Cinematica 1 Vectorial 2

1.2. La casa de Diego se encuentra a 15 cuadras (1,5 km) al Este y 20 cuadras (2 km) al Sur de la casa de Silvia. Cierta tarde deciden ir juntos al cine, cuya función comienza a las 19:30 h, y que está ubicado a 30 cuadras (3 km) al Este y 40 cuadras (4 km) al Norte de la casa de Diego.

Diego pasa a buscar a Silvia: para eso toma un colectivo que lo traslada desde su casa hasta la de ella con un vector velocidad media:

 v_m = - 6 km/h i + 8 km/h j (i hacia el Este; j hacia el Norte).

Debe esperar 10 minutos hasta que Silvia termine de maquillarse, y luego toman un taxi que los lleva al cine en 15 minutos.

a. Elegir un sistema de referencia, y determinar el vector posición de ambas casas, y del cine.

b. Hallar los vectores desplazamiento y velocidad media del taxi.

c. Sabiendo que llegaron al cine 5 minutos después de comenzada la función, calcular a qué hora salió Diego de su casa.

d. Determinar el vector velocidad media de Diego, y su módulo, en el viaje desde su casa hasta el cine.

Los símbolos î y ĵ son vectores de módulo 1 (versores). El versor î tiene la misma dirección y sentido que el eje x, y el versor ĵ que el eje y.

El (0;0) se puede fijar en cualquier lugar, pero dado que Diego inicia su viaje en su casa parece “natural” es fijar el (0;0) en la casa de Diego.

a. Vectores posición

rD = 0 km î + 0 km ĵ

rS = - 1,5 km î + 2 km ĵ

rC =  3 km î + 4 km ĵ

b. Vector desplazamiento

ΔrDS (el colectivo desde lo de Diego hasta lo de Silvia) es la resta vectorial entre los vectores posición (final menos inicial, rS- rD)

ΔrDS = rS – rD = (- 1,5 – 0) km î + (2 – 0) km ĵ

ΔrDS =  - 1,5 km î + 2 km ĵ

El vector desplazamiento de lo de Silvia hasta el cine

ΔrSC = rC – rS = ( 3 – ( -1,5)) km î + (4 – 2) km ĵ

ΔrSC = 4,5 km î + 2 km ĵ

c. Hora de partida de Diego

Armando la cronología según la descripción del viaje:

Hora de llegada al cine =  hora de comienzo de la función + 5 m = 19:30 h + 5 min

Hora de llegada al cine = 19:35 h

Hora de salida de la casa de Silvia = Hora de llegada al cine – tiempo de viaje =

Hora de salida de la casa de Silvia = 19:35 h – 15 min = 19:20 h

Hora de llegada de Diego a la casa de Silvia = hora de salida de la casa de Silvia – tiempo de demora de Silvia en maquillarse

Hora de llegada de Diego a la casa de Silvia = 19:20 h – 10 min = 19:10 h

Hora de partida de Diego = Hora de llegada a la casa de Silvia – Tiempo de viaje

Tiempo de viaje desde la casa de Diego hasta lo de Silvia

velocidad media = desplazamientos / tiempo

v_m = ΔrDS / ΔtDS

Reemplazando por los datos

 - 6 km î + 8 km ĵ = (- 1,5 km î + 2 km ĵ ) / ΔtDS

(división opera componente a componente)

 - 6 km î = - 1,5 km î / Δt

8 km ĵ = 2 km ĵ / Δt

Despejando Δt

Δt  =  0,25 h = 15 minutos.

Hora de partida de Diego = 19:10h – 15 min = 18:55 h

d. velocidad media de Diego

v_mDC = ΔrDC/ ΔtDC

Donde

ΔrDC = rC – rD = 3 km î + 4 km ĵ

ΔtDC = 19:35 h – 18:55 h = 40 m = 0,66 h

Reemplazando

v_mDC = ( 3 km î + 4 km ĵ ) / 0,66 h = 4,5 km/h î + 6 km/h ĵ

Según Pitágoras el modulo del vector :

| v_mDC | = [ (4,5km/h)² + (6 km/h )² ]^½

| v_mDC | = 7,5 km/h

Cinematica 3 MRUV 10

3.10. El gráfico dado representa la aceleración en función del tiempo de un ascensor, que parte del reposo en planta baja, hasta detenerse en el segundo piso.

a. Obtener los gráficos de velocidad y de posición del coche del ascensor en función del tiempo.

b. Con el mismo sistema de referencia usado anteriormente, gráficar la aceleración del coche en función del tiempo en su viaje de regreso a planta baja. Suponer que el motor y los frenos proveen aceleraciones de mismo módulo que durante la subida, y que se alcanza una velocidad constante (de régimen) también de igual módulo. Hallar los gráficos del inciso a para este nuevo caso, y compararlos.

c. El mismo ascensor está instalado en un edificio de 60 metros de altura. Esbozar el gráfico posición-tiempo en un viaje de ida y vuelta hasta el último piso, si se detiene allí 10 segundos

a. Viaje de ida (subida)

El gráfico marca tres tramos (movimientos) diferentes:

	Intervalo	Tipo de movimiento
Tramo 1	0s – 2s	MRUV (acelerado)
Tramo 2	2s – 2,5s	MRU (velocidad constante)
Tramo 3	2,5 s – 4s	MRUV (desacelerado)

Para trazar los gráficos de aceleración y posición en función del tiempo se requiere determinar los valores iniciales y finales de cada intervalo y la ecuación horaria correspondiente

Tramo 1  ( 0s – 2s) Móvil acelerando

Valores iniciales (t_o = 0s) y finales (t₁ = 2s)

Según la consigna:

y_o = 0 (parte de planta baja)

t_o = 0

v_o = 0 (parte del reposo)

Según el gráfico

a₁ =1,5m/s²

Ecuaciones horarias:

y = y_o + v_o * t + ½ a₁* t²

 v = v_o + a₁ * t

Reemplazando

y = ½ * 1,5m/s² * t²

v =  1,5m/s² * t

Para t₁ = 2s

y₁ = ½ * 1,5m/s² * (2s)² =  3m

v₁ = 1,5m/s² * 2s = 3 m/s

Tramo 2 ( 2 s – 2,5 s) Móvil a velocidad constante

Valores iniciales (t₁ = 2s) y finales (t₂ = 2,5s)

Valores finales del tramo 1

y₁ = 3 m

t₁ = 2 s

v₁ = 3 m/s

Según el gráfico

a₂ = 0 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₁ + v₁ * (t – t₁)+ ½ a₂ * (t – t₁)²

v = v₁ + a₂ * (t – t₁)

Reemplazando

y = 3 m + 3 m/s * ( t – 2s)  

v =  3 m/s

Para t₂ = 2,5 s

y₂ =  3 m + 3 m/s * ( 2,5 s – 2s)  = 4,5 m

Tramo 3 ( 2,5 s – 4 s) Móvil desacelerando

Valores iniciales (t₂ = 2,5s) y finales (t₃ = 4s)

Valores finales del tramo 2

y₂ = 4,5 m

t₂ = 2,5 s

v₂ = 3 m/s

Según el gráfico

a₃ = -2 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₂ + v₂ * (t – t₂) +  ½ a₃ * (t – t₂)²

v = v₂ + a₃ * (t – t₂)

Reemplazando:

y = 4,5 m + 3 m/s * ( t –2,5s) +  ½ (-2 m/s²) * (t – 2,5s)²

v =  3 m/s +  (-2 m/s²) * (t – 2,5s)

Para t₃ = 4 s

y₃ = 4,5 m + 3 m/s * ( 4s – 2s) = 6,5 m

v₃ = 3 m/s +  (-2 m/s²) * (4s – 2,5s) =  0 m/s

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a vs t

b. Viaje de vuelta (bajada)

	Intervalo	Tipo de movimiento
Tramo 4	4s – 5,5s =	MRUV (desacelerado)
Tramo 5	5,5s – 6s	MRU (velocidad constante)
Tramo 6	6s – 8s	MRUV (acelerando)

Tramo 4  ( 4s – 5,5s) Móvil desacelerando

Valores iniciales (t₃ = 4s) y finales (t₄  = 5,5s)

Valores finales del tramo 3

y₃  = 6,5 m

t₃ = 4s

v₃ = 0 m/s

Según la consigna (ídem tramo 3)

a₄ = a₂ = -2 m/s²

Ecuaciones horarias:

y = y₃ + v₃ * (t – t₃) + ½ a₄ * (t – t₃)²

v = v₃ + a₄ * (t – t₃)

Reemplazando

y = 6,5 m + ½ *(- 2m/s²) * ( t – 4s)²

v =  (- 2m/s²) * ( t – 4s)

Para t₄ = 4s + (4s – 2,5s) = 5,5s

y₄ = 6,5 m + ½ * (-2m/s²) * ( 5,5s – 4s)² =  4,5 m

v₄ = -2m/s² * ( 5,5s – 4s) = -3m/s

Tramo 5 ( 5,5s – 6s) Móvil a velocidad constante

Valores iniciales (t₄ = 5,5s) y finales (t₅ = 6s)

Valores finales del tramo 4

y₄ =  4,5 m

t₄ = 5,5 s

v₄ = -3 m/s

Según la consigna (ídem tramo 2)

a₁ =  a₅ =  0 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₄ + v₄ * (t – t₄)+ ½ a₅* (t – t₄)²

v = v₄ + a₅ * (t – t₄)

Reemplazando

y = 4,5 m - 3 m/s * ( t – 5,5s)

v =  - 3 m/s

Para t₅ = 5,5s + (2,5s – 2s) = 6s

y₅ =  4,5 m - 3 m/s * ( 6s – 5,5s) = 3 m

Tramo 6 ( 6 s – 8 s) Móvil acelerando

Valores iniciales (t₅ = 6s) y finales (t₆ = 8s)

Valores finales del tramo 5

y₅ = 3 m

t₅ = 6s

v₅ = -3 m/s

Según la consigna (ídem tramo 1)

a₆ = a₁ = 1,5 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₅ + v₅ * (t – t₅) +  ½ a₆ * (t – t₅)²

v = v₅ + a₆ * (t – t₅)

Reemplazando:

y = 3 m - 3 m/s * ( t – 6s) +  ½ * 1,5 m/s² * (t –6s)²

v =  - 3 m/s +  1,5 m/s² * (t – 6s)

Para t₆ =  6s + (2s – 0s) = 8s

y₆ = 3 m - 3 m/s * ( 8s – 6s) +  ½ * 1,5 m/s² * (8s –6s)²  = 0 m

v₆ = -3 m/s +  1,5m/s² * (8s – 6s) = 0 m/s

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a vs t

Cinematica 2 MRU 8

2.8. Una cuadrilla de empleados del ferrocarril viaja en una zorra por una vía rectilínea. En un instante dado, por la misma vía y a 180 m por detrás, ven venir un tren que viaja con una velocidad constante de 36 km/h. ¿A qué velocidad mínima y constante deberá moverse la zorra para poder llegar a un desvío, que en ese instante está 120 m más adelante, para evitar el choque?

Graficar velocidad y posición en función del tiempo, para ambos móviles.

Resolver ahora, considerando que se requieren 10 segundos para accionar el cambio de vías.

La ecuación horaria de los dos móviles será:

, x = x_o + v ( t – t_o )

Para la zorra

, x_o = 0

, t_o = 0

, x = 120 m = 0,12 km  ( se “encuentran” en el desvío)

Para el tren

, x_o = -180 m = - 0,18 km  ( el tren esta “detrás” de la zorra)

, t_o = 0

, v = 36 km/h

, x = 120 m = 0,12 km ( se “encuentran” en el desvío)

Reemplazando en la ecuación horaria

0,12 km = -0,18 km + 36 km/h * t_e

0,12 km = v * t_e

Despejando t_e de la primera ecuación

, t_e = (0,12 km + 0,18 km) / 36 km/h = 0,0083 h  (30 s)

Reemplazando en la segunda ecuación

0,12 km = v * 0,0083 h

Despejando v

,v = 0,12 km / 0,0083 h

, v = 14, 4 km/h

Grafico x vs t

Gráfico v vs t

Segunda Parte

Si se requieren 10 segundos para accionar el cambio de vías, la zorra deberá llegar al desvío 10 s antes  que el tren, pero el tren tardara lo mismo en llegar :

, t_{e =}  0,0083 h

, t_n = t_e – 10 s = 0,0083 h – 10 s* (1 h /3600 s) = 0,00552 h

Reemplazando en la ecuación horaria de la zorra

0,12 km = v * 0,00552 h

Despejando v

,v = 0,12 km / 0,00552 h

,v = 21,6 km/h

Cinematica 2 MRU 7

2.7. Andrés va en su bicicleta, con velocidad constante de 14 km/h, en una calle rectilínea siguiendo a Karina, que va corriendo en el mismo sentido, a 5 km/h, también con velocidad constante.

Si inicialmente estaban distanciados 100 m, hallar cuánto tiempo después la alcanzará, y qué distancia avanzó cada uno.

Trazar los gráficos posición-tiempo y velocidad-tiempo.

La ecuación horaria de Andrés y de Karina es igual

x = x_o + v * ( t – t_o )

Para Andrés

, x_o  = 0

, v = 14 km/ h

, y t_o  = 0

Entonces

, x_A = 14 km/ h * t

Para Karina

, x_o  = 100 m = 0,1 km ( para homogeneizar la unidades)

, v = 5 km/ h

, y t_o  = 0

Entonces

, x_K =  0,1 km + 5 km/h * t

Andrés y Karina se encuentran si y solo si están en el mismo sitio en el mismo momento

, x_A  = x_K = x_e

Igualando las dos ecuaciones horarias (están en el mismo sitio)

14 km/ h * t_e = 0,1 km + 5 km/h * t_e

Despajando t_e

, t_e =  0,1 km / ( 14 km/h – 5 km/h)

, t_e = 0,011 h ( 40 seg)

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones

, x_e = 14 km/h * 0,011 h = 0,156 km

, x_e =  0,156 km

Grafico x vs t

Grafico v vs t