Cinematica 3 MRUV 13

3.13. Un automóvil y un camión parten simultáneamente, desde el reposo, con el auto a cierta distancia detrás del camión. Ambos se mueven con aceleración constante, de 1,8 m/s² para el automóvil y de 1,2 m/s² para el camión, y se cruzan cuando el auto se halla a 45 m de su lugar de partida. Hallar:

a. Cuánto tiempo tardó el auto en alcanzar al camión.

b. Qué distancia los separaba inicialmente.

c. La velocidad de cada vehículo cuando están a la par.

d. Los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo, para ambos.

Las ecuaciones horarias de ambos móviles son:

x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

 v= v_o + a ( t – t_o )

Donde

Auto

t_o = instante inicial = 0

x_o = posición inicial = 0

v_o = velocidad inicial = 0 ( parte del reposo)

a = aceleración = 1,8 m/s²

Reemplazado

x_a =  ½ * 1,8 m/s² * t²

v_a = 1,8 m/s² * t

Camión

t_o = instante inicial = 0

x_o = posición inicial = d  (distancia inicial de separación)

v_o = velocidad inicial = 0 ( parte del reposo)

a = aceleración = 1,2 m/s²

Reemplazado

x_c =  d + ½ * 1,2 m/s² * t²

v_c = 1,2 m/s² * t

a. Tiempo de encuentro

Se encuentran a 45 m de la partida

De la ecuación horaria del auto se determina el tiempo del encuentro

45 m =  ½ * 1,8 m/s² * t²

Despejando t

t² = 45 m / (½ * 1,8 m/s²)

t = 7,07 s

b. distancia inicial

De la ecuación horaria del camión se determina la distancia inicial de separación

45 m =  d + ½ * 1,2 m/s² * (7,07 s)²

Despajando d

 d = 45 m -  ½ * 1,2 m/s² * (7,07 s)²

 d = 15 m

c. Velocidad de cada vehiculo

Reemplazando en la ecuación horaria de la velocidad

v_a = 1,8 m/s² * 7,07 s  = 12,73 m/s

v_c = 1,2 m/s² * 7,07 s = 8,49 m/s

d. Gráficos

Gráfico x vs t

Gráfico v vs t

Gráfico a vs t

Cinematica 3 MRUV 11

3.11. Un automovilista se da cuenta, al sobrepasar a un motociclista, de que se trata de un amigo e instantáneamente (se desprecia el tiempo de reacción) aplica los frenos. Toda la información está contenida en el gráfico v vs. t, en el que se ha prendido el cronómetro en el instante en el que el auto sobrepasa a la moto.

a. Cuatro segundos después de que el coche pasa a la moto, ¿quién va adelante?, ¿o van juntos? Justifique la respuesta.

En t₀ = 0s el automovilista ve al amigo y frena; los datos, según el gráfico, en ese momento son

Auto

t_a0 = tiempo inicial del auto = 0 s

x_a0 = posición inicial del auto = 0 m

v_a0 = velocidad inicial del auto = 90 km/h = 90 * 1000 /3600 m/s = 25 m/s

Moto 

t_m0 = tiempo inicial de la moto = 0 s

x_m0 = posición inicial de la moto = 0 m

v_m0 = velocidad inicial de la moto = 54 km/h = 54 * 1000 /3600 m/s = 15 m/s

A los t₁ = 4s el auto y la moto tienen la misma velocidad v_a1  = v_m0= 15 m/s.

aceleración del auto 

a = (v_a1 – v_a0) / (t₁ - t₀₎ = ( 15 m/s – 25 m/s)/( 4s -0s) = -2,5 m/s²

Las ecuaciones horarias que describen el movimiento del auto y la moto

x_m =  x_m0+ v_m0 * t

x_a =  x_a0 + v_a0 * t + 1/2 a * t²

v_a = v_a0 + a* t

Reemplazando por los datos

x_m = 15 m/s * t

x_a = 25 m/s * t + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t²

v_a = 25 m/s + ( -2,5 m/s²) * t

a. Quien esta adelante?

En t₁ = 4s la posición de ambos móviles

x_m1 = 15 m/s * 4s =  60 m

x_a1 = 25 m/s * 4s + 1/2 *(-2,5 m/s²) * (4s)²  = 80 m

El auto esta adelante

b. ¿Cuándo y dónde vuelven a encontrarse?

Se encuentra cuando están en el mismo sitio ( x_m =  x_a ) en el mismo momento (t_e)

x_m = 15 m/s * t

x_a = 25 m/s * t + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t²

Igualando

15 m/s * t_e = 25 m/s * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²

Reordenando los términos

( 25 m/s – 15 m/s) * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²  = 0

10 m/s * t_e + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e²  = 0

t_e * ( 10 m/s + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e)  = 0

Como toda cuadrática tiene dos soluciones

t_e = 0s ( cuando el auto adelanto la moto)

10 m/s + 1/2 * (-2,5 m/s²) * t_e =  0

Despejando t_e

t_e = 8 s ( segundo encuentro)

c. ¿Cuál es la velocidad del auto en ese momento?

reemplazando en la ecuación horaria de la velocidad

v_ae = 25 m/s + ( -2,5 m/s²) *  8s =  5 m/s

d. Grafique x vs. t para ambos móviles.

e. ¿Podría hallar las soluciones a partir del gráfico v vs. t?

Distancia recorrida = superficie bajo la curva velocidad vs tiempo

Auto

Distancia recorrida = ½  base ( 4s) * altura ( 25 -15 m/s) + base (4s) * altura ( 15 m/s) =

Distancia recorrida = 20 m + 60 m = 80 m

Moto

Distancia recorrida = base (4s) * altura ( 15 m/s) = 60 m

Cinematica 3 MRUV 12

3.12. Dos carneros (uno blanco y otro negro) están en reposo, uno frente al otro, distanciados 24 m. En un instante dado, ambos parten para chocarse. Suponiendo que sus aceleraciones son constantes, y sus módulos 1,6 m/s² y 1,4 m/s² respectivamente, determinar en qué punto del camino se produce el encuentro, y qué velocidad tiene cada uno en ese instante. Trazar los gráficos correspondientes de velocidad y posición en función del tiempo.

Las ecuaciones horarias de ambos carneros serán:

, x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

, v= v_o + a ( t – t_o ) 

Para el carnero blanco

, t_o = 0

, x_o = 0

, v_o = 0

, a = 1,6 m/s²

Reemplazando en las ecuaciones

, x = ½ * 1,6 m/s² * t²

, v = 1,6 m/s² * t

Para el carnero negro

, t_o = 0

, x_o = 24 m

, v_o = 0

, a = - 1,4 m/s²

Reemplazando en las ecuaciones

, x = 24 m - ½ * 1,4 m/s² * t²

, v = - 1,4 m/s² * t

El carnero negro esta a 24 m del blanco y se dirige hacia él por eso el signo de la aceleración.

Los carneros se encuentran cuando están en el mismo sitio (x_e) en el mismo momento (t_e).

Igualando ambas ecuaciones de movimiento

0,8 m/s² * t_e²  = 24 m – 0,7 m/s² * t_e²

Despejando t_e

, t_e²  = 24 m / (0,8 m/s² + 0,7 m/s² )  = 16 s²

, t_e = 4 s

Reemplazando en la ecuación de desplazamiento

, x_e  = 0,8 m/s² * ( 4s)² 

, x_e  = 12,8  m

Medidos desde la posición de partida del carnero blanco

Y la  velocidad

, v = 1,6 m/s² * 4s

, v = 6,4 m/s carnero blanco

, v = -1,4 m/s² * 4s

, v = - 5,6 m/s carnero negro

Grafico x vs t

Grafico v  vs t

Cinematica 1 Vectorial 1

1.1. La población A de nuestra provincia de Buenos Aires está situada 160 km al Este y 120 km al Norte, con respecto a la ciudad M. La población B se sitúa 90 km al Este y 120 km al Sur, también con respecto a M.

a. Adoptar un sistema de referencia y determinar el vector posición de las tres localidades.

b. Una avioneta sale de A a las 07:00 h, y llega a B a las 09:00 h. Determinar su vector desplazamiento.

c. Hallar el vector velocidad media de la avioneta, en su viaje de A hasta B, y calcular su módulo.

d. A las 09:30 h la avioneta despega de B, y aterriza en M a las 11:00 h. Carga mercaderías y combustible, y parte a las 15:00 h, para llegar a la población A a las 16:40 h. Hallar el vector velocidad media de la avioneta en cada uno de los intervalos indicados, y también para todo el viaje (desde las 07:00 h hasta las 16:40 h).

e. En un esquema del lugar, dibujar dos trayectorias posibles diferentes, para cumplir el mismo viaje total. ¿Cuántas hay?

a. Sistema de referencia - Grafico

M = (0,0) y eje x en la dirección O-E

En este sistema de referencia los vectores posición (rA y rB) coinciden con los lados del triangulo AMB

, rA = MA = (160 ; 120) km

, rB = MB = (90 ; -120) km

, rM = (0 ; 0)  km

b. vector desplazamiento

El vector desplazamiento (ΔrAB) será la resta vectorial entre los vectores posición rA y rB (final – inicial ó rB – rA)

, ΔrAB =  rB - rA

, ΔrAB = ((90 km — 160 km ); ( -120 km - 120 km))

, ΔrAB = (-90 ; -240 ) km

c. modulo de la velocidad media

La velocidad media por definición es el desplazamiento sobre el tiempo empleado

, vm = Δr / Δt

, vm = (-90 ; -240 ) km / ( 9:00 h – 7:00 h ) = (- 35 ; - 120 ) km/h

Modulo de un vector es la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de sus componentes (teorema de Pitágoras)

|vm| = [ ( -35 km/h)² + (-120 km/h )² ]½

|vm| = 125 km/h

d. Viaje BMA y ABMA

, vm = Δr / Δt

Donde

ΔrBM = -MB = (-90 ; +120) km

ΔtBM = 11:00 h – 9:30h = 1,5 h

Reemplazando

vmBM = (- 60 ; 80 ) km/h

Donde

ΔrMA = MA = (160 ; 120) km

ΔtMA = 16:40 h – 15:00 h = 1 h 40 m = 1,66 h

Reemplazando

vmMA = (96 ; 72 ) km/h

Donde

ΔrAA = (0 ; 0) km

ΔtAA = 16:40 h – 7:00 h = 9 h 40 m = 9,66 h

Reemplazando

vmAA = (0 ; 0 ) km/h

e. trayectorias

Infinitas