Cinematica 3 MRUV 10

3.10. El gráfico dado representa la aceleración en función del tiempo de un ascensor, que parte del reposo en planta baja, hasta detenerse en el segundo piso.

a. Obtener los gráficos de velocidad y de posición del coche del ascensor en función del tiempo.

b. Con el mismo sistema de referencia usado anteriormente, gráficar la aceleración del coche en función del tiempo en su viaje de regreso a planta baja. Suponer que el motor y los frenos proveen aceleraciones de mismo módulo que durante la subida, y que se alcanza una velocidad constante (de régimen) también de igual módulo. Hallar los gráficos del inciso a para este nuevo caso, y compararlos.

c. El mismo ascensor está instalado en un edificio de 60 metros de altura. Esbozar el gráfico posición-tiempo en un viaje de ida y vuelta hasta el último piso, si se detiene allí 10 segundos

a. Viaje de ida (subida)

El gráfico marca tres tramos (movimientos) diferentes:

	Intervalo	Tipo de movimiento
Tramo 1	0s – 2s	MRUV (acelerado)
Tramo 2	2s – 2,5s	MRU (velocidad constante)
Tramo 3	2,5 s – 4s	MRUV (desacelerado)

Para trazar los gráficos de aceleración y posición en función del tiempo se requiere determinar los valores iniciales y finales de cada intervalo y la ecuación horaria correspondiente

Tramo 1  ( 0s – 2s) Móvil acelerando

Valores iniciales (t_o = 0s) y finales (t₁ = 2s)

Según la consigna:

y_o = 0 (parte de planta baja)

t_o = 0

v_o = 0 (parte del reposo)

Según el gráfico

a₁ =1,5m/s²

Ecuaciones horarias:

y = y_o + v_o * t + ½ a₁* t²

 v = v_o + a₁ * t

Reemplazando

y = ½ * 1,5m/s² * t²

v =  1,5m/s² * t

Para t₁ = 2s

y₁ = ½ * 1,5m/s² * (2s)² =  3m

v₁ = 1,5m/s² * 2s = 3 m/s

Tramo 2 ( 2 s – 2,5 s) Móvil a velocidad constante

Valores iniciales (t₁ = 2s) y finales (t₂ = 2,5s)

Valores finales del tramo 1

y₁ = 3 m

t₁ = 2 s

v₁ = 3 m/s

Según el gráfico

a₂ = 0 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₁ + v₁ * (t – t₁)+ ½ a₂ * (t – t₁)²

v = v₁ + a₂ * (t – t₁)

Reemplazando

y = 3 m + 3 m/s * ( t – 2s)  

v =  3 m/s

Para t₂ = 2,5 s

y₂ =  3 m + 3 m/s * ( 2,5 s – 2s)  = 4,5 m

Tramo 3 ( 2,5 s – 4 s) Móvil desacelerando

Valores iniciales (t₂ = 2,5s) y finales (t₃ = 4s)

Valores finales del tramo 2

y₂ = 4,5 m

t₂ = 2,5 s

v₂ = 3 m/s

Según el gráfico

a₃ = -2 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₂ + v₂ * (t – t₂) +  ½ a₃ * (t – t₂)²

v = v₂ + a₃ * (t – t₂)

Reemplazando:

y = 4,5 m + 3 m/s * ( t –2,5s) +  ½ (-2 m/s²) * (t – 2,5s)²

v =  3 m/s +  (-2 m/s²) * (t – 2,5s)

Para t₃ = 4 s

y₃ = 4,5 m + 3 m/s * ( 4s – 2s) = 6,5 m

v₃ = 3 m/s +  (-2 m/s²) * (4s – 2,5s) =  0 m/s

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a vs t

b. Viaje de vuelta (bajada)

	Intervalo	Tipo de movimiento
Tramo 4	4s – 5,5s =	MRUV (desacelerado)
Tramo 5	5,5s – 6s	MRU (velocidad constante)
Tramo 6	6s – 8s	MRUV (acelerando)

Tramo 4  ( 4s – 5,5s) Móvil desacelerando

Valores iniciales (t₃ = 4s) y finales (t₄  = 5,5s)

Valores finales del tramo 3

y₃  = 6,5 m

t₃ = 4s

v₃ = 0 m/s

Según la consigna (ídem tramo 3)

a₄ = a₂ = -2 m/s²

Ecuaciones horarias:

y = y₃ + v₃ * (t – t₃) + ½ a₄ * (t – t₃)²

v = v₃ + a₄ * (t – t₃)

Reemplazando

y = 6,5 m + ½ *(- 2m/s²) * ( t – 4s)²

v =  (- 2m/s²) * ( t – 4s)

Para t₄ = 4s + (4s – 2,5s) = 5,5s

y₄ = 6,5 m + ½ * (-2m/s²) * ( 5,5s – 4s)² =  4,5 m

v₄ = -2m/s² * ( 5,5s – 4s) = -3m/s

Tramo 5 ( 5,5s – 6s) Móvil a velocidad constante

Valores iniciales (t₄ = 5,5s) y finales (t₅ = 6s)

Valores finales del tramo 4

y₄ =  4,5 m

t₄ = 5,5 s

v₄ = -3 m/s

Según la consigna (ídem tramo 2)

a₁ =  a₅ =  0 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₄ + v₄ * (t – t₄)+ ½ a₅* (t – t₄)²

v = v₄ + a₅ * (t – t₄)

Reemplazando

y = 4,5 m - 3 m/s * ( t – 5,5s)

v =  - 3 m/s

Para t₅ = 5,5s + (2,5s – 2s) = 6s

y₅ =  4,5 m - 3 m/s * ( 6s – 5,5s) = 3 m

Tramo 6 ( 6 s – 8 s) Móvil acelerando

Valores iniciales (t₅ = 6s) y finales (t₆ = 8s)

Valores finales del tramo 5

y₅ = 3 m

t₅ = 6s

v₅ = -3 m/s

Según la consigna (ídem tramo 1)

a₆ = a₁ = 1,5 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₅ + v₅ * (t – t₅) +  ½ a₆ * (t – t₅)²

v = v₅ + a₆ * (t – t₅)

Reemplazando:

y = 3 m - 3 m/s * ( t – 6s) +  ½ * 1,5 m/s² * (t –6s)²

v =  - 3 m/s +  1,5 m/s² * (t – 6s)

Para t₆ =  6s + (2s – 0s) = 8s

y₆ = 3 m - 3 m/s * ( 8s – 6s) +  ½ * 1,5 m/s² * (8s –6s)²  = 0 m

v₆ = -3 m/s +  1,5m/s² * (8s – 6s) = 0 m/s

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a vs t