Cinematica 3 MRUV 14

3.14. Dos móviles A y B viajan por un camino rectilíneo. Inicialmente A tiene aceleración nula, velocidad 9 m/s y posición –30 m, mientras que los valores correspondientes a B son 6 m/s², -6 m/s y cero. Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

 ( a ) A los 3 s los móviles se encuentran.

 ( b ) Transcurridos 2 s están separados 5 m.

 ( c ) Por tener aceleración positiva, la velocidad de B nunca cambia de sentido.

 ( d ) Los móviles no se encuentran.

 ( e ) Ninguna de las anteriores.

Las ecuaciones horarias de los dos móviles

Móvil A

x = x_o + v ( t – t_o )

Donde

t_o = tiempo inicial = 0 s

x_o = posición inicial = - 30 m

v_o = velocidad inicial = 9 m/s

a = aceleración = 0

Reemplazando

x_A = – 30 m + 9 m/s * t

Móvil B

x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

Donde

t_o = tiempo inicial = 0 s

x_o = posición inicial = 0 m

v_o = velocidad inicial = - 6 m/s

a = aceleración = 6 m/s²

Reemplazando

x_B =  – 6 m/s * t + ½* 6 m/s² * t²

Las opciones

( a ) A los 3 s los móviles se encuentran.

Reemplazando t = 3s en ambas ecuaciones

x_A = – 30 m + 9 m/s * 3s = - 3 m

x_B =  – 6 m/s * 3s + ½ * 6 m/s² * (3s)² = 9 m

Falsa. Están en dos sitios diferentes

 ( b ) Transcurridos 2 s están separados 5 m.

Reemplazando t = 2s en ambas ecuaciones

x_A = – 30 m + 9 m/s * 2s = -12 m

x_B =  – 6 m/s * 2s + ½ * 6 m/s² * (2s)² = 0 m

Falsa. La separación es de 12 m.

 ( c ) Por tener aceleración positiva, la velocidad de B nunca cambia de sentido.

Falsa. Inicialmente la velocidad y la aceleración tienen distinto signo por lo tanto en algún momento la velocidad cambiara de sentido.

 ( d ) Los móviles no se encuentran.

Dos móviles se encuentran si están n el mismo sitio en el mismo momento

Igualando las ecuaciones horarias del desplazamiento

 - 30 m + 9 m/s * t =  – 6 m/s * t + ½ * 6 m/s² * t²

Reordenando los términos para armar una ecuación cuadrática

 1/2 * 6 m/s² * t²  – 6 m/s * t - 9 m/s * t  + 30 m = 0

3 m/s² * t²  – 15 m/s * t  + 30 m = 0

Esta ecuación es de la forma

a * t²  + b * t  + c = 0

Donde

a = 3 m/s²

b = – 15 m/s

c = 30 m

tiene dos soluciones

t_1,2 = ( - b +/- √(b² - 4*a*c))/(2*a)

Resolvamos primero el discrimínante ( lo que esta dentro de la raíz)

b² - 4*a*c = (-15)² - 4*3*30 = 225 – 360 = -135

No existe raíz cuadrada de números negativos en el campo de los reales.

Por lo tanto,  la ecuación cuadrática no tiene solución.

Verdadera. Los móviles nunca se encuentran

 ( e ) Ninguna de las anteriores.

Falsa. Por ser la anterior verdadera

Cinematica 3 MRUV 13

3.13. Un automóvil y un camión parten simultáneamente, desde el reposo, con el auto a cierta distancia detrás del camión. Ambos se mueven con aceleración constante, de 1,8 m/s² para el automóvil y de 1,2 m/s² para el camión, y se cruzan cuando el auto se halla a 45 m de su lugar de partida. Hallar:

a. Cuánto tiempo tardó el auto en alcanzar al camión.

b. Qué distancia los separaba inicialmente.

c. La velocidad de cada vehículo cuando están a la par.

d. Los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo, para ambos.

Las ecuaciones horarias de ambos móviles son:

x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

 v= v_o + a ( t – t_o )

Donde

Auto

t_o = instante inicial = 0

x_o = posición inicial = 0

v_o = velocidad inicial = 0 ( parte del reposo)

a = aceleración = 1,8 m/s²

Reemplazado

x_a =  ½ * 1,8 m/s² * t²

v_a = 1,8 m/s² * t

Camión

t_o = instante inicial = 0

x_o = posición inicial = d  (distancia inicial de separación)

v_o = velocidad inicial = 0 ( parte del reposo)

a = aceleración = 1,2 m/s²

Reemplazado

x_c =  d + ½ * 1,2 m/s² * t²

v_c = 1,2 m/s² * t

a. Tiempo de encuentro

Se encuentran a 45 m de la partida

De la ecuación horaria del auto se determina el tiempo del encuentro

45 m =  ½ * 1,8 m/s² * t²

Despejando t

t² = 45 m / (½ * 1,8 m/s²)

t = 7,07 s

b. distancia inicial

De la ecuación horaria del camión se determina la distancia inicial de separación

45 m =  d + ½ * 1,2 m/s² * (7,07 s)²

Despajando d

 d = 45 m -  ½ * 1,2 m/s² * (7,07 s)²

 d = 15 m

c. Velocidad de cada vehiculo

Reemplazando en la ecuación horaria de la velocidad

v_a = 1,8 m/s² * 7,07 s  = 12,73 m/s

v_c = 1,2 m/s² * 7,07 s = 8,49 m/s

d. Gráficos

Gráfico x vs t

Gráfico v vs t

Gráfico a vs t

Cinematica 3 MRUV 11

3.11. Un automovilista se da cuenta, al sobrepasar a un motociclista, de que se trata de un amigo e instantáneamente (se desprecia el tiempo de reacción) aplica los frenos. Toda la información está contenida en el gráfico v vs. t, en el que se ha prendido el cronómetro en el instante en el que el auto sobrepasa a la moto.

a. Cuatro segundos después de que el coche pasa a la moto, ¿quién va adelante?, ¿o van juntos? Justifique la respuesta.

En t₀ = 0s el automovilista ve al amigo y frena; los datos, según el gráfico, en ese momento son

Auto

t_a0 = tiempo inicial del auto = 0 s

x_a0 = posición inicial del auto = 0 m

v_a0 = velocidad inicial del auto = 90 km/h = 90 * 1000 /3600 m/s = 25 m/s

Moto 

t_m0 = tiempo inicial de la moto = 0 s

x_m0 = posición inicial de la moto = 0 m

v_m0 = velocidad inicial de la moto = 54 km/h = 54 * 1000 /3600 m/s = 15 m/s

A los t₁ = 4s el auto y la moto tienen la misma velocidad v_a1  = v_m0= 15 m/s.

aceleración del auto 

a = (v_a1 – v_a0) / (t₁ - t₀₎ = ( 15 m/s – 25 m/s)/( 4s -0s) = -2,5 m/s²

Las ecuaciones horarias que describen el movimiento del auto y la moto

x_m =  x_m0+ v_m0 * t

x_a =  x_a0 + v_a0 * t + 1/2 a * t²

v_a = v_a0 + a* t

Reemplazando por los datos

x_m = 15 m/s * t

x_a = 25 m/s * t + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t²

v_a = 25 m/s + ( -2,5 m/s²) * t

a. Quien esta adelante?

En t₁ = 4s la posición de ambos móviles

x_m1 = 15 m/s * 4s =  60 m

x_a1 = 25 m/s * 4s + 1/2 *(-2,5 m/s²) * (4s)²  = 80 m

El auto esta adelante

b. ¿Cuándo y dónde vuelven a encontrarse?

Se encuentra cuando están en el mismo sitio ( x_m =  x_a ) en el mismo momento (t_e)

x_m = 15 m/s * t

x_a = 25 m/s * t + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t²

Igualando

15 m/s * t_e = 25 m/s * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²

Reordenando los términos

( 25 m/s – 15 m/s) * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²  = 0

10 m/s * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²  = 0

t_e * ( 10 m/s + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e)  = 0

Como toda cuadrática tiene dos soluciones

t_e = 0s ( cuando el auto adelanto la moto)

10 m/s + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e =  0

Despejando t_e

t_e = 8 s ( segundo encuentro)

c. ¿Cuál es la velocidad del auto en ese momento?

reemplazando en la ecuación horaria de la velocidad

v_ae = 25 m/s + ( -2,5 m/s²) *  8s =  5 m/s

d. Grafique x vs. t para ambos móviles.

e. ¿Podría hallar las soluciones a partir del gráfico v vs. t?

Distancia recorrida = superficie bajo la curva velocidad vs tiempo

Auto

Distancia recorrida = ½  base ( 4s) * altura ( 25 -15 m/s) + base (4s) * altura ( 15 m/s) =

Distancia recorrida = 20 m + 60 m = 80 m

Moto

Distancia recorrida = base (4s) * altura ( 15 m/s) = 60 m