Cinematica 3 MRUV 9

3.9. Analizar el gráfico dado, que corresponde a un movimiento rectilíneo en varias etapas. Suponiendo que en t = 0 es x = 0, se pide:

a. Trazar los gráficos de aceleración y de posición en función del tiempo, determinando los valores correspondientes a los tiempos indicados.

b. Calcular la velocidad media del móvil, entre 0 y 25 segundos.

El gráfico marca tres tramos (movimientos) diferentes :

	Intervalo	Tipo de movimiento
Tramo 1	0s – 8s	MRUV (acelerado)
Tramo 2	8s – 14s	MRUV (desacelerado)
Tramo 3	14s – 25s	MRU ( v = cte)

Para trazar los gráficos de aceleración y posición en función del tiempo se requiere determinar los valores iniciales y finales de cada intervalo y la ecuación horaria correspondiente

Tramo 1  ( 0s – 8s) Móvil acelerando

Valores iniciales (t_o = 0s) y finales (t₁ = 8s)

Según la consigna :

, x_o = 0

, t_o = 0

Según el grafico

, v_o = 0

Desplazamiento (x₁ – x_o) = área debajo de la curva = ½* base ( 8 s) * altura ( 40 m/s)

, (x₁ – x_o) = 160 m

Como x_o = 0, entonces x₁ = 160 m

Según el grafico

, v₁ = 40 m/s

Aceleración (a₁) = variación de la velocidad / tiempo = ( 40 m/s – 0 m/s) / (8s – 0s)

, a₁ = 5 m/s²

Ecuaciones horarias:

, x = x_o + v_o * t + ½ a₁* t²

, v = v_o + a₁ * t

Reemplazando

, x = ½ * 5m/s² * t²

, v =  5m/s² * t

Tramo 2 ( 8 s – 14 s) Móvil desacelerando

Valores iniciales (t₁ = 8s) y finales (t₂ = 14s)

Valores finales del tramo 1

, x₁ = 160 m

, t₁ = 8 s

, v₁ = 40 m/s

Aceleración (a₂) = variación de la velocidad / tiempo = ( 0 m/s – 40 m/s) / (12s – 8s)

, a₂ = - 10 m/s²

(la velocidad es = 0 para t= 12s)

Desplazamiento (x₂ – x₁) = área debajo de la curva = ½* base * altura

, (x₂ – x₁) = ½ * (12s-8s) * 40m/s + ½*(14s-12s)*(-20m/s)

, (x₂ – x₁) = 80m – 20 m = 60 m

, x₂ = 60 m + x₁ = 60 m + 160 m = 220 m

, x₂ = 220 m

Ecuaciones horarias

, x = x₁ + v₁ * (t – t₁)+ ½ a₂* (t – t₁)²

, v = v₁ + a₂ * (t – t₁)

Reemplazando

, x = 160m + 40 m/s * ( t – 8s) - ½ * 10m/s² * (t – 8s)²

, v =  40 m/s – 10 m/s² * (t – 8s)

Utilizando la ultima ecuación, la velocidad en t = 14 s

, v₂ =  40 m/s – 10 m/s² * (14 s – 8s) = -20 m/s

, v₂  = -20 m/s

Tramo 3 ( 14 s – 25 s) Velocidad constante

Valores iniciales (t₂ = 14s) y finales (t₃ = 25s)

Valores finales del tramo 2

, x₂ = 220 m

, t₂ = 14 s

, v₂ = -20 m/s

Desplazamiento (x₃ – x₂) = área debajo de la curva = base * altura

, (x₃ – x₂) =  (25s - 14s) *(-20m/s) = 11s * (-20 m/s) = -220 m

, x₃ = -220 m + x₂ = -220 m + 220 m

, x₃ = 0 m

Ecuaciones horarias

, x = x₂ + v₂ * (t – t₂)

, v = v₂

Reemplazando

, x = 220m - 20 m/s * ( t – 14s)

, v =  -20 m/s

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a  vs t

b. Calcular la velocidad media del móvil, entre 0 y 25 segundos.

Velocidad media = distancia recorrida / tiempo empleado

v_m = (x_{4 -} x₀ )/ (t₄ - t₀ ) = ( 0 m – 0m) / ( 25 s – 0s)

v_m = 0 m/s