Leyes de conservacion 1 Trabajo y energia 8

1.8. Valiéndose de consideraciones de trabajo y energía cinética, demostrar que si el conductor de un vehículo cuya masa es m y que marcha con velocidad v por una ruta horizontal aplica a fondo los frenos, la distancia en que se detiene es d = v²/2µg, en donde µ es el coeficiente de rozamiento dinámico entre sus neumáticos y el pavimento. ¿En qué factor se incrementa la distancia de frenado, si el vehículo duplica su velocidad?

La variación de la energía mecánica es igual al trabajo de las fuerzas no-conservativas

La engría mecánica en un desplazamiento horizontal es solo energía cinética, basta con poner el nivel cero de la energía potencial coincidiendo con el desplazamiento

W_Fr = ΔE_M =  ΔE_C

La fuerza de rozamiento será:

Fr = - μ * N = μ * m * g

Entonces, el trabajo

W_Fr = Fr * d * cos (180º) = μ * m * g * d * (-1)

Además, la velocidad final = 0 ( el movil se detiene)

μ * m * g * d * (-1) = -  ½ m v²

Simplificando m, y despejando d resulta

  ,d = v² / (2 * μ * g )

Si la velocidad se duplica ( v´= 2v)

La distancia de frenado será

  ,d´ = v´² / (2 * μ * g ) = (2v)² / (2 * μ * g ) = 4 * v² / (2 * μ * g ) = 4 * d

La distancia de frenado se cuadriplica

Dinamica 2 Fuerza gravitatoria 32

2.32- En un laboratorio se tiene suspendida en equilibrio una esfera de 10 kg y 12 cm de diámetro, por medio de un dispositivo a resorte muy sensible. Se lleva debajo de la misma otra esfera de plomo, de 2000 kg y 70 cm de diámetro, de modo tal que el equilibrio se establece con ambas esferas a 1 cm de distancia. Hallar la intensidad de la fuerza gravitatoria entre ambas. Si la constante elástica de la suspensión fuera 50 N/m, ¿qué desplazamiento sufriría la esfera de 10 kg?

NOTA: Adoptar constante de Gravitación Universal: G = 6,67.10^-11 Nm²/kg² 

Según la Ley de gravitación universal, esta nueva fuerza

F_GB = G * m_{A *} m_B / d²

Recordar que la distancia d se mide desde los centros de cada bola, por lo tanto

, d = R_A + R_B + la distancia de separación entre las bolas

, d = 12 cm + 70 cm/2 + 1 cm = 42 cm o sea 0,42 m.  

Por lo tanto:

F_GB = 6,67 x 10^-11  Nm²/kg²  * 10 kg * 2.000 kg / ( 0,42 m)²

F_GB = 7,56 x 10^-6 N

DCL inicial (sin la segunda esfera)

Según las leyes de Newton para la bola A en equilibrio ( a = 0 ).

F_E - F_GT = 0

Con

F_GT = m_A * g

y

F_E = k * Δx

Reemplazando las definiciones de las fuerzas en la Ley de Newton y despejando Δx

Δx  = m_A * g / k  = 2 m

Cuando se agrega la segunda Bola, aparece una fuerza de atracción de la segunda bola sobre la primera

La ecuación en este caso será

F_E' - F_GT  - F_GB = 0

La nueva fuerza elástica será

F_E' = k Δx'

Reemplazando las definiciones de las fuerzas en la Ley de Newton y despejando Δx

Δx' = (m_A * g + F_GB) / k = 2,00000015 m

diferencia de estiramiento

e = Δx' - Δx

 e = 0,00000015 m = 1,5 x 10^-7 m

Cinemática 5 Tiro oblicuo 2

5.2. Se dispara un perdigón con un rifle de aire comprimido, desde lo alto de una colina. El proyectil parte con una velocidad de 50 m/s, en una dirección que forma un ángulo de 37° con la horizontal. Elegir un sistema de referencia, y despreciando todo rozamiento:

a. Hallar la posición del perdigón a los 2s, 5s y 8s después de haber partido, respectivamente. Representar en un diagrama x-y.

b. Determinar las componentes de los vectores velocidad en los instantes anteriores. Representar dichos vectores en las cuatro posiciones conocidas del diagrama anterior.

c. Hallar en qué instante se encuentra al mismo nivel que el de partida, qué posición ocupa y cuál es su velocidad en ese instante.

d. Sin hacer cuentas, justifique entre qué instantes de los especificados cree usted que el proyectil alcanzará la máxima altura. ¿Qué velocidad tendrá allí? Calcúlelo ahora y verifique su hipótesis.

e. Con toda la información anterior, dibujar la trayectoria del proyectil. Escribir la ecuación de la misma.

Las ecuaciones horarias

x = x_o + v_x ( t – t_o )

y = y_o + v_oy ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

v_x = v_ox

v_y = v_oy - g ( t – t_o )

donde

t_o = 0

x_o = 0

y_o = 0 (elección arbitraria, pero lógica dado que no se conoce la altura de la colina)

v_x= v_{o *} cos 37º = 40 m/s

v_oy = v_{o *} sen 37º = 30 m/s

g = 10 m/s²

Reemplazando

x = 40 m/s * t

y = 30 m/s * t — 5 m/s² * t²

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * t

Posición para t = 2s

x = 40 m/s * 2s = 80 m

y = 30 m/s * 2s — 5 m/s² * (2s)² = 40 m

Posición para t = 5s

x = 40 m/s * 5s = 200 m

y = 30 m/s * 5s — 5 m/s² * (5s)² = 25 m

Posición para t = 8s

x = 40 m/s * 8s = 320 m

y = 30 m/s * 8s — 5 m/s² * (8s)² = -80 m

Gráfico y vs x

Velocidades para t = 2s

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * 2s = 10 m/s

Velocidades para t = 5s

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * 5s = - 20 m/s

Velocidades para t = 8s

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * 8 s = - 50 m/s

Instante en que se halla en el mismo nivel (altura = y) que en la partida:

y = 30 m/s * t - 5 m/s² * t² = 0

Esta ecuación tiene dos soluciones:

t = 0s (que corresponde al momento de partida)

t =  30 m/s / 5 m/s² = 6s

Posición respecto del punto de partida (distancia = x)

x = 40 m/s * 6 s = 240 m

Velocidades

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s - 10 m/s² * 6 s = - 30 m/s

La altura máxima equivale al vértice de la parábola y estará en la semisuma de sus raíces ( x = 0 y x = 240m)

x_M ( 240 m – 0 m)/2 = 120m

Analíticamente la altura máxima corresponde a la velocidad vertical = 0

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * t_M = 0 m/s

Despejando t_M

t_M = 30 m/s / 10 m/s² = 3s

Reemplazando en la ecuación de la posición

x = 40 m/s * 3s = 120 m

y = 30 m/s * 3s — 5 m/s² * (3s)² = 45 m

Velocidades

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s — 10 m/s² * 3s = 0 m/s

Gráfico de trayectoria = Gráfico y vs x

Ecuación de trayectoria

Utilizando las ecuaciones horarias

x = 40 m/s * t

y = 30 m/s * t — 5 m/s² * t²

Despejando t de la ecuación de la posición

t = x / 40 m/s

Reemplazando en la ecuación de la altura (o nivel)

y = 30 m/s *( x/ 40 m/s) — 5 m/s² *( x/ 40 m/s) ²

y = 3/4 * x -  1/320m * x²

Cinematica 3 MRUV 9

3.9. Analizar el gráfico dado, que corresponde a un movimiento rectilíneo en varias etapas. Suponiendo que en t = 0 es x = 0, se pide:

a. Trazar los gráficos de aceleración y de posición en función del tiempo, determinando los valores correspondientes a los tiempos indicados.

b. Calcular la velocidad media del móvil, entre 0 y 25 segundos.

El gráfico marca tres tramos (movimientos) diferentes :

	Intervalo	Tipo de movimiento
Tramo 1	0s – 8s	MRUV (acelerado)
Tramo 2	8s – 14s	MRUV (desacelerado)
Tramo 3	14s – 25s	MRU ( v = cte)

Para trazar los gráficos de aceleración y posición en función del tiempo se requiere determinar los valores iniciales y finales de cada intervalo y la ecuación horaria correspondiente

Tramo 1  ( 0s – 8s) Móvil acelerando

Valores iniciales (t_o = 0s) y finales (t₁ = 8s)

Según la consigna :

, x_o = 0

, t_o = 0

Según el grafico

, v_o = 0

Desplazamiento (x₁ – x_o) = área debajo de la curva = ½* base ( 8 s) * altura ( 40 m/s)

, (x₁ – x_o) = 160 m

Como x_o = 0, entonces x₁ = 160 m

Según el grafico

, v₁ = 40 m/s

Aceleración (a₁) = variación de la velocidad / tiempo = ( 40 m/s – 0 m/s) / (8s – 0s)

, a₁ = 5 m/s²

Ecuaciones horarias:

, x = x_o + v_o * t + ½ a₁* t²

, v = v_o + a₁ * t

Reemplazando

, x = ½ * 5m/s² * t²

, v =  5m/s² * t

Tramo 2 ( 8 s – 14 s) Móvil desacelerando

Valores iniciales (t₁ = 8s) y finales (t₂ = 14s)

Valores finales del tramo 1

, x₁ = 160 m

, t₁ = 8 s

, v₁ = 40 m/s

Aceleración (a₂) = variación de la velocidad / tiempo = ( 0 m/s – 40 m/s) / (12s – 8s)

, a₂ = - 10 m/s²

(la velocidad es = 0 para t= 12s)

Desplazamiento (x₂ – x₁) = área debajo de la curva = ½* base * altura

, (x₂ – x₁) = ½ * (12s-8s) * 40m/s + ½*(14s-12s)*(-20m/s)

, (x₂ – x₁) = 80m – 20 m = 60 m

, x₂ = 60 m + x₁ = 60 m + 160 m = 220 m

, x₂ = 220 m

Ecuaciones horarias

, x = x₁ + v₁ * (t – t₁)+ ½ a₂* (t – t₁)²

, v = v₁ + a₂ * (t – t₁)

Reemplazando

, x = 160m + 40 m/s * ( t – 8s) - ½ * 10m/s² * (t – 8s)²

, v =  40 m/s – 10 m/s² * (t – 8s)

Utilizando la ultima ecuación, la velocidad en t = 14 s

, v₂ =  40 m/s – 10 m/s² * (14 s – 8s) = -20 m/s

, v₂  = -20 m/s

Tramo 3 ( 14 s – 25 s) Velocidad constante

Valores iniciales (t₂ = 14s) y finales (t₃ = 25s)

Valores finales del tramo 2

, x₂ = 220 m

, t₂ = 14 s

, v₂ = -20 m/s

Desplazamiento (x₃ – x₂) = área debajo de la curva = base * altura

, (x₃ – x₂) =  (25s - 14s) *(-20m/s) = 11s * (-20 m/s) = -220 m

, x₃ = -220 m + x₂ = -220 m + 220 m

, x₃ = 0 m

Ecuaciones horarias

, x = x₂ + v₂ * (t – t₂)

, v = v₂

Reemplazando

, x = 220m - 20 m/s * ( t – 14s)

, v =  -20 m/s

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a  vs t

b. Calcular la velocidad media del móvil, entre 0 y 25 segundos.

Velocidad media = distancia recorrida / tiempo empleado

v_m = (x_{4 -} x₀ )/ (t₄ - t₀ ) = ( 0 m – 0m) / ( 25 s – 0s)

v_m = 0 m/s