocidad angular = 2 π  / T =  2 π  / 60 s

Reemplazando en la ecuación de la velocidad lineal

V = ω * R

20 m/s = R *2 π  / 60 s

Despejando R

R = 20 m/s * 60 s / (2* 3,14) = 191 m  

El automóvil, como todo objeto en movimiento circular uniforme, esta sometido a una aceleración centrípeta.

a_c = v * ω

Reemplazando

a_c = 20 m/s * 2 π  / 60 s = 2,09 m/s²  (modulo)

Dirección: sobre la recta perpendicular a la trayectoria que contiene el centro de curvatura

Sentido: Hacia el centro de curvatura

Cinematica 6 - MCU 3

6.3. Las ruedas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro. Calcular con qué velocidad angular giran, cuando el automóvil marcha a 72 km/h en un camino rectilíneo, sin que resbalen.

La ecuación que vincula la velocidad lineal con la velocidad angular es:

V = ω * R

donde

V = velocidad = 72 km/h = 72/3,6 m/s = 20 m/s

R = Radio = 60 cm /2 = 30 cm = 0,3 m

ω = velocidad angular

Despejando ω y reemplazando:

ω = V / R = 20 m/s / 0,3 m  = 66,7 s^-1 

Cinematica 5 - Tiro oblicuo 6

5.6. Un cuerpo es lanzado desde el piso en tiro oblicuo, y toca el piso al cabo de 8 s, a 80 m del lugar de lanzamiento. Su altura máxima y su velocidad en dicha altura son:

a) 80 m y 10 m/s;

b) 80 m y 40 m/s;

c) 40 m y 10 m/s;

d) 40 m y 40 m/s;

e) ninguna es correcta

Las ecuaciones horarias del tiro oblicuo son

x = x_o + v_x ( t – t_o )

y = y_o + v_oy ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

v_y = v_oy- g ( t – t_o )

Donde

x_o = 0 m

y_o = 0 m

t_o = 0 s

Reemplazando en las ecuaciones

x = v_x  t

y = v_oy  t  - ½ 10 m/s²  t²

v_y = v_oy - 10 m/s²  t

En el punto que toca el piso

 x = 80 m

 y = 0m

 t = 8s

Reemplazando en la ecuación de x

80 m = v_x * 8 s

Despejando  v_x

v_x = 80 m/ 8 s = 10 m/s ( constante en toda la trayectoria)

Las componentes de la velocidad en la altura máxima:

v_x = 10 m/s

v_y = 0 m/s ( condición de altura máxima)

Reemplazando en la ecuación de y

0 m = 0 m + v_oy * 8 s – ½ * 10 m/s² (8s)²

Despejando la velocidad v_oy

v_oy = ½ * 10 m/s² (8s)² / 8 s = 40 m/s

Reemplazando la velocidad inicial v_oy = 40 m/s en la ecuación de la velocidad con la condición de altura máxima (v_y = 0 m/s)

0 m/s = 40 m/s + 10 m/s² * t_M

Despejando t_M

t_M = 40 m/s / 10 m/s² = 4 s ( tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima)

Reemplazando en la ecuación de y

y_M = 40 m/s * 4 s – ½ * 10 m/s² (4s)² = 80 m

Respuesta correcta a)

Cinematica 5 - Tiro oblicuo 4

5.4. Un gato maúlla con ganas, instalado sobre un muro de 2 m de altura. Juan está en su jardín, frente a él y a 18 m del muro, y pretende ahuyentarlo arrojándole un zapato. El proyectil parte con una velocidad de 15 m/s, formando 53° con la horizontal, desde una altura de 1,25 m.

a. Hallar a qué altura por encima del gato pasó el zapato.

b. Determinar a qué distancia del otro lado del muro llegó el zapato al piso.

Las ecuaciones horarias del tiro oblicuo:

x = x_o + v_x ( t – t_o )

y = y_o + v_oy ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

Donde

x_o = 0 m

t_o = 0 s

y_o = 1,25m  (la altura desde donde sale el zapato)

Las velocidades v_ox y v_oy se obtienen de la descomposición de la velocidad v_o = 15 m/s, en sus componente x e y según el Angulo 53º con la horizontal

v_ox = v_{o *} cos (53º) = 15 m/s * 0,6 = 9 m/s

v_oy = v_{o *} sen (53º) = 15 m/s * 0,8 = 12 m/s

Reemplazando en las ecuaciones

x = 9 m/s * t

y = 1,25 m + 12 m/s * t – ½ * 10 m/s² * t²

a. Hallar a qué altura por encima del gato pasó el zapato.

El gato esta sobre un muro ubicado en

x₁ = 18 m

y₁ = 2 m

Reemplazando x₁ en la ecuación horaria y despejando t se determina el tiempo que tardo el zapato en llegar al muro (t₁)

18 m = 9 m/s * t₁

t₁  = 18 m / 9 m/s = 2 s

Reemplazando en ala ecuación de y se determina la altura del zapato al llegar al muro

y = 1,25 m + 12 m/s * 2s  – ½ * 10 m/s² *(2s)² = 5,25 m

La altura por encima del gato que paso el zapato (h) será:

h = altura del zapato – altura del gato = 5,25 m – 2 m = 3,25 m

b. Determinar a qué distancia del otro lado del muro llegó el zapato al piso.

Volviendo a la ecuación del desplazamiento según y con la condición de y =0 (el piso)

0 = 1,25 m + 12 m/s * t – ½ * 10 m/s² * t²

Esta cuadrática tiene dos soluciones, reemplazando en la ecuación de la cuadrática :

t = ( - b +/- √(b² - 4ac) )/(2a)

Con

a = – 5 m/s²

b = 12 m/s

c = 1,25 m

Las soluciones son

t = -0,1 s ( imposible)

t = 2,5 s

Reemplazando en la ecuación de x

x = 9 m/s * 2,5 s = 22,5 m

La distancia a la que cayo el zapato del muro (d) será:

d = distancia que cayo el zapato – distancia al muro = 22,5 m -18 m = 4,5 m

Cinematica 5 - Tiro oblicuo 8

5.8. Susana arroja horizontalmente su llavero desde la ventana de su departamento, y Andrés lo recibe a 1,2 m de altura sobre el piso, 0,8 segundos después. Sabiendo que Andrés se encuentra a 4,8 m del frente de la casa de Susana, hallar:

a. A qué altura del piso partió el llavero.

b. Con qué velocidad llegó a las manos de Andrés.

c. Cuál es la ecuación de la trayectoria.

Las ecuaciones horarias del tiro oblicuo:

x = x_o + v_ox ( t – t_o )

y = y_o + v_oy ( t – t_o ) + ½ g ( t – t_o )²

v_x = v_ox
v_y = v_oy+ g ( t – t_o )

donde
t_o = 0 s

x_o = 0 m

v_oy = 0 m/s ( tiro horizontal)

Reemplazando

x = v_ox * t

y = y_o – ½ * 10 m/s² * t²

v_y = – 10 m/s² * t

Andrés se encuentra

y_A = 1,2 m

x_A = 4,8 m

t_A = 0,8 s

Reemplazando en la ecuación según y

1,2 m = y_o – ½ * 10 m/s² * (0,8 s)²

Despejando y_o

y_o = 1,2 m + ½ * 10 m/s² * (0,8 s)² = 4,4 m ( altura de partida)

Reemplazando en la ecuación según x

4,8 m = v_ox * 0,8 s

Despajando v_ox

v_ox = 4,8 m / 0,8 s = 6 m/s (velocidad de partida)

Reemplazando en la ecuación de la velocidad

v_y = – 10 m/s² * 0,8 s = - 8 m/s

La velocidad de llegada cera la composición de v_x y v_y

v = √( v_x² + v_y² ) = √( (6 m/s)² + (-8 m/s)² ) = 10 m/s

El ángulo α

tg α = v_y / v_x = - 8 m/s / 6 m/s = (- 4/3)

α = arc tg (- 4/3) = - 53°

La ecuación de la trayectoria resulta de despejar t en la ecuación según x y reemplazar en la ecuación según y

x = 6 m/s * t

Despejando t

t = x / (6 m/s)

Reemplazando en y

y = 4,4 m – ½ * 10 m/s² * (x / (6 m/s))²

y = 4,4 m –  5/36 1/m * x²