Cinematica 3 MRUV 8

3.8. El gráfico dado representa la velocidad en función del tiempo, para un automovilista que se detiene frente a un semáforo y luego arranca.

 

a. Trazar los gráficos correspondientes de aceleración y de posición en función del tiempo.

b. Hallar a qué distancia del semáforo se encontraba en el momento en que comenzó a frenar, si pasó frente a él en el instante t = 10 segundos.

Las unidades del grafico no son coherente, las velocidades están en km/h y el t en segundos.

Homogeneizando las unidades

, v_o  = 54 km/ h = 54 km/ h * ( 1000 m / 1 km) * ( 1 h/ 3600 s) = 15 m/s

, v₁₃  = 36 km/ h = 10 m/s

Primer tramo ( 0s – 5s) Automovilista frenando

Distancia recorrida = superficie debajo de la curva v vs t =

, x = ½* base ( 5 s ) * altura ( 15 m/s) = 37,5 m

Aceleración = pendiente de la recta tangente

, a = (0 - 15 m/s) / 5 s = - 3 m/s²

Segundo tramo ( 5s – 8 s) Automovilista detenido

, x = 0

, a = 0

Tercer tramo ( 8s – 13 s) Automovilista acelerando

Distancia recorrida = superficie debajo de la curva v vs t =

, x = ½* base ( 13 s - 8 s ) * altura ( 10 m/s) = 25 m

Aceleración = pendiente de la recta tangente

, a = (10 m/s - 0) / ( 13 s – 8 s) = 2 m/s²

Suponiendo x_o = 0 para t_o.

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a vs t

b) Según la consigna el automovilista paso por el semáforo 10 s después de accionar los frenos, eso lo sitúa en el tercer tramo ( de 8 s a 13 s) La ecuación de desplazamiento será:

, x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

Donde

, x_o = 37,5 m (distancia recorrida en el primer tramo)

, v_o = 0 ( parte del reposo)

, t_o = 8 s

, t = 10 s

, a  = 2 m/s²

Reemplazando en la ecuación

, x = 37,5 m + ½ *2 m/s² *  ( 2 s )²

, x =  41,5 m

Cinematica 3 MRUV 5

3.5. Un avión parte del reposo con aceleración constante y carretea 1800 m por la pista, durante 30 segundos, hasta despegar. ¿Con qué velocidad abandona la pista? Trazar un gráfico velocidad-tiempo.

Las ecuaciones horarias que describen el movimiento del avión será:

x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

v = v_o + a ( t – t_o )

donde

, x_o = 0

, v_o = 0 (parte del reposo)

, t_o = 0

, x = 1800 m

, t = 30 s

Reemplazando

1.800 m = + ½ a ( 30s )²

Despejando a

, a = 2*1.800 m / ( 30s )²  = 4 m/s²

Reemplazando en la segunda ecuación

, v =  4 m/s² * 30 s  = 120 m/s

, v =  120 m/s

Grafico v vs t

Cinematica 2 MRU 6

2.6. Resolver el problema anterior para otro día en que Diana sale a las 10:30 h, y Juan a las 10:35 h.

Los datos del problema anterior

Diana:

x_Do  =  0 m

v_D = 900 m/ 15 min = 900 m /( 15 * 60 s) =  1 m/s

Juan:

x_Jo  =  900 m

v_J = -900 m/ 10 min = -900 m /( 10 * 60 s) =  -1,5 m/s

Dado que ambos salen a distintas horas, se debe fijar una hora de referencia (t_o). Diana salio a las 10:30 h y Juan a las 10:35 h , es decir 5 minutos después (t_o = 5 min = 5 * 60 seg = 300 seg)

La ecuación horaria de Diana será:

x = x_Do  + v_D * t

reemplazando

x = 1 m/s * t

La ecuación horaria de Juan será:

x = x_Jo  + v_J * (t  - t_o )

reemplazando

x = 900 m - 1,5 m/s * ( t  - 300 s)

Diana y Juan se encuentran si y solo si están en el mismo sitio en el mismo momento

x_J  = x_Do = x_e

Igualando las dos ecuaciones horarias (están en el mismo sitio)

1 m/s * t_e = 900 m - 1,5 m/s * (t_e- 300s )

Despejando t

t_e = (900 m + 1.5 m/s*300s) / ( 1 m/s + 1,5 m/s)

t_e = 540 s = 9 m

Si Diana salio a las 10:30 hs  se encontraron

t_e = 10:30 hs + 9 m

t_e = 10:39 hs

Reemplazando en la ecuación horaria de Diana

x_e = 1 m/s * 540 s

x_e= 540 m

Grafico x vs t

Cinematica 3 MRU 5

2.5.  La casa de Juan se encuentra a 900 m ( 9 cuadras ) de la casa de Diana. Caminando con velocidad constante, Juan tarda 10 minutos en cubrir esa distancia, mientras que Diana la recorre en 15 minutos. Cierto día salen ambos a las 15h, cada uno desde su casa y dirigiéndose a la casa del otro. Determinar a qué hora y a qué distancia de la casa de Diana se encuentran. Trazar un gráfico posición-tiempo e interpretar.

La ecuación horaria de Diana será:

x = x_Do  + v_D * t

donde

x_Do  =  posición inicial de Diana = 0 m

v_D = velocidad de Diana = 900 m/ 15 min = 900 m /( 15 * 60 s) =  1 m/s

reemplazando

x_D = 1 m/s * t

La ecuación horaria de Juan será:

x = x_Jo  + v_J * t

donde

x_Jo  =  posición inicial de Juan = 900 m

v_J = velocidad de Juan = -900 m/ 10 min = -900 m /( 10 * 60 s) =  -1,5 m/s

reemplazando

x_J  = 900 m - 1,5 m/s * t

Diana y Juan se encuentran si y solo si están en el mismo sitio en el mismo momento

x_J  = x_D = x_e

Igualando las dos ecuaciones horarias (están en el mismo sitio)

1 m/s * t_e = 900 m - 1,5 m/s * t_e

Despejando t_e

t_e = 900 m / ( 1 m/s + 1,5 m/s) =  360 s = 6 mim

Si salieron a las 15 hs se encontraron

t_e = 15 hs + 6 m = 15hs 6min

Reemplazando en la ecuación horaria de Diana

x_D = 1 m/s * 360 s = 360 m

Grafico x vs t

Cinematica 2 MRU 3

2.3 - Juan, cronómetro en mano y ubicado en un tramo rectilíneo de una ruta, estudia el movimiento de los coches que circulan por la misma con velocidad constante. A su derecha, y a 40 metros de él hay un árbol, y más lejos un cartel. En cierto instante ve que un automóvil se le acerca por la izquierda y dispara el cronómetro cuando lo tiene a 100 metros; el auto pasa frente a él 5 segundos después. Utilizando como origen la posición de Juan y los tiempos que indica el cronómetro:

Tabla de valores

Punto A	Punto B	Punto C	Punto D
Auto	Juan	árbol	Cartel
x = -100 m	x  = 0 m	x = 40 m	x = ¿?
t = 0 s	t = 5 s	t = ¿?	t = 10 s
v = cte = ¿?

 a - Hallar el vector velocidad del auto, y la indicación de su velocímetro en km/h. Escribir su ecuación horaria.

La velocidad en función de los datos en el Punto A y el Punto B será:

v  = ( x_B   - x_{A ) /} ( t_B – t_A )

Reemplazando los datos

v  = (0 m   - ( - 100 m)) _/ ( 5s – 0 s ) = 20 m/s

o bien

v  =  20 m/s * ( 1 km / 1000 m) * ( 3600 s/ 1 h) =  72 km/h

la ecuación horaria para el MRU

x = x_o + v ( t – t_o)

reemplazando los valores (en Punto A corresponde a x_{o y} t_o )

x = -100 m + 20 m/s *  t

 b - Hallar en qué instante pasará el auto frente al árbol.

La distancia entre Juan y el árbol es de x_c = 40 m

Despejando t de la ecuación horaria

t_C   = (x_c  - x_{o) /}  v = ( 40 m – ( -100 m)) / 20 m/s  =  7 s

 c - Si cuando el cronómetro indica 10 segundos el auto pasa frente al cartel, cuántos metros hay entre éste y el árbol.

El cronometro marca t_D  = 10 s cuando pasa frente al cartel.

Reemplazando en la ecuación horaria

x_D = -100 m + 20 m/s *  10 s  = 100 m

La distancia d entre el árbol y el cartel

d =  x_D  - x_C     = 100 m – 40 m

d = 60 m

 d - Hacer los gráficos x(t) y v(t), indicando el paso del auto frente al árbol y al cartel.

 Grafico x vs t

Grafico v vs t

 e - Con el mismo origen y sentido positivo, hacer los gráficos para otro auto que se mueve en sentido contrario con la misma rapidez, acotando los tiempos que indicará el cronómetro, hasta que llegue a 100 m a la izquierda de Juan. (Elegir en qué instante se pone en marcha el cronómetro).

Esta pregunta no tiene sentido

Si el auto tiene el mismo origen que el anterior, el auto esta a 100 m a la izquierda de Juan, por lo tanto ya esta a 100 m a la izquierda de Juan

Leyes de conservacion 1 Trabajo y Energia 3

1.3. Un balde de 15 kg es levantado 4 m, aplicándole una fuerza vertical F cuyo módulo constante es 18 kgf. Determinar:

a. El trabajo que realiza la fuerza F.

b. El trabajo que realiza la fuerza peso.

c. La velocidad que alcanzará el balde, si inicialmente estaba en reposo.

El trabajo de fuerzas constantes y desplazamientos rectilíneos se puede calcular como:

W = F  * Δx  * cos α

donde α es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento

El trabajo de la fuerza F

W = 18 kgf * 10 N / kgf  * 4 m  * cos 0º =

W = 720 J 

El trabajo del Peso

W_P = 15 kg * 10 m/s² * 4 m  * cos 180º =

W_P = – 600 J 

La variación de energía cinética es igual al trabajo de la fuerza resultante (Res)

W_Res = ΔE_c

La fuerza resultante será

Res = F – P = 18 kgf * 10 N / kgf - 15 kg * 10 m/s² = 180 N – 150 N = 30 N

Aplicando la formula del trabajo

W_Res = 30 N * 4 m * cos 0º = 120 Nm

La variación de la energía cinética

ΔE_c = ½ m v_F² — ½ m v_o²

Como v_o = 0 ( el cuerpo esta n reposo)

ΔE_c = ½ m v_F²

Entonces

½ m v_F² = 120 N

despejando

v_F² = 120 Nm * 2 * 15 kg

v_F = 4 m/s 

Leyes de conservacion 1 Trabajo y energia 4

1.4. Claudia pesa 60 kgf, y viaja en un ascensor desde el piso 4° hasta planta baja. Hallar el trabajo que realiza la fuerza que hace el piso del ascensor («normal») sobre ella, en los siguientes tramos de 4 m de longitud cada uno:

a- Arranque con aceleración constante, de 0,5 m/s²

b- Descenso con velocidad constante de 2 m/s

c- Frenado con aceleración constante, de 0,5 m/s².

La ecuación de Newton en los tres casos será:

N — P = m a

De donde

N = m a + P

El trabajo de la Normal

W_a = N * Δx * cos (180º)

Recordar que el ascensor esta “bajando” y la reacción del piso del ascensor tiene la dirección opuesta el ángulo resulta 180º.

Por otro lado la masa de Claudia resulta

P = m *g

Despejando

, m = P /g = 60 kgf  * (10 N / kgf ) / 10 m/s² = 60 kg

Primer caso (a)

La aceleración a = - 0,5 m/s²

Se considera la aceleración negativa porque el ascensor, a pesar de aumentar su velocidad (“acelera”) esta “bajando” (se acerca al origen) eso es velocidad negativa y aceleración negativa

Reemplazando

N = m a + P = 60kg *(- 0,5 m/s²) + 60 kg * (10 m/s²) =  570 N

Entonces el trabajo será

W_a = 570 N * 4 m * cos (180º)

W_a = — 2.280 J 

Segundo caso (b)

La aceleración a =  0 m/s²  (la velocidad es constante)

Reemplazando

N = 0 + P =  60 kg * (10 m/s²) =  600 N

Entonces el trabajo será

W_b = 600 N * 4 m * cos (180º)

W_b = — 2.400 J 

Tercer caso (c)

La aceleración a =  0,5 m/s²

Se considera la aceleración positiva porque el ascensor, a pesar de disminuir su velocidad (“frena”) esta “bajando” (se acerca al origen) eso es velocidad negativa y aceleración positiva.

N = m a + P = 60kg *(0,5 m/s²) + 60 kg * (10 m/s²) =  630 N

Entonces el trabajo será

W_c = 630 N * 4 m * cos (180º)

W_c = — 2.520 J