Cinematica 3 MRUV 12

3.12. Dos carneros (uno blanco y otro negro) están en reposo, uno frente al otro, distanciados 24 m. En un instante dado, ambos parten para chocarse. Suponiendo que sus aceleraciones son constantes, y sus módulos 1,6 m/s² y 1,4 m/s² respectivamente, determinar en qué punto del camino se produce el encuentro, y qué velocidad tiene cada uno en ese instante. Trazar los gráficos correspondientes de velocidad y posición en función del tiempo.

Las ecuaciones horarias de ambos carneros serán:

, x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

, v= v_o + a ( t – t_o ) 

Para el carnero blanco

, t_o = 0

, x_o = 0

, v_o = 0

, a = 1,6 m/s²

Reemplazando en las ecuaciones

, x = ½ * 1,6 m/s² * t²

, v = 1,6 m/s² * t

Para el carnero negro

, t_o = 0

, x_o = 24 m

, v_o = 0

, a = - 1,4 m/s²

Reemplazando en las ecuaciones

, x = 24 m - ½ * 1,4 m/s² * t²

, v = - 1,4 m/s² * t

El carnero negro esta a 24 m del blanco y se dirige hacia él por eso el signo de la aceleración.

Los carneros se encuentran cuando están en el mismo sitio (x_e) en el mismo momento (t_e).

Igualando ambas ecuaciones de movimiento

0,8 m/s² * t_e²  = 24 m – 0,7 m/s² * t_e²

Despejando t_e

, t_e²  = 24 m / (0,8 m/s² + 0,7 m/s² )  = 16 s²

, t_e = 4 s

Reemplazando en la ecuación de desplazamiento

, x_e  = 0,8 m/s² * ( 4s)² 

, x_e  = 12,8  m

Medidos desde la posición de partida del carnero blanco

Y la  velocidad

, v = 1,6 m/s² * 4s

, v = 6,4 m/s carnero blanco

, v = -1,4 m/s² * 4s

, v = - 5,6 m/s carnero negro

Grafico x vs t

Grafico v  vs t

Cinematica 1 Vectorial 1

1.1. La población A de nuestra provincia de Buenos Aires está situada 160 km al Este y 120 km al Norte, con respecto a la ciudad M. La población B se sitúa 90 km al Este y 120 km al Sur, también con respecto a M.

a. Adoptar un sistema de referencia y determinar el vector posición de las tres localidades.

b. Una avioneta sale de A a las 07:00 h, y llega a B a las 09:00 h. Determinar su vector desplazamiento.

c. Hallar el vector velocidad media de la avioneta, en su viaje de A hasta B, y calcular su módulo.

d. A las 09:30 h la avioneta despega de B, y aterriza en M a las 11:00 h. Carga mercaderías y combustible, y parte a las 15:00 h, para llegar a la población A a las 16:40 h. Hallar el vector velocidad media de la avioneta en cada uno de los intervalos indicados, y también para todo el viaje (desde las 07:00 h hasta las 16:40 h).

e. En un esquema del lugar, dibujar dos trayectorias posibles diferentes, para cumplir el mismo viaje total. ¿Cuántas hay?

a. Sistema de referencia - Grafico

M = (0,0) y eje x en la dirección O-E

En este sistema de referencia los vectores posición (rA y rB) coinciden con los lados del triangulo AMB

, rA = MA = (160 ; 120) km

, rB = MB = (90 ; -120) km

, rM = (0 ; 0)  km

b. vector desplazamiento

El vector desplazamiento (ΔrAB) será la resta vectorial entre los vectores posición rA y rB (final – inicial ó rB – rA)

, ΔrAB =  rB - rA

, ΔrAB = ((90 km — 160 km ); ( -120 km - 120 km))

, ΔrAB = (-90 ; -240 ) km

c. modulo de la velocidad media

La velocidad media por definición es el desplazamiento sobre el tiempo empleado

, vm = Δr / Δt

, vm = (-90 ; -240 ) km / ( 9:00 h – 7:00 h ) = (- 35 ; - 120 ) km/h

Modulo de un vector es la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de sus componentes (teorema de Pitágoras)

|vm| = [ ( -35 km/h)² + (-120 km/h )² ]½

|vm| = 125 km/h

d. Viaje BMA y ABMA

, vm = Δr / Δt

Donde

ΔrBM = -MB = (-90 ; +120) km

ΔtBM = 11:00 h – 9:30h = 1,5 h

Reemplazando

vmBM = (- 60 ; 80 ) km/h

Donde

ΔrMA = MA = (160 ; 120) km

ΔtMA = 16:40 h – 15:00 h = 1 h 40 m = 1,66 h

Reemplazando

vmMA = (96 ; 72 ) km/h

Donde

ΔrAA = (0 ; 0) km

ΔtAA = 16:40 h – 7:00 h = 9 h 40 m = 9,66 h

Reemplazando

vmAA = (0 ; 0 ) km/h

e. trayectorias

Infinitas

Cinematica 1 Vectorial 2

1.2. La casa de Diego se encuentra a 15 cuadras (1,5 km) al Este y 20 cuadras (2 km) al Sur de la casa de Silvia. Cierta tarde deciden ir juntos al cine, cuya función comienza a las 19:30 h, y que está ubicado a 30 cuadras (3 km) al Este y 40 cuadras (4 km) al Norte de la casa de Diego.

Diego pasa a buscar a Silvia: para eso toma un colectivo que lo traslada desde su casa hasta la de ella con un vector velocidad media:

 v_m = - 6 km/h i + 8 km/h j (i hacia el Este; j hacia el Norte).

Debe esperar 10 minutos hasta que Silvia termine de maquillarse, y luego toman un taxi que los lleva al cine en 15 minutos.

a. Elegir un sistema de referencia, y determinar el vector posición de ambas casas, y del cine.

b. Hallar los vectores desplazamiento y velocidad media del taxi.

c. Sabiendo que llegaron al cine 5 minutos después de comenzada la función, calcular a qué hora salió Diego de su casa.

d. Determinar el vector velocidad media de Diego, y su módulo, en el viaje desde su casa hasta el cine.

Los símbolos î y ĵ son vectores de módulo 1 (versores). El versor î tiene la misma dirección y sentido que el eje x, y el versor ĵ que el eje y.

El (0;0) se puede fijar en cualquier lugar, pero dado que Diego inicia su viaje en su casa parece “natural” es fijar el (0;0) en la casa de Diego.

a. Vectores posición

rD = 0 km î + 0 km ĵ

rS = - 1,5 km î + 2 km ĵ

rC =  3 km î + 4 km ĵ

b. Vector desplazamiento

ΔrDS (el colectivo desde lo de Diego hasta lo de Silvia) es la resta vectorial entre los vectores posición (final menos inicial, rS- rD)

ΔrDS = rS – rD = (- 1,5 – 0) km î + (2 – 0) km ĵ

ΔrDS =  - 1,5 km î + 2 km ĵ

El vector desplazamiento de lo de Silvia hasta el cine

ΔrSC = rC – rS = ( 3 – ( -1,5)) km î + (4 – 2) km ĵ

ΔrSC = 4,5 km î + 2 km ĵ

c. Hora de partida de Diego

Armando la cronología según la descripción del viaje:

Hora de llegada al cine =  hora de comienzo de la función + 5 m = 19:30 h + 5 min

Hora de llegada al cine = 19:35 h

Hora de salida de la casa de Silvia = Hora de llegada al cine – tiempo de viaje =

Hora de salida de la casa de Silvia = 19:35 h – 15 min = 19:20 h

Hora de llegada de Diego a la casa de Silvia = hora de salida de la casa de Silvia – tiempo de demora de Silvia en maquillarse

Hora de llegada de Diego a la casa de Silvia = 19:20 h – 10 min = 19:10 h

Hora de partida de Diego = Hora de llegada a la casa de Silvia – Tiempo de viaje

Tiempo de viaje desde la casa de Diego hasta lo de Silvia

velocidad media = desplazamientos / tiempo

v_m = ΔrDS / ΔtDS

Reemplazando por los datos

 - 6 km î + 8 km ĵ = (- 1,5 km î + 2 km ĵ ) / ΔtDS

(división opera componente a componente)

 - 6 km î = - 1,5 km î / Δt

8 km ĵ = 2 km ĵ / Δt

Despejando Δt

Δt  =  0,25 h = 15 minutos.

Hora de partida de Diego = 19:10h – 15 min = 18:55 h

d. velocidad media de Diego

v_mDC = ΔrDC/ ΔtDC

Donde

ΔrDC = rC – rD = 3 km î + 4 km ĵ

ΔtDC = 19:35 h – 18:55 h = 40 m = 0,66 h

Reemplazando

v_mDC = ( 3 km î + 4 km ĵ ) / 0,66 h = 4,5 km/h î + 6 km/h ĵ

Según Pitágoras el modulo del vector :

| v_mDC | = [ (4,5km/h)² + (6 km/h )² ]^½

| v_mDC | = 7,5 km/h

Cinematica 3 MRUV 10

3.10. El gráfico dado representa la aceleración en función del tiempo de un ascensor, que parte del reposo en planta baja, hasta detenerse en el segundo piso.

a. Obtener los gráficos de velocidad y de posición del coche del ascensor en función del tiempo.

b. Con el mismo sistema de referencia usado anteriormente, gráficar la aceleración del coche en función del tiempo en su viaje de regreso a planta baja. Suponer que el motor y los frenos proveen aceleraciones de mismo módulo que durante la subida, y que se alcanza una velocidad constante (de régimen) también de igual módulo. Hallar los gráficos del inciso a para este nuevo caso, y compararlos.

c. El mismo ascensor está instalado en un edificio de 60 metros de altura. Esbozar el gráfico posición-tiempo en un viaje de ida y vuelta hasta el último piso, si se detiene allí 10 segundos

a. Viaje de ida (subida)

El gráfico marca tres tramos (movimientos) diferentes:

	Intervalo	Tipo de movimiento
Tramo 1	0s – 2s	MRUV (acelerado)
Tramo 2	2s – 2,5s	MRU (velocidad constante)
Tramo 3	2,5 s – 4s	MRUV (desacelerado)

Para trazar los gráficos de aceleración y posición en función del tiempo se requiere determinar los valores iniciales y finales de cada intervalo y la ecuación horaria correspondiente

Tramo 1  ( 0s – 2s) Móvil acelerando

Valores iniciales (t_o = 0s) y finales (t₁ = 2s)

Según la consigna:

y_o = 0 (parte de planta baja)

t_o = 0

v_o = 0 (parte del reposo)

Según el gráfico

a₁ =1,5m/s²

Ecuaciones horarias:

y = y_o + v_o * t + ½ a₁* t²

 v = v_o + a₁ * t

Reemplazando

y = ½ * 1,5m/s² * t²

v =  1,5m/s² * t

Para t₁ = 2s

y₁ = ½ * 1,5m/s² * (2s)² =  3m

v₁ = 1,5m/s² * 2s = 3 m/s

Tramo 2 ( 2 s – 2,5 s) Móvil a velocidad constante

Valores iniciales (t₁ = 2s) y finales (t₂ = 2,5s)

Valores finales del tramo 1

y₁ = 3 m

t₁ = 2 s

v₁ = 3 m/s

Según el gráfico

a₂ = 0 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₁ + v₁ * (t – t₁)+ ½ a₂ * (t – t₁)²

v = v₁ + a₂ * (t – t₁)

Reemplazando

y = 3 m + 3 m/s * ( t – 2s)  

v =  3 m/s

Para t₂ = 2,5 s

y₂ =  3 m + 3 m/s * ( 2,5 s – 2s)  = 4,5 m

Tramo 3 ( 2,5 s – 4 s) Móvil desacelerando

Valores iniciales (t₂ = 2,5s) y finales (t₃ = 4s)

Valores finales del tramo 2

y₂ = 4,5 m

t₂ = 2,5 s

v₂ = 3 m/s

Según el gráfico

a₃ = -2 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₂ + v₂ * (t – t₂) +  ½ a₃ * (t – t₂)²

v = v₂ + a₃ * (t – t₂)

Reemplazando:

y = 4,5 m + 3 m/s * ( t –2,5s) +  ½ (-2 m/s²) * (t – 2,5s)²

v =  3 m/s +  (-2 m/s²) * (t – 2,5s)

Para t₃ = 4 s

y₃ = 4,5 m + 3 m/s * ( 4s – 2s) = 6,5 m

v₃ = 3 m/s +  (-2 m/s²) * (4s – 2,5s) =  0 m/s

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a vs t

b. Viaje de vuelta (bajada)

	Intervalo	Tipo de movimiento
Tramo 4	4s – 5,5s =	MRUV (desacelerado)
Tramo 5	5,5s – 6s	MRU (velocidad constante)
Tramo 6	6s – 8s	MRUV (acelerando)

Tramo 4  ( 4s – 5,5s) Móvil desacelerando

Valores iniciales (t₃ = 4s) y finales (t₄  = 5,5s)

Valores finales del tramo 3

y₃  = 6,5 m

t₃ = 4s

v₃ = 0 m/s

Según la consigna (ídem tramo 3)

a₄ = a₂ = -2 m/s²

Ecuaciones horarias:

y = y₃ + v₃ * (t – t₃) + ½ a₄ * (t – t₃)²

v = v₃ + a₄ * (t – t₃)

Reemplazando

y = 6,5 m + ½ *(- 2m/s²) * ( t – 4s)²

v =  (- 2m/s²) * ( t – 4s)

Para t₄ = 4s + (4s – 2,5s) = 5,5s

y₄ = 6,5 m + ½ * (-2m/s²) * ( 5,5s – 4s)² =  4,5 m

v₄ = -2m/s² * ( 5,5s – 4s) = -3m/s

Tramo 5 ( 5,5s – 6s) Móvil a velocidad constante

Valores iniciales (t₄ = 5,5s) y finales (t₅ = 6s)

Valores finales del tramo 4

y₄ =  4,5 m

t₄ = 5,5 s

v₄ = -3 m/s

Según la consigna (ídem tramo 2)

a₁ =  a₅ =  0 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₄ + v₄ * (t – t₄)+ ½ a₅* (t – t₄)²

v = v₄ + a₅ * (t – t₄)

Reemplazando

y = 4,5 m - 3 m/s * ( t – 5,5s)

v =  - 3 m/s

Para t₅ = 5,5s + (2,5s – 2s) = 6s

y₅ =  4,5 m - 3 m/s * ( 6s – 5,5s) = 3 m

Tramo 6 ( 6 s – 8 s) Móvil acelerando

Valores iniciales (t₅ = 6s) y finales (t₆ = 8s)

Valores finales del tramo 5

y₅ = 3 m

t₅ = 6s

v₅ = -3 m/s

Según la consigna (ídem tramo 1)

a₆ = a₁ = 1,5 m/s²

Ecuaciones horarias

y = y₅ + v₅ * (t – t₅) +  ½ a₆ * (t – t₅)²

v = v₅ + a₆ * (t – t₅)

Reemplazando:

y = 3 m - 3 m/s * ( t – 6s) +  ½ * 1,5 m/s² * (t –6s)²

v =  - 3 m/s +  1,5 m/s² * (t – 6s)

Para t₆ =  6s + (2s – 0s) = 8s

y₆ = 3 m - 3 m/s * ( 8s – 6s) +  ½ * 1,5 m/s² * (8s –6s)²  = 0 m

v₆ = -3 m/s +  1,5m/s² * (8s – 6s) = 0 m/s

Grafico x vs t

Grafico v vs t

Grafico a vs t