Cinematica 3 MRUV 11

3.11. Un automovilista se da cuenta, al sobrepasar a un motociclista, de que se trata de un amigo e instantáneamente (se desprecia el tiempo de reacción) aplica los frenos. Toda la información está contenida en el gráfico v vs. t, en el que se ha prendido el cronómetro en el instante en el que el auto sobrepasa a la moto.

a. Cuatro segundos después de que el coche pasa a la moto, ¿quién va adelante?, ¿o van juntos? Justifique la respuesta.

En t₀ = 0s el automovilista ve al amigo y frena; los datos, según el gráfico, en ese momento son

Auto

t_a0 = tiempo inicial del auto = 0 s

x_a0 = posición inicial del auto = 0 m

v_a0 = velocidad inicial del auto = 90 km/h = 90 * 1000 /3600 m/s = 25 m/s

Moto 

t_m0 = tiempo inicial de la moto = 0 s

x_m0 = posición inicial de la moto = 0 m

v_m0 = velocidad inicial de la moto = 54 km/h = 54 * 1000 /3600 m/s = 15 m/s

A los t₁ = 4s el auto y la moto tienen la misma velocidad v_a1  = v_m0= 15 m/s.

aceleración del auto 

a = (v_a1 – v_a0) / (t₁ - t₀₎ = ( 15 m/s – 25 m/s)/( 4s -0s) = -2,5 m/s²

Las ecuaciones horarias que describen el movimiento del auto y la moto

x_m =  x_m0+ v_m0 * t

x_a =  x_a0 + v_a0 * t + 1/2 a * t²

v_a = v_a0 + a* t

Reemplazando por los datos

x_m = 15 m/s * t

x_a = 25 m/s * t + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t²

v_a = 25 m/s + ( -2,5 m/s²) * t

a. Quien esta adelante?

En t₁ = 4s la posición de ambos móviles

x_m1 = 15 m/s * 4s =  60 m

x_a1 = 25 m/s * 4s + 1/2 *(-2,5 m/s²) * (4s)²  = 80 m

El auto esta adelante

b. ¿Cuándo y dónde vuelven a encontrarse?

Se encuentra cuando están en el mismo sitio ( x_m =  x_a ) en el mismo momento (t_e)

x_m = 15 m/s * t

x_a = 25 m/s * t + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t²

Igualando

15 m/s * t_e = 25 m/s * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²

Reordenando los términos

( 25 m/s – 15 m/s) * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²  = 0

10 m/s * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²  = 0

t_e * ( 10 m/s + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e)  = 0

Como toda cuadrática tiene dos soluciones

t_e = 0s ( cuando el auto adelanto la moto)

10 m/s + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e =  0

Despejando t_e

t_e = 8 s ( segundo encuentro)

c. ¿Cuál es la velocidad del auto en ese momento?

reemplazando en la ecuación horaria de la velocidad

v_ae = 25 m/s + ( -2,5 m/s²) *  8s =  5 m/s

d. Grafique x vs. t para ambos móviles.

e. ¿Podría hallar las soluciones a partir del gráfico v vs. t?

Distancia recorrida = superficie bajo la curva velocidad vs tiempo

Auto

Distancia recorrida = ½  base ( 4s) * altura ( 25 -15 m/s) + base (4s) * altura ( 15 m/s) =

Distancia recorrida = 20 m + 60 m = 80 m

Moto

Distancia recorrida = base (4s) * altura ( 15 m/s) = 60 m

Cinematica 3 MRUV 12

3.12. Dos carneros (uno blanco y otro negro) están en reposo, uno frente al otro, distanciados 24 m. En un instante dado, ambos parten para chocarse. Suponiendo que sus aceleraciones son constantes, y sus módulos 1,6 m/s² y 1,4 m/s² respectivamente, determinar en qué punto del camino se produce el encuentro, y qué velocidad tiene cada uno en ese instante. Trazar los gráficos correspondientes de velocidad y posición en función del tiempo.

Las ecuaciones horarias de ambos carneros serán:

, x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

, v= v_o + a ( t – t_o ) 

Para el carnero blanco

, t_o = 0

, x_o = 0

, v_o = 0

, a = 1,6 m/s²

Reemplazando en las ecuaciones

, x = ½ * 1,6 m/s² * t²

, v = 1,6 m/s² * t

Para el carnero negro

, t_o = 0

, x_o = 24 m

, v_o = 0

, a = - 1,4 m/s²

Reemplazando en las ecuaciones

, x = 24 m - ½ * 1,4 m/s² * t²

, v = - 1,4 m/s² * t

El carnero negro esta a 24 m del blanco y se dirige hacia él por eso el signo de la aceleración.

Los carneros se encuentran cuando están en el mismo sitio (x_e) en el mismo momento (t_e).

Igualando ambas ecuaciones de movimiento

0,8 m/s² * t_e²  = 24 m – 0,7 m/s² * t_e²

Despejando t_e

, t_e²  = 24 m / (0,8 m/s² + 0,7 m/s² )  = 16 s²

, t_e = 4 s

Reemplazando en la ecuación de desplazamiento

, x_e  = 0,8 m/s² * ( 4s)² 

, x_e  = 12,8  m

Medidos desde la posición de partida del carnero blanco

Y la  velocidad

, v = 1,6 m/s² * 4s

, v = 6,4 m/s carnero blanco

, v = -1,4 m/s² * 4s

, v = - 5,6 m/s carnero negro

Grafico x vs t

Grafico v  vs t

Cinematica 1 Vectorial 1

1.1. La población A de nuestra provincia de Buenos Aires está situada 160 km al Este y 120 km al Norte, con respecto a la ciudad M. La población B se sitúa 90 km al Este y 120 km al Sur, también con respecto a M.

a. Adoptar un sistema de referencia y determinar el vector posición de las tres localidades.

b. Una avioneta sale de A a las 07:00 h, y llega a B a las 09:00 h. Determinar su vector desplazamiento.

c. Hallar el vector velocidad media de la avioneta, en su viaje de A hasta B, y calcular su módulo.

d. A las 09:30 h la avioneta despega de B, y aterriza en M a las 11:00 h. Carga mercaderías y combustible, y parte a las 15:00 h, para llegar a la población A a las 16:40 h. Hallar el vector velocidad media de la avioneta en cada uno de los intervalos indicados, y también para todo el viaje (desde las 07:00 h hasta las 16:40 h).

e. En un esquema del lugar, dibujar dos trayectorias posibles diferentes, para cumplir el mismo viaje total. ¿Cuántas hay?

a. Sistema de referencia - Grafico

M = (0,0) y eje x en la dirección O-E

En este sistema de referencia los vectores posición (rA y rB) coinciden con los lados del triangulo AMB

, rA = MA = (160 ; 120) km

, rB = MB = (90 ; -120) km

, rM = (0 ; 0)  km

b. vector desplazamiento

El vector desplazamiento (ΔrAB) será la resta vectorial entre los vectores posición rA y rB (final – inicial ó rB – rA)

, ΔrAB =  rB - rA

, ΔrAB = ((90 km — 160 km ); ( -120 km - 120 km))

, ΔrAB = (-90 ; -240 ) km

c. modulo de la velocidad media

La velocidad media por definición es el desplazamiento sobre el tiempo empleado

, vm = Δr / Δt

, vm = (-90 ; -240 ) km / ( 9:00 h – 7:00 h ) = (- 35 ; - 120 ) km/h

Modulo de un vector es la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de sus componentes (teorema de Pitágoras)

|vm| = [ ( -35 km/h)² + (-120 km/h )² ]½

|vm| = 125 km/h

d. Viaje BMA y ABMA

, vm = Δr / Δt

Donde

ΔrBM = -MB = (-90 ; +120) km

ΔtBM = 11:00 h – 9:30h = 1,5 h

Reemplazando

vmBM = (- 60 ; 80 ) km/h

Donde

ΔrMA = MA = (160 ; 120) km

ΔtMA = 16:40 h – 15:00 h = 1 h 40 m = 1,66 h

Reemplazando

vmMA = (96 ; 72 ) km/h

Donde

ΔrAA = (0 ; 0) km

ΔtAA = 16:40 h – 7:00 h = 9 h 40 m = 9,66 h

Reemplazando

vmAA = (0 ; 0 ) km/h

e. trayectorias

Infinitas

Cinematica 1 Vectorial 2

1.2. La casa de Diego se encuentra a 15 cuadras (1,5 km) al Este y 20 cuadras (2 km) al Sur de la casa de Silvia. Cierta tarde deciden ir juntos al cine, cuya función comienza a las 19:30 h, y que está ubicado a 30 cuadras (3 km) al Este y 40 cuadras (4 km) al Norte de la casa de Diego.

Diego pasa a buscar a Silvia: para eso toma un colectivo que lo traslada desde su casa hasta la de ella con un vector velocidad media:

 v_m = - 6 km/h i + 8 km/h j (i hacia el Este; j hacia el Norte).

Debe esperar 10 minutos hasta que Silvia termine de maquillarse, y luego toman un taxi que los lleva al cine en 15 minutos.

a. Elegir un sistema de referencia, y determinar el vector posición de ambas casas, y del cine.

b. Hallar los vectores desplazamiento y velocidad media del taxi.

c. Sabiendo que llegaron al cine 5 minutos después de comenzada la función, calcular a qué hora salió Diego de su casa.

d. Determinar el vector velocidad media de Diego, y su módulo, en el viaje desde su casa hasta el cine.

Los símbolos î y ĵ son vectores de módulo 1 (versores). El versor î tiene la misma dirección y sentido que el eje x, y el versor ĵ que el eje y.

El (0;0) se puede fijar en cualquier lugar, pero dado que Diego inicia su viaje en su casa parece “natural” es fijar el (0;0) en la casa de Diego.

a. Vectores posición

rD = 0 km î + 0 km ĵ

rS = - 1,5 km î + 2 km ĵ

rC =  3 km î + 4 km ĵ

b. Vector desplazamiento

ΔrDS (el colectivo desde lo de Diego hasta lo de Silvia) es la resta vectorial entre los vectores posición (final menos inicial, rS- rD)

ΔrDS = rS – rD = (- 1,5 – 0) km î + (2 – 0) km ĵ

ΔrDS =  - 1,5 km î + 2 km ĵ

El vector desplazamiento de lo de Silvia hasta el cine

ΔrSC = rC – rS = ( 3 – ( -1,5)) km î + (4 – 2) km ĵ

ΔrSC = 4,5 km î + 2 km ĵ

c. Hora de partida de Diego

Armando la cronología según la descripción del viaje:

Hora de llegada al cine =  hora de comienzo de la función + 5 m = 19:30 h + 5 min

Hora de llegada al cine = 19:35 h

Hora de salida de la casa de Silvia = Hora de llegada al cine – tiempo de viaje =

Hora de salida de la casa de Silvia = 19:35 h – 15 min = 19:20 h

Hora de llegada de Diego a la casa de Silvia = hora de salida de la casa de Silvia – tiempo de demora de Silvia en maquillarse

Hora de llegada de Diego a la casa de Silvia = 19:20 h – 10 min = 19:10 h

Hora de partida de Diego = Hora de llegada a la casa de Silvia – Tiempo de viaje

Tiempo de viaje desde la casa de Diego hasta lo de Silvia

velocidad media = desplazamientos / tiempo

v_m = ΔrDS / ΔtDS

Reemplazando por los datos

 - 6 km î + 8 km ĵ = (- 1,5 km î + 2 km ĵ ) / ΔtDS

(división opera componente a componente)

 - 6 km î = - 1,5 km î / Δt

8 km ĵ = 2 km ĵ / Δt

Despejando Δt

Δt  =  0,25 h = 15 minutos.

Hora de partida de Diego = 19:10h – 15 min = 18:55 h

d. velocidad media de Diego

v_mDC = ΔrDC/ ΔtDC

Donde

ΔrDC = rC – rD = 3 km î + 4 km ĵ

ΔtDC = 19:35 h – 18:55 h = 40 m = 0,66 h

Reemplazando

v_mDC = ( 3 km î + 4 km ĵ ) / 0,66 h = 4,5 km/h î + 6 km/h ĵ

Según Pitágoras el modulo del vector :

| v_mDC | = [ (4,5km/h)² + (6 km/h )² ]^½

| v_mDC | = 7,5 km/h