Un paquete de 2 kg se suelta sobre un plano inclinado de pendiente de 53,1º a 4 m de un resorte largo de masa despreciable con k = 140 N/m sujeto a la base de la pendiente. Los coeficientes de rozamiento entre el paquete y el plano son µe = 0,40 y µd = 0,20.
A = posición
inicial del cuerpo (0 de la energía potencial)
B = posición
del cuerpo cuando llega al resorte
C = posición
del resorte comprimido
D = posición
final del cuerpo
a.
¿Qué velocidad tiene el paquete justo antes de llegar
al resorte?
ΔEmAB = Wnc
Donde
ΔEmAB = variación de la energía mecánica entre A y B
= EmB – EmA
EmA =
energía mecánica en A = EcA + EpA
EcA = energía
cinética en A = 0 (se suelta)
EpA =
energía potencial en A = 0
EmB = energía
mecánica en B = EcB + EpB
EcB =
energía cinética en B = 1 /2 m vB^2
m = masa =
2 kg
vB = velocidad en B
EpB = energía
potencial en B = m g hB
hB =
altura en B = – d sen 53,1°
d =
distancia recorrida = 4 m
Wnc =
trabajo de la fuerza de rozamiento = Froz d cos 180°
Froz =
fuerza de rozamiento = µd N
µd = coeficiente
de rozamiento dinámico = 0,20
N = normal
= reacción del plano = P cos 53,1°
P = peso
del cuerpo = m g
Reemplazando
1 /2 m vB^2
+ m g (– d sen 53,1°) = - µd m g cos 53,1° d
Despejando
vB
= [2 g d (sen 53,1° - µd cos 53,1° )]^(1/2)
= [2 * 10 m/s2 4 m (sen 53,1° - 0,2 cos 53,1°)]^(1/2) = 7,38 m/s
b.
¿Cuál es la compresión máxima del resorte?
ΔEmBC = Wnc
Donde
ΔEmBC =
variación de la energía mecánica entre B y C= EmC – EmB
EmB = energía
mecánica en B = EcB + EpB
EcB =
energía cinética en B = 1 /2 m vB^2
vB = velocidad en B = 7,38 m/s
EpB = energía
potencial en B = m g hB
EmC =
energía mecánica en C = EcC + EpC + EpeC
EcC = energía
cinética en C = 0 (el cuerpo se detiene)
EpC =
energía potencial en C = m g hC
hC =
altura en C = hB – ΔL sen 53,1°
ΔL = compresión
del resorte
EpeC = energía
potencial elástica en C = 1 /2 k ΔL^2
k =
contante del resorte = 140 N/m
Wnc =
trabajo de la fuerza de rozamiento = Froz ΔL cos 180°
reemplazando
m g (hB
- ΔL sen 53,1°) + 1 /2 k ΔL^2 – (1 /2 m vB^2 + m g hB) = - µd m g cos 53,1° ΔL
reordenando
1 /2 k ΔL^2 + m g (µd cos 53,1° - sen 53,1°)
ΔL
– 1 /2 m vB^2 = 0
1 /2 * 140 N/m ΔL^2 + 2 kg 10 m/s2 (0,2
cos 53,1° - sen 53,1°) ΔL – 1 /2 * 2 kg (7,38 m/s)^2 = 0
70 N/m ΔL^2
– 13,6 N ΔL – 54,4 N m = 0
A cuadrática
en ΔL tiene dos soluciones
ΔL1 = 0,98
m (resorte estirado à descartada)
ΔL2 = - 0,79 m (resorte comprimido)
c.
Al regresar el paquete, ¿cuánto se acerca a su
posición inicial?
ΔEmCD = Wnc
Donde
ΔEmCD =
variación de la energía mecánica entre C y D = EmD – EmC
EmC =
energía mecánica en C = EcC + EpC + EpeC
EcC = energía
cinética en C = 0 (el cuerpo se detiene)
EpC =
energía potencial en C = m g hC
hC =
altura en C
EpeC = energía
potencial elástica en C = 1 /2 k ΔL^2
ΔL = compresión
del resorte
EmD = energía
mecánica en D = EcD + EpD
EcD =
energía cinética en D = 0 (el cuerpo se detiene)
EpD = energía
potencial en D = m g hD
hD = posición
en D = hC + X sen 53,1°
Wnc =
trabajo de la fuerza de rozamiento = Froz X cos 180°
Reemplazando
m g (hC + X sen 53,1°) – (m g hC + 1 /2 k ΔL^2) = - µd m g cos 53,1° X
m g X sen 53,1° – 1 /2 k ΔL^2 = - µd m g cos 53,1° X
Despejando X
X = 1 /2 k ΔL^2 / (m g sen 53,1° - µd m g cos 53,1°) =
=
1 /2 * 140 N/m (- 0,79 m)^2 / (2 kg 10 m/s2 (sen 53,1° – 0,2 cos
53,1°)) = 3,21 m
Distancia = d + | ΔL | -
X = 4 m + 0,79 m – 3,21 m = 1,58
m
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