Cinemática 5 Tiro oblicuo 2

5.2. Se dispara un perdigón con un rifle de aire comprimido, desde lo alto de una colina. El proyectil parte con una velocidad de 50 m/s, en una dirección que forma un ángulo de 37° con la horizontal. Elegir un sistema de referencia, y despreciando todo rozamiento:

a. Hallar la posición del perdigón a los 2s, 5s y 8s después de haber partido, respectivamente. Representar en un diagrama x-y.

b. Determinar las componentes de los vectores velocidad en los instantes anteriores. Representar dichos vectores en las cuatro posiciones conocidas del diagrama anterior.

c. Hallar en qué instante se encuentra al mismo nivel que el de partida, qué posición ocupa y cuál es su velocidad en ese instante.

d. Sin hacer cuentas, justifique entre qué instantes de los especificados cree usted que el proyectil alcanzará la máxima altura. ¿Qué velocidad tendrá allí? Calcúlelo ahora y verifique su hipótesis.

e. Con toda la información anterior, dibujar la trayectoria del proyectil. Escribir la ecuación de la misma.

Las ecuaciones horarias

x = x_o + v_x ( t – t_o )

y = y_o + v_oy ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

v_x = v_ox

v_y = v_oy - g ( t – t_o )

donde

t_o = 0

x_o = 0

y_o = 0 (elección arbitraria, pero lógica dado que no se conoce la altura de la colina)

v_x= v_{o *} cos 37º = 40 m/s

v_oy = v_{o *} sen 37º = 30 m/s

g = 10 m/s²

Reemplazando

x = 40 m/s * t

y = 30 m/s * t — 5 m/s² * t²

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * t

Posición para t = 2s

x = 40 m/s * 2s = 80 m

y = 30 m/s * 2s — 5 m/s² * (2s)² = 40 m

Posición para t = 5s

x = 40 m/s * 5s = 200 m

y = 30 m/s * 5s — 5 m/s² * (5s)² = 25 m

Posición para t = 8s

x = 40 m/s * 8s = 320 m

y = 30 m/s * 8s — 5 m/s² * (8s)² = -80 m

Gráfico y vs x

Velocidades para t = 2s

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * 2s = 10 m/s

Velocidades para t = 5s

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * 5s = - 20 m/s

Velocidades para t = 8s

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * 8 s = - 50 m/s

Instante en que se halla en el mismo nivel (altura = y) que en la partida:

y = 30 m/s * t - 5 m/s² * t² = 0

Esta ecuación tiene dos soluciones:

t = 0s (que corresponde al momento de partida)

t =  30 m/s / 5 m/s² = 6s

Posición respecto del punto de partida (distancia = x)

x = 40 m/s * 6 s = 240 m

Velocidades

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s - 10 m/s² * 6 s = - 30 m/s

La altura máxima equivale al vértice de la parábola y estará en la semisuma de sus raíces ( x = 0 y x = 240m)

x_M ( 240 m – 0 m)/2 = 120m

Analíticamente la altura máxima corresponde a la velocidad vertical = 0

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * t_M = 0 m/s

Despejando t_M

t_M = 30 m/s / 10 m/s² = 3s

Reemplazando en la ecuación de la posición

x = 40 m/s * 3s = 120 m

y = 30 m/s * 3s — 5 m/s² * (3s)² = 45 m

Velocidades

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * 3s = 0 m/s

Gráfico de trayectoria = Gráfico y vs x

Ecuación de trayectoria

Utilizando las ecuaciones horarias

x = 40 m/s * t

y = 30 m/s * t — 5 m/s² * t²

Despejando t de la ecuación de la posición

t = x / 40 m/s

Reemplazando en la ecuación de la altura (o nivel)

y = 30 m/s *( x/ 40 m/s) — 5 m/s² *( x/ 40 m/s) ²

y = 3/4 * x -  1/320m * x²