Física 1 Practica 5 Indice

 Física 1 - Exactas

Practica 5. Sistemas no inerciales

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Física 1 (Exactas) Practica 5.1 - Sistemas no inerciales

En el piso de un colectivo está apoyado un paquete de masa m. El colectivo parte del reposo con una aceleración constante. Decir cuáles son las fuerzas aplicadas sobre el paquete, cuáles son de interacción y cuáles de inercia y describir el movimiento del paquete visto por un observador en el colectivo y por otro que está en la calle, en los casos que:

 

a.     El paquete no desliza sobre el piso del colectivo. Para este caso calcule, además, la relación entre la máxima aceleración que puede tener el colectivo y el coeficiente de rozamiento estático entre el paquete y el piso. 

 

 

a.1. fuerzas aplicadas sobre el paquete, cuáles son de interacción y cuáles de inercia

 

Fuerzas de interacción

N = Normal = fuerza que ejerce el piso del colectivo sobre el paquete

P = peso = fuerza de atracción de la Tierra sobre el paquete = m g

Froz = fuerza de rozamiento entre el piso del colectivo y el paquete = k (x – lo)

 

Fuerza de inercia

Fi = Fuerza de inercia (solo aparece para el observador dentro del colectivo) = m (-a)

 

 

a.2. describir el movimiento del paquete visto por un observador en el colectivo

 

 “.. El paquete no desliza sobre el piso del colectivo ..” à

xp = 0

vp = 0

 

Con

xp = posición del paquete

vp = velocidad del paquete

 

Ecuaciones de Newton (para sistemas no inerciales)

Según x: Froz - Fi = 0 (paquete en reposo)

Según y: N – P = 0

 

Donde

 Froz = fuerza de rozamiento estático máxima = μe N

μe = coeficiente e rozamiento estático

N = reacción del piso

Fi = fuerza de inercia = m a

m = masa

a = aceleración del colectivo máxima

P = peso = m g

 

Reemplazando en la ecuación según x

μe m g -  m a = 0

 

Despejando a

a = μe g

 

a.3. describir el movimiento del paquete visto por un observador que está en la calle

 

Ecuaciones de movimiento

x = xo + vo t + 1 /2 ap t^2

v = vo + ap t

 

donde

x = posición en el instante t

xo = posición inicial = 0

vo = velocidad inicial = 0 (parte del reposo)

ap = aceleración del paquete = aceleración del colectivo = a (el paquete no se desliza, se mueve con el colectivo)

 

reemplazando

x = 1 /2 a t² 

v = a t  

 

 

b.     Se reduce a cero el rozamiento entre el paquete y el piso (por ejemplo, apoyando el paquete en un carrito).

 

b.1. fuerzas aplicadas sobre el paquete, cuáles son de interacción y cuáles de inercia

 

Fuerza de interacción

N = Normal = fuerza que ejerce el piso del colectivo sobre el paquete

P = peso = fuerza de atracción de la Tierra sobre el paquete = m g

 

Fuerza de inercia

Fi = Fuerza de inercia (solo para el observador dentro del colectivo) = m ( - a)

 

 

b.2. describir el movimiento del paquete visto por un observador en el colectivo

 

vpt = vpc + vct (vectorial)

 

donde

vpt = velocidad del paquete respecto a tierra = 0

vpc = velocidad del paquete respecto al colectivo

vct = velocidad del colectivo respecto a tierra = a t

a = aceleración del colectivo

 

despejando vpc

vpc  = - vct = - a t

 

Ecuaciones de movimiento

x = xo + vo t + 1 /2 ap t^2

v = vo + ap t

 

donde

x = posición en el instante t

xo = posición inicial = 0

vo = velocidad inicial = 0 (parte del reposo)

ap = aceleración del paquete = - a (comparando con vpc = - a t)

 

reemplazando

x = -  1/ 2 a t^2

v = - a t

 

 

b.3. describir el movimiento del paquete visto por un observador que está en la calle

 

Ecuaciones de movimiento

x = xo + vo t + 1 /2 ap t^2

v = vo + a t

 

donde

x = posición en el instante t

xo = posición inicial = 0

vo = velocidad inicial = 0 (parte del reposo)

ap = aceleración del paquete = 0 (no hay fuerzas “horizontales” sobre el paquete)

 

reemplazando

x = 0 

v = 0

 

Física 1 (Exactas) Practica 4.11 – Movimiento oscilatorio

Un péndulo simple de 10 g de masa tiene inicialmente un período de 2 s y una amplitud de 2º. Luego se lo sumerge en un medio con rozamiento y después de dos oscilaciones completas la amplitud se reduce a 1,5º Encuentre la constante de amortiguamiento Г  

 

Ecuaciones de Newton

Radial: T – Pr = m ac

Tangencial: Fr – Pt = m a

 

Donde

T = tensión del hilo

Pr = componente radial de P = P cos θ

Pt = componente tangencial de P = P sen θ

P = peso del cuerpo

θ = ángulo con la vertical

m = masa del cuerpo = 10 gr

ac = aceleración centrípeta = v^2 / L

v = velocidad = L ω

ω = velocidad angular = dθ/dt

L = longitud del hilo

Fr = fuerza de rozamiento = - Г v (se opone a v)

Г = constante de amortiguación (proporcionalidad de la velocidad)

at = aceleración tangencial = L γ

γ = aceleración angular = d²θ/dt²

 

Reemplazando

T – m g cos θ = m v^2 / L

- Г L dθ/dt - m g sen θ = m L d²θ/dt²

 

Reordenando

d²θ/dt² + Г / m dθ/dt + g/ L sen θ = 0

 

Péndulo simple  à sen θ ≈ θ

d²θ/dt² + Г / m dθ/dt + g/ L θ = 0

 

Si Г / m < g / L (amortiguación débil) la solución de la ecuación diferencial

θ = θo e^(- Г / (2m) t) cos (ωo t + φ)

 

La amplitud de oscilación varia

θ = θo e^(- Г / (2 m) t)

 

Donde

.t = tiempo transcurrido = 2 T

T = periodo = 2 s

θ = Angulo final = 1,5°

θo = Angulo inicial = 2°

m = masa = 10 gr = 0,01 kg

 

Reemplazando y despejando Г

Г = - ln (θ /θo) / (2 T) * 2 m = - ln (1,5°/2°) / (2 * 2 s) * (2 * 0,01 kg) = 1,44 kg/s

Física 1 (Exactas) Practica 4.10 – Movimiento oscilatorio

Considere que el sistema de la Figura está sumergido en un medio que le ejerce una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad del cuerpo. La constante de proporcionalidad es Г.  

 

a)       Escriba el vector fuerza de rozamiento.

 

Fr = - Г v (se opone a v)

 

Donde

Fr = fuerza de rozamiento

Г = constante de proporcionalidad de la velocidad

v = velocidad = dx/dt

 

b)      Escriba la ecuación de movimiento.

 

Ecuaciones de Newton

Según x: Fe - Fr = m a

Según y = N – P = 0

 

Donde

Fe = fuerza elástica = k (x – lo)

Fr = fuerza de rozamiento = - Г dx/dt

N = reacción del plano

P = peso = m g

m = masa

a = aceleración = d²x/dt²

 

Reemplazando

- k (x – lo) - Г dx/dt = m d²x/dt²

 

reordenando

 d²x/dt² + Г/m dx/dt + k/m (x – lo) = 0

 

 

c)       Definiendo β = Г / 2m, ω₀² = k/m, halle las soluciones x(t) de la ecuación de movimiento y verifique que son:

 

ωo = velocidad angular natural = (k / m)^(1/2)

β = parámetro de amortiguación = Г / 2m

 

Reemplazando

 d²x/dt² + 2 β dx/dt + ωo² (x – lo) = 0

 

Esta ecuación diferencial tiene como solución

x(t) = e^(- β t) [ A1 e^(ω t) + A2 e^(- ω t)]

 

Donde

A1 y A2 = amplitudes

ω = velocidad angular amortiguada = (ω^2 - β^2)^(1/2)

 

 

i)      Si β² > ω₀²

 

x(t) = e^(- β t) [ A1 e^(ω t) + A2 e^(- ω t)]

 

Si β² >  ωo²  à sobre amortiguado (no hay oscilación)     

 

ii)    β² = ω₀²

 

x(t) = e^(- β t) [ A1 e^(ω t) + A2 e^(- ω t)]

 

Si β² = ωo²     à ω = 0  à amortiguación critica

 

x(t) = e^(- β t) [ A1 + A2 t]

 

 

 

iii)   β² < ω₀²

 

x(t) = e^(- β t) [ A1 e^(ω t) + A2 e^(- ω t)]

 

Si β² <  ωo²     à subamoriguado (oscilación con amplitud decreciente)

 

x(t) = A e^(- β t) cos (ω t + φ)

 

 

 

d)             Grafique x en función de t para los tres casos en c) y analice.