Física 1 (Ing.) Práctica 2.9 - Trabajo y Energía

Una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza de atracción inversamente proporcional al cuadrado del radio, F = - k / r². La trayectoria es un círculo de radio r. Mostrar que:

 

a.     la velocidad es v = (k / m r)^1/2

 

F = m ac

 

Donde

F = fuerza de atracción = - k / r^2

m = masa

ac = aceleración centrípeta = - v^2 / r

v = velocidad

 

Reemplazando

k / r^2 = m v^2 / r

 

Despejando v

v = [k / (m r)]^(1/2)

 

 

 

b.     la energía total es E = - k / 2r, y

 

Em = Ec + Ep

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinética = 1 / 2 m v^2

Ep = energía potencial

 

Ep = ∫ F dr = ∫ k / r^2 dr = k (- 1 / r)  

 

Reemplazando

Em = 1 /2 m (k / (m r)) -  k / r = - 1 /2 k / r

 

 

 

c.      el momento angular es L = (m k r)^1/2.

 

L = r x m v = r m [k / (m r)]^(1/2) = [ m k r ]^(1/2)

 

Donde

L = momento angular

 

Reemplazando

L = r m [k / (m r)]^(1/2) = [ m k r ]^(1/2)

 

 

 

d.     Relacionar lo visto en este problema con lo que le sucede a una partícula que se mueve en órbitas circulares alrededor de La Tierra. Considerar el potencial cero en el infinito.

 

FG = - G M / r^2

 

Donde

FG = fuerza gravitatoria

G = constante de gravitación universal

M = masa de la Tierra

m = masa del satélite

r = distancia entre el satélite y el centro de la Tierra

 

Reemplazando

FG = - (G M m) / r^2 à k = G M m