Cinematica 3 MRUV 10

3.10. El gráfico dado representa la aceleración en función del tiempo de un ascensor, que parte del reposo en planta baja, hasta detenerse en el segundo piso.

a. Obtener los gráficos de velocidad y de posición del coche del ascensor en función del tiempo.

b. Con el mismo sistema de referencia usado anteriormente, gráficar la aceleración del coche en función del tiempo en su viaje de regreso a planta baja. Suponer que el motor y los frenos proveen aceleraciones de mismo módulo que durante la subida, y que se alcanza una velocidad constante (de régimen) también de igual módulo. Hallar los gráficos del inciso a para este nuevo caso, y compararlos.

c. El mismo ascensor está instalado en un edificio de 60 metros de altura. Esbozar el gráfico posición-tiempo en un viaje de ida y vuelta hasta el último piso, si se detiene allí 10 segundos

a. Viaje de ida (subida)

El gráfico marca tres tramos (movimientos) diferentes:

	Intervalo	Tipo de movimiento
Tramo 1	0s – 2s	MRUV (acelerado)
Tramo 2	2s – 2,5s	MRU (velocidad constante)
Tramo 3	2,5 s – 4s	MRUV (desacelerado)

Para trazar los gráficos de aceleración y posición en función del tiempo se requiere determinar los valores iniciales y finales de cada intervalo y la ecuación horaria correspondiente

Tramo 1  ( 0s – 2s) Móvil acelerando

Valores iniciales (t_o = 0s) y finales (t₁ = 2s)

Según la consigna:

y_o = 0 (parte de planta baja)

t_o = 0

v_o = 0 (parte del reposo)

Según el gráfico

a₁ =1,5m/s²

Ecuaciones horarias:

y = y_o + v_o * t + ½ a₁* t²

 v = v_o + a₁ * t

Reemplazando

y = ½ * 1,5m/s² * t²

v =  1,5m/s² * t

Para t₁ = 2s

y₁ = ½ * 1,5m/s² * (2s)² =  3m

v₁ = 1,5m/s² * 2s = 3 m/s

Tramo 2 ( 2 s – 2,5 s) Móvil a velocidad constante

Valores iniciales (t₁ = 2s) y finales (t₂ = 2,5s)

Valores finales del tramo 1

y₁ = 3 m

t₁ = 2 s

v₁ = 3 m/s

Según el gráfico

a₂ = 0 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₁ + v₁ * (t – t₁)+ ½ a₂ * (t – t₁)²

v = v₁ + a₂ * (t – t₁)

Reemplazando

y = 3 m + 3 m/s * ( t – 2s)  

v =  3 m/s

Para t₂ = 2,5 s

y₂ =  3 m + 3 m/s * ( 2,5 s – 2s)  = 4,5 m

Tramo 3 ( 2,5 s – 4 s) Móvil desacelerando

Valores iniciales (t₂ = 2,5s) y finales (t₃ = 4s)

Valores finales del tramo 2

y₂ = 4,5 m

t₂ = 2,5 s

v₂ = 3 m/s

Según el gráfico

a₃ = -2 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₂ + v₂ * (t – t₂) +  ½ a₃ * (t – t₂)²

v = v₂ + a₃ * (t – t₂)

Reemplazando:

y = 4,5 m + 3 m/s * ( t –2,5s) +  ½ (-2 m/s²) * (t – 2,5s)²

v =  3 m/s +  (-2 m/s²) * (t – 2,5s)

Para t₃ = 4 s

y₃ = 4,5 m + 3 m/s * ( 4s – 2s) = 6,5 m

v₃ = 3 m/s +  (-2 m/s²) * (4s – 2,5s) =  0 m/s

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a vs t

b. Viaje de vuelta (bajada)

	Intervalo	Tipo de movimiento
Tramo 4	4s – 5,5s =	MRUV (desacelerado)
Tramo 5	5,5s – 6s	MRU (velocidad constante)
Tramo 6	6s – 8s	MRUV (acelerando)

Tramo 4  ( 4s – 5,5s) Móvil desacelerando

Valores iniciales (t₃ = 4s) y finales (t₄  = 5,5s)

Valores finales del tramo 3

y₃  = 6,5 m

t₃ = 4s

v₃ = 0 m/s

Según la consigna (ídem tramo 3)

a₄ = a₂ = -2 m/s²

Ecuaciones horarias:

y = y₃ + v₃ * (t – t₃) + ½ a₄ * (t – t₃)²

v = v₃ + a₄ * (t – t₃)

Reemplazando

y = 6,5 m + ½ *(- 2m/s²) * ( t – 4s)²

v =  (- 2m/s²) * ( t – 4s)

Para t₄ = 4s + (4s – 2,5s) = 5,5s

y₄ = 6,5 m + ½ * (-2m/s²) * ( 5,5s – 4s)² =  4,5 m

v₄ = -2m/s² * ( 5,5s – 4s) = -3m/s

Tramo 5 ( 5,5s – 6s) Móvil a velocidad constante

Valores iniciales (t₄ = 5,5s) y finales (t₅ = 6s)

Valores finales del tramo 4

y₄ =  4,5 m

t₄ = 5,5 s

v₄ = -3 m/s

Según la consigna (ídem tramo 2)

a₁ =  a₅ =  0 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₄ + v₄ * (t – t₄)+ ½ a₅* (t – t₄)²

v = v₄ + a₅ * (t – t₄)

Reemplazando

y = 4,5 m - 3 m/s * ( t – 5,5s)

v =  - 3 m/s

Para t₅ = 5,5s + (2,5s – 2s) = 6s

y₅ =  4,5 m - 3 m/s * ( 6s – 5,5s) = 3 m

Tramo 6 ( 6 s – 8 s) Móvil acelerando

Valores iniciales (t₅ = 6s) y finales (t₆ = 8s)

Valores finales del tramo 5

y₅ = 3 m

t₅ = 6s

v₅ = -3 m/s

Según la consigna (ídem tramo 1)

a₆ = a₁ = 1,5 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₅ + v₅ * (t – t₅) +  ½ a₆ * (t – t₅)²

v = v₅ + a₆ * (t – t₅)

Reemplazando:

y = 3 m - 3 m/s * ( t – 6s) +  ½ * 1,5 m/s² * (t –6s)²

v =  - 3 m/s +  1,5 m/s² * (t – 6s)

Para t₆ =  6s + (2s – 0s) = 8s

y₆ = 3 m - 3 m/s * ( 8s – 6s) +  ½ * 1,5 m/s² * (8s –6s)²  = 0 m

v₆ = -3 m/s +  1,5m/s² * (8s – 6s) = 0 m/s

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a vs t

Cinematica 2 MRU 8

2.8. Una cuadrilla de empleados del ferrocarril viaja en una zorra por una vía rectilínea. En un instante dado, por la misma vía y a 180 m por detrás, ven venir un tren que viaja con una velocidad constante de 36 km/h. ¿A qué velocidad mínima y constante deberá moverse la zorra para poder llegar a un desvío, que en ese instante está 120 m más adelante, para evitar el choque?

Graficar velocidad y posición en función del tiempo, para ambos móviles.

Resolver ahora, considerando que se requieren 10 segundos para accionar el cambio de vías.

La ecuación horaria de los dos móviles será:

, x = x_o + v ( t – t_o )

Para la zorra

, x_o = 0

, t_o = 0

, x = 120 m = 0,12 km  ( se “encuentran” en el desvío)

Para el tren

, x_o = -180 m = - 0,18 km  ( el tren esta “detrás” de la zorra)

, t_o = 0

, v = 36 km/h

, x = 120 m = 0,12 km ( se “encuentran” en el desvío)

Reemplazando en la ecuación horaria

0,12 km = -0,18 km + 36 km/h * t_e

0,12 km = v * t_e

Despejando t_e de la primera ecuación

, t_e = (0,12 km + 0,18 km) / 36 km/h = 0,0083 h  (30 s)

Reemplazando en la segunda ecuación

0,12 km = v * 0,0083 h

Despejando v

,v = 0,12 km / 0,0083 h

, v = 14, 4 km/h

Grafico x vs t

Gráfico v vs t

Segunda Parte

Si se requieren 10 segundos para accionar el cambio de vías, la zorra deberá llegar al desvío 10 s antes  que el tren, pero el tren tardara lo mismo en llegar :

, t_{e =}  0,0083 h

, t_n = t_e – 10 s = 0,0083 h – 10 s* (1 h /3600 s) = 0,00552 h

Reemplazando en la ecuación horaria de la zorra

0,12 km = v * 0,00552 h

Despejando v

,v = 0,12 km / 0,00552 h

,v = 21,6 km/h

Cinematica 2 MRU 7

2.7. Andrés va en su bicicleta, con velocidad constante de 14 km/h, en una calle rectilínea siguiendo a Karina, que va corriendo en el mismo sentido, a 5 km/h, también con velocidad constante.

Si inicialmente estaban distanciados 100 m, hallar cuánto tiempo después la alcanzará, y qué distancia avanzó cada uno.

Trazar los gráficos posición-tiempo y velocidad-tiempo.

La ecuación horaria de Andrés y de Karina es igual

x = x_o + v * ( t – t_o )

Para Andrés

, x_o  = 0

, v = 14 km/ h

, y t_o  = 0

Entonces

, x_A = 14 km/ h * t

Para Karina

, x_o  = 100 m = 0,1 km ( para homogeneizar la unidades)

, v = 5 km/ h

, y t_o  = 0

Entonces

, x_K =  0,1 km + 5 km/h * t

Andrés y Karina se encuentran si y solo si están en el mismo sitio en el mismo momento

, x_A  = x_K = x_e

Igualando las dos ecuaciones horarias (están en el mismo sitio)

14 km/ h * t_e = 0,1 km + 5 km/h * t_e

Despajando t_e

, t_e =  0,1 km / ( 14 km/h – 5 km/h)

, t_e = 0,011 h ( 40 seg)

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones

, x_e = 14 km/h * 0,011 h = 0,156 km

, x_e =  0,156 km

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Leyes de conservacion 1 Trabajo y energia 8

1.8. Valiéndose de consideraciones de trabajo y energía cinética, demostrar que si el conductor de un vehículo cuya masa es m y que marcha con velocidad v por una ruta horizontal aplica a fondo los frenos, la distancia en que se detiene es d = v²/2µg, en donde µ es el coeficiente de rozamiento dinámico entre sus neumáticos y el pavimento. ¿En qué factor se incrementa la distancia de frenado, si el vehículo duplica su velocidad?

La variación de la energía mecánica es igual al trabajo de las fuerzas no-conservativas

La engría mecánica en un desplazamiento horizontal es solo energía cinética, basta con poner el nivel cero de la energía potencial coincidiendo con el desplazamiento

W_Fr = ΔE_M =  ΔE_C

La fuerza de rozamiento será:

Fr = - μ * N = μ * m * g

Entonces, el trabajo

W_Fr = Fr * d * cos (180º) = μ * m * g * d * (-1)

Además, la velocidad final = 0 ( el movil se detiene)

μ * m * g * d * (-1) = -  ½ m v²

Simplificando m, y despejando d resulta

  ,d = v² / (2 * μ * g )

Si la velocidad se duplica ( v´= 2v)

La distancia de frenado será

  ,d´ = v´² / (2 * μ * g ) = (2v)² / (2 * μ * g ) = 4 * v² / (2 * μ * g ) = 4 * d

La distancia de frenado se cuadriplica