Cinematica 3 MRUV 21

3.21. El dibujo representa 5 cuerpos lanzados antes con diferentes velocidades. Indique cuál de ellos alcanzó mayor altura. (Nota: entre las líneas punteadas hay un metro de separación).

Considerando que cada cuerpo llego a su altura máxima, donde su velocidad es cero, y luego comenzaron a caer, su velocidad en función del tiempo:

, v = 10 m/s² (t – t_o)

De donde se puede obtener (t – t_o) el tiempo de vuelo

, (t – t_o) = v / 10 m/s²

La distancia recorrida desde la altura máxima (Y)

, (y - Y ) = - ½* 10 m/s² (t – t_o)²

Reordenando respecto de Y

, (Y - y) =  ½* 10 m/s² (t – t_o)²

	A	B	C	D	E
, v	2 m/s	5 m/s	5 m/s	4 m/s	3 m/s
(t – to)	2/10 = 0,2 s	5/10= 0,5 s	5/10= 0,5 s	4/10= 0,4 s	3/10= 0,3 s
(Y - y)	0,20 m	1,25 m	1,25 m	0,80 m	0,45 m

Relacionemos el cuerpo B con el A

, (Y_b- y_b) - (Y_a- y_a) = 1,25 m – 0,20 m = 1,05 m

, (Y_b- y_b) - (Y_a- y_a) = Y_b- y_b - Y_a + y_a  = Y_b - Y_a + y_a - y_b

Según la grafica

, (y_a- y_b) = 1 m

Reemplazando

, Y_b - Y_a + y_a - y_b = Y_b - Y_a + 1m = 1,05 m

, Y_b - Y_a  = 1,05 m – 1 m = 0,5 m

La altura máxima del cuerpo B es mayor que la altura máxima del cuerpo A en 0,5 m

Completando la tabla (siempre respecto de A)

	A	B	C	D	E
(Y - y)	0,20 m	1,25 m	1,25 m	0,80 m	0,45 m
(Y- y) - (Ya- ya)	0	1,25 – 0,2 = 1,05 m	1,25 – 0,2 = 1,05 m	0,80 – 0,2 = 0,60 m	0,45 – 0,2 = 0,25 m
(ya- y)	0	1 m	2 m	3 m	4 m
Y - Ya	0	1,05 – 1 = 0,5 m	1,05 – 2 = - 0,95 m	0,6 – 3 = - 2,40 m	0,25 – 4 = -3,75 m
		Y > Ya	Y <  Ya	Y <  Ya	Y <  Ya

El móvil B alcanzo la mayor altura máxima

Cinematica 3 MRUV 18

3.18. Se dispara un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 30 m/s. Se pide:

a. Elegir un sistema de referencia, que mantendrá invariable en todo el desarrollo, y plantear las ecuaciones horarias del movimiento. Justificar los valores y signos asignados.

b. Calcular su posición y velocidad al cabo de 2 s; 4 s; y 8 s de su lanzamiento. Hallar los desplazamientos entre 0 y 2 segundos; 2 s y 4 s; 4 s y 8 s. Interpretar.

c. Determinar en qué instante vuelve a pasar por el punto de partida.

d. Determinar el instante para el que su altura es máxima, y el valor de dicha altura.

e. Hallar en qué instante se encuentra a 25 m de altura.

f. Graficar la altura alcanzada, la velocidad y la aceleración del objeto, en función del tiempo.

a. sistema de referencia y ecuaciones horarias

Usando el sistema de referencia tradicional (las y son positivas para arriba) las ecuaciones horarias del tiro vertical serán:

y = y_o + v_o ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

v = v_o + g ( t – t_o )

Donde

y_o= 0m (punto de partida)

t_o= 0s (sale disparado en el instante cero)

a = - g = – 10 m/s²

Reemplazando

y = 30 m/s * t – ½ * 10 m/s² * t²

v = 30 m/s – 10 m/s² . t

b. Posición y velocidad  para t = 2 s; 4 s; y 8 s de su lanzamiento

Para t = 2s

y(2s) = 30 m/s * 2s – ½ * 10 m/s² * (2s)² = 40 m

v(2s) = 30 m/s – 10 m/s² * 2s = 10 m/s

Para t = 4s

y(4s) = 30 m/s * 4s – ½ * 10 m/s² * (4s)² = 40 m

v(4s) = 30 m/s – 10 m/s² * 4s = - 10 m/s

Para t = 8s

y(8s) = 30 m/s * 8s – ½ * 10 m/s² * (8s)² = 80 m

v(8s) = 30 m/s – 10 m/s² * 8s = - 50 m/s

Desplazamientos

Δy(0-2) = y(2s) – y(0s) = 40 m

Δy(2-4) = y(4s) – y (2s) =0 m

Δy (4-8) = y(8s) – y(4s) = – 120 m

El caso mas interesante es Δy(2-4) = 0 m; a los 2s el proyectil esta “subiendo” y a los 4s esta “bajando” y pasa por el mismo sitio.

c. Determinar en qué instante vuelve a pasar por el punto de partida.

Reemplazando en la ecuación horaria de la posicion

 0 m  = 30 m/s * t – ½* 10 m/s² * t² (punto de partida y_o= 0m)

Esta ecuación tiene dos soluciones (como toda cuadrática)

Reordenando los términos

t * ( 30 m/s – 10 m/s² * t) = 0

t = 0 s (cuando se produjo el disparo)

t  = 30 m/s / 5 m/s²  = 6 s

d. Altura máxima

La condición de altura máxima M es v_M = 0 m/s; reemplazando en la ecuación horaria de la velocidad

0 m/s = 30 m/s – 10 m/s² * t_M

Despejando t_M

t_M = 30 m/s / 10 m/s² = 3s

Reemplazando en al ecuación horaria de la posición

y_M = 30 m/s * 3s – ½ * 10 m/s² * (3s)²  = 45 m

e. Hallar en qué instante se encuentra a 25 m de altura.

Reemplazando en la ecuación horaria de la posición

25 m  = 30 m/s * t – ½* 10 m/s² * t²

Esta ecuación tiene dos soluciones (como toda cuadrática)

Reordenando los términos

0 = – ½ * 10 m/s² * t_25m² + 30 m/s * t_25m – 25 m

Las soluciones de esta cuadrática son

t_25m = 1s

t'_25m = 5s

f. Gráficos

Grafico y vs t

Grafico v vs t

Grafico a vs t