Cinematica 3 MRUV 17

3.17. Una piedra cae libremente, partiendo del reposo. Hallar:

a. Su aceleración. (Justificar las hipótesis que necesite).

b. El tiempo que tardará en alcanzar una velocidad de 30 m/s.

c. La distancia recorrida en ese tiempo.

d. Su velocidad luego de recorrer 5 m.

e. El tiempo requerido para recorrer 500 m.

a. Aceleración

Caída libre (en el planeta Tierra)

, a = -g = - 10 m/s²

b. Tiempo hasta v =  30 m/s

La ecuación horaria de la velocidad será:

, v = v_o + a ( t – t_o )

Donde

, v_o = 0 m/s ( caída libre)

, t_o = 0 s

Reemplazando para = - 30 m/s (la piedra cae, se acerca al origen)

, - 30 m/s  = - 10 m/s² * t

Despejando t

, t = - 30 m/s / (- 10 m/s²)

, t = 3s

c. Distancia recorrida

La ecuación horaria de la posición será

, y = y_o + v_o ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

La distancia recorrida

, y - y_o = v_o ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

Reemplazando

, y - y_o  = - ½ *10 m/s² * ( 3s )²

, y - y_o  = - 45 m

d. Velocidad para y = 5m

La distancia recorrida será ( ver c)

, y - y_o = v_o ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

Reemplazando

, - 5 m = -  ½ *10 m/s² * t²

Despejando t

, t² =  - 5 m / (-  ½ *10 m/s²) = 1 s²

, t = 1s

La velocidad en t = 1s

, v  = - 10 m/s² * 1s

, v = - 10 m/s

e. Tiempo en recorrer 500 m

La distancia recorrida será ( ver c)

, y - y_o = v_o ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

Reemplazando

, - 500 m = -  ½ *10 m/s² * t²

Despejando t

, t² =  - 500 m / (-  ½ *10 m/s²) = 100 s²

, t = 10s

Cinematica 3 MRUV 20

3.20. Responda verdadero o falso y justifique.

a) Cuando en un tiro vertical hacia arriba el proyectil alcanza su máxima altura, su aceleración es cero.

b) En el vacío no hay gravedad.

c) En un tiro vertical hacia arriba el movimiento es primero desacelerado y luego acelerado, entonces la aceleración cambia de signo.

d)  Si se sueltan una pluma y una piedra dentro de un tubo en cuyo interior se hizo vacío, ambos objetos caen a la par.

e) Hay casos en que, en cierto instante, la velocidad es cero y la aceleración es distinta de cero.

a) Cuando en un tiro vertical hacia arriba el proyectil alcanza su máxima altura, su aceleración es cero.

Falso

La aceleración es constante y conocida; aceleración de la gravedad = 10 m/s² (aproximadamente)

b) En el vacío no hay gravedad.

Falso

Aunque con reservas.

Si se refiere al vacío en el interior de un tubo ubicado sobre la superficie terrestre SI hay gravedad.

Si se refiere al vacío interestelar NO hay gravedad.

La gravedad depende de la masa de los cuerpos cercanos (planetas, estrellas, etc), p.e. la Tierra, si no hay cuerpos no hay gravedad.

c) En un tiro vertical hacia arriba el movimiento es primero desacelerado y luego acelerado, entonces la aceleración cambia de signo.

Falso

La aceleración no cambia de signo, lo que cambia de signo es la velocidad; cuando la velocidad y la aceleración tienen distinto signo el movimiento es desacelerado y cuando tienen el mismo es acelerado

d) Si se sueltan una pluma y una piedra dentro de un tubo en cuyo interior se hizo vacío, ambos objetos caen a la par.

Verdadero

Porque en un tubo en cuyo interior se hizo vacío no hay aire y es el aire el que “frena” la pluma más que a la piedra. Entonces ambas caen a la par.

e) Hay casos en que, en cierto instante, la velocidad es cero y la aceleración es distinta de cero.

Verdadero.

En el tiro vertical, en el instante de llegar a la altura máxima la velocidad es cero pero la gravedad  siempre esta.

En la caída libre, en el instante de soltar el cuerpo la velocidad es cero y la gravedad es siempre la misma.

Cinematica 3 MRUV 16

3.16. Se lanza un paquete hacia arriba, con una velocidad de 3 m/s, por un tablón inclinado con rozamiento no despreciable. El paquete sube en línea recta hasta detenerse, y regresa luego al punto de partida. Asciende durante 2 segundos, y desciende durante 4 segundos.

a. Hallar la aceleración que actúa en el ascenso, y la distancia que recorre sobre el plano, hasta detenerse.

La trayectoria “parece” en dos dimensiones pero en realidad es un movimiento unidimensional, en la dirección del desplazamiento

En la subida

Ecuaciones horarias

x_s = x_o + v_o ( t_s – t_o) + 1/2 a_s ( t_s – t_o)²

v_s = v_o + a_s ( t_s – t_o)

Donde

x_o = posición inicial = 0

x_s = posición final de subida

v_o = velocidad inicial = 3 m/s

v_s = velocidad final de subida = 0 m/s

t_o = tiempo inicial = 0 s

t_s = tiempo final = 2 s

a_s = aceleración de subida 

Deja de subir cuando su velocidad final = 0 (v = 0 m/s)

Reemplazando

0 = 3 m/s + a_s  2 s

Despejando a_s

a_s  = - 3 m/s / 2s = - 1,5 m/s²

La distancia recorrida

x_s=  3 m/s 2 s + 1/2 ( - 1.5 m/s²) (2 s)²  = 3 m

b. Hallar con qué aceleración desciende, y la velocidad con que llega al lugar de partida.

En la bajada

Ecuaciones horarias

x_b = x₁ + v₁ (t_b – t₀) + 1/2 a_b ( t_b – t₀)²

v_b = v₁ + a_b ( t_b – t₀)

Donde

x₁ = posición inicial de bajada = posición final de subida = x_s = 3 m

x_b = posición final de bajada = posición inicial de subida = x₀ = 0 m 

v₁ = velocidad inicial de bajada = velocidad final de subida = v_s = 0 m/s

v_b = velocidad final de bajada

t₀ = tiempo inicial de la bajada = 0 s

t_b = tiempo final de la bajada = 4s

a_b= aceleración de bajada

Cuando “baja” vuelve al punto del origen (x_o = 0)

0 =  3 m +  ½ a_b * (4 s)²

Despejando a_b

a_b =  - 3 m / (1/2 (4 s)²)  =  - 0,375 m/s²

La velocidad final

v_b = a_b 4s = -0,375 m/s² 4 s = - 1,5 m/s

c. Trazar los gráficos de aceleración, velocidad y posición del paquete, en función del tiempo.

Gráfica x vs t

Gráfico v vs t

Gráfico a vs t

Cinematica 3 MRUV 15

3.15. Un automóvil pasa frente a un puesto caminero, moviéndose con velocidad constante de 108 km/h, en una ruta rectilínea. Un policía parte en su motocicleta desde el puesto, 5 segundos más tarde, con una aceleración constante de 4m/s² hasta llegar a su velocidad máxima (144 km/h), que luego mantendrá constante. ¿A qué distancia del puesto se cruzará con el automóvil? Trazar los gráficos correspondientes.

Las ecuaciones horarias de ambos móviles son

Auto

x = x_o + v_o  * ( t - t_o )

Donde

x_o=  0 m

t_o=  0 s

v_o=  108 km/h = 108 /3,6 m/s = 30 m/s

Reemplazando

x = 30 m/s * t

Moto

1er parte - acelerando

x = x_o + v_o  * ( t - t_o ) + ½ a *( t - t_o )²

v = v_o  + a * ( t - t_o )

Donde

x_o=  0 m

t_o=  5 s

a = 4 m/s²

v_o =  0 m/s

v₁ =  144 km/h = 144 /3,6 m/s = 40 m/s

Despejando t de la ecuación de velocidad se puede obtener el tiempo que dura la aceleración

 40 m/s = 4m/s² * ( t – 5s )

t = 40 m/s / 4m/s² + 5s = 15 s

La distancia recorrida en ese tiempo será

x = ½ a *( t - t_o )² = ½ * 4m/s² * ( 15s – 5s )² = 200 m

2da parte – velocidad constante

x = x₁ + v₁  * ( t – t₁ )

Donde

x₁=  200 m

t₁=  15 s

v₁=  40 m/s

Reemplazando

x = 200 m + 40 m/s * ( t – 15s )

El auto y la moto se encuentran cuando están en el mismo sitio en el mismo momento.

Igualando las ecuaciones de posición

30 m/s * t = 200 m + 40 m/s * ( t – 15s )

Despejando t

t = (200 m – 600 m) / ( 30 m/s – 40 m/s) = 40 s

Reemplazando en la ecuación de posición

x = 30 m/s * t = 30 m/s * 40 s

x = 1.200 m

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Cinematica 3 MRUV 14

3.14. Dos móviles A y B viajan por un camino rectilíneo. Inicialmente A tiene aceleración nula, velocidad 9 m/s y posición –30 m, mientras que los valores correspondientes a B son 6 m/s², -6 m/s y cero. Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

 ( a ) A los 3 s los móviles se encuentran.

 ( b ) Transcurridos 2 s están separados 5 m.

 ( c ) Por tener aceleración positiva, la velocidad de B nunca cambia de sentido.

 ( d ) Los móviles no se encuentran.

 ( e ) Ninguna de las anteriores.

Las ecuaciones horarias de los dos móviles

Móvil A

x = x_o + v ( t – t_o )

Donde

t_o = tiempo inicial = 0 s

x_o = posición inicial = - 30 m

v_o = velocidad inicial = 9 m/s

a = aceleración = 0

Reemplazando

x_A = – 30 m + 9 m/s * t

Móvil B

x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

Donde

t_o = tiempo inicial = 0 s

x_o = posición inicial = 0 m

v_o = velocidad inicial = - 6 m/s

a = aceleración = 6 m/s²

Reemplazando

x_B =  – 6 m/s * t + ½* 6 m/s² * t²

Las opciones

( a ) A los 3 s los móviles se encuentran.

Reemplazando t = 3s en ambas ecuaciones

x_A = – 30 m + 9 m/s * 3s = - 3 m

x_B =  – 6 m/s * 3s + ½ * 6 m/s² * (3s)² = 9 m

Falsa. Están en dos sitios diferentes

 ( b ) Transcurridos 2 s están separados 5 m.

Reemplazando t = 2s en ambas ecuaciones

x_A = – 30 m + 9 m/s * 2s = -12 m

x_B =  – 6 m/s * 2s + ½ * 6 m/s² * (2s)² = 0 m

Falsa. La separación es de 12 m.

 ( c ) Por tener aceleración positiva, la velocidad de B nunca cambia de sentido.

Falsa. Inicialmente la velocidad y la aceleración tienen distinto signo por lo tanto en algún momento la velocidad cambiara de sentido.

 ( d ) Los móviles no se encuentran.

Dos móviles se encuentran si están n el mismo sitio en el mismo momento

Igualando las ecuaciones horarias del desplazamiento

 - 30 m + 9 m/s * t =  – 6 m/s * t + ½ * 6 m/s² * t²

Reordenando los términos para armar una ecuación cuadrática

 1/2 * 6 m/s² * t²  – 6 m/s * t - 9 m/s * t  + 30 m = 0

3 m/s² * t²  – 15 m/s * t  + 30 m = 0

Esta ecuación es de la forma

a * t²  + b * t  + c = 0

Donde

a = 3 m/s²

b = – 15 m/s

c = 30 m

tiene dos soluciones

t_1,2 = ( - b +/- √(b² - 4*a*c))/(2*a)

Resolvamos primero el discrimínante ( lo que esta dentro de la raíz)

b² - 4*a*c = (-15)² - 4*3*30 = 225 – 360 = -135

No existe raíz cuadrada de números negativos en el campo de los reales.

Por lo tanto,  la ecuación cuadrática no tiene solución.

Verdadera. Los móviles nunca se encuentran

 ( e ) Ninguna de las anteriores.

Falsa. Por ser la anterior verdadera