Física 1 (Exactas) Practica 4.2 – Movimiento oscilatorio

El sistema de la Figura, compuesto por dos cuerpos de masas m₁ y m₂ y un resorte de constante elástica k y longitud natural l₀, se encuentra inicialmente en equilibrio. Se lo pone en movimiento imprimiendo a la masa m₁ una velocidad v₀ hacia abajo (no hay rozamiento).

 

 

a)  Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo para m₁ y para m₂.

 

 

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo 2 Según x:  T2 - Fe = 0

Cuerpo 2 Según y:  N – P2 = 0

Polea: - T2 + T1 = 0 (polea ideal)

Cuerpo 2 Según x:  P1 – T1 = 0

 

donde

T1, T2 = tensión en la soga

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (la - lo) en tracción

la = longitud estirado

lo = longitud natural

N = normal = fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo 1

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

 

De la ecuación de la polea

T1 = T2 = T

 

Reemplazando y sumando ambas ecuaciones

m1 g – k (la – lo) = 0

 

Despejando la

la = m1 g / k + lo

 

Ecuaciones de Newton (sistema en movimiento)

Cuerpo 2 Según x:  T - Fe = m2 a2

Cuerpo 1 Según x:  P1 - T = m1 a1

 

donde

T = tensión en la soga

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (l - lo) en tracción

l = longitud estirado

lo = longitud natural

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a1 = aceleración del cuerpo 1

a2 = aceleración del cuerpo 2 = a1 = a (soga ideal)

 

Reemplazando y sumando ambas ecuaciones

m1 g – k (l – lo) = (m1 + m2) a

 

Con l – lo

l – lo = x + la – lo = x + m1 g / k + lo – lo = x + m1 g / k

 

Reemplazando

.m1 g – k (x + m1 g / k) = (m1 + m2) a

 – k x = (m1 + m2) d²x/dt²

 

Reordenando

d²x/dt² + k / (m1 + m2) x = 0

 

 

 

b)  Diga cómo varía la posición de m₂ con el tiempo.

 

Solución general

x(t) = A cos (ω t + φ)  

v(t) = dx(t)/dt = - A ω sen (ω t + φ)

 

Donde

A = amplitud  

ω = (k / (m1 + m2))^(1/2)

φ = ángulo de fase

 

para t = 0 à x(0) = la y v(0) = vo

x(0) = A cos (φ)  =  la

v(0) = - A ω sen (φ) = vo

 

cociente de ambas ecuaciones

tan (φ) = (- vo / ω) / la

 

Reemplazando

 tan (φ) = - vo (m1 + m2) / k)^(1/2) / (m1 g / k + lo)

φ = arco tan [ - vo (m1 + m2) / k)^(1/2) / (m1 g / k + lo)]

 

 

Elevando las ecuaciones al cuadrado y sumando

A^2 = (la)^2 + (- vo / ω)^2

 

Reemplazando

A = raíz cuadrada [(m1 g / k + lo)^2 + (- vo (m1 + m2) / k)^(1/2))^2]

 

 x(t) = A cos (ω t + φ)  

 

 

Física 1 Practica 4 Indice

Física 1 - Exactas

Practica 4. Movimiento oscilatorio

1. https://noemifisica.blogspot.com/2026/05/fisica-1-exactas-practica-41-movimiento.html

2. https://noemifisica.blogspot.com/2026/05/fisica-1-exactas-practica-42-movimiento.html

3. 

4. 

Indice

https://noemifisica.blogspot.com/2026/03/fisica-1-exactas-indice.html

Física 1 (Exactas) Practica 4.1 – Movimiento oscilatorio

Considere una partícula de masa m suspendida del techo por medio de un resorte de constante elástica k y longitud natural l₀. Determine cómo varía la posición con el tiempo sabiendo que en t = 0 la partícula se halla a una distancia 2 l₀ del techo, con velocidad nula. 

 

 

DCL

 

Resorte en equilibrio (con m)

 

P - Fe = 0

 

Donde

Fe = fuerza elástica = k (xe - Lo)

k = constante del resorte

xe = longitud de equilibrio

Lo = longitud natural 

P = peso = m g

 

Reemplazando

m g - k (xe - Lo) = 0

 

Despejando  xe

 xe  = m g  / k + Lo

 

 

Resorte fuera del equilibrio

 

m g - Fe  = m a

 

Donde

Fe = fuerza elástica = k (x – Lo)

x = desplazamiento del resorte

a = aceleración = d²x(t)/dt²

reemplazando

m g - k (x - Lo)  = m  d²x(t)/dt²

reordenando 

d²x(t)/dt²  + k / m  x  = g +  k/ m Lo

Solución general

x(t) = xe + A cos (ω t + φ)  

v(t) = dx(t)/dt = - A ω sen (ω t + φ)

 

Donde

A = amplitud  

ω = (k / m)^(1/2)

φ = ángulo de fase

 

Reemplazando en las ecuaciones para t = 0; x(0) = 2 lo y vo = 0

x(0) = m g  / k + Lo  + A cos (φ) = 2 Lo   

v(0) = A ω sen (φ) = 0

 

De la ecuacion de la velocidad

sen φ = 0  à φ = 0

 

Reemplazando en la ecuación x(0)

x(0) = m g / k + Lo + A cos (0) = 2 Lo   à A = Lo – m / k g 

 

Reemplazando en la fórmula de la posición

x(t) = (Lo – m / k g) cos ((k / m)^(1/2) t)  + (m g  / k + Lo ) 

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 3.8 – Interacción de rozamiento

Considere dos partículas de masas m1 y m2 y dos poleas de masa despreciable dispuestas como en la Figura. La partícula m1 está sobre un plano (fijo al piso) inclinado un ángulo a siendo respectivamente µe y µd los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre la partícula m1 y el plano. Los hilos (1) y (2) son inextensibles y de masa despreciable y el hilo (2) está atado al piso en el punto P.

  

 

 

a.     Dibuje m1, m2 y las poleas por separado e indique las fuerzas que actúan sobre cada uno. Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo. 

 

 

Ecuaciones de Newton

Cuerpo 1. Según x: T1 - Froz1 – P1x = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N1 - P1y = 0

Polea 1: - T1 + T1 = 0

Polea 2: T2 + T2 – T1 = 0

Cuerpo 2. Según x = - T2 + P2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión de la soga 1

Froz1 = fuerza de rozamiento dinámico = μd N1

 μd = coeficiente de rozamiento dinámico

N1 = reacción del plano al cuerpo 1

P1x = componente según x de P1 = P1 sen α

P1y = componente según y de P1 = P1 cos α

P1 = peso de la partícula 1 = m1 g

m1 = masa de la partícula 1

a1 = aceleración de la partícula 1

T2 = tensión de la soga 2

P2 = peso de la partícula 2 = m2 g

m2 = masa de la partícula 2

a2 = aceleración de la partícula 2 

 

 

 

AB + BO = longitud de la soga 1

A´B + BO´ = longitud de la soga 1

 

Restando ambas ecuaciones

AB – A´B + BO – BO´ = 0

(A – A´) + (O – O´) = D – D = 0

Con D distancia recorrida entre A y A´

 

PO + OC = longitud de la soga 2

PO´ + O´C´ = longitud de la soga 2

 

Restando ambas ecuaciones

PO – PO´ + OC – O´C´ = 0

(O – O´) + (OC - O´C´) = D - 2 d = 0

d = OC – OC´

 

D = 2 d

 

b.     Halle la aceleración de m1 en función de la aceleración de m2.

 

D = 2 d à a1 = 2 a2

 

 

c.      Si el sistema se halla en reposo encuentre dentro de qué rango de valores debe estar m2.

 

Cuerpo 1. Según x: T1 - Froz1 – P1x = 0 (sistema en reposo)

Cuerpo 1. Según y: N1 - P1y = 0

Polea 1: - T1 + T1 = 0

Polea 2: T2 + T2 – T1 = 0

Cuerpo 2. Según x = - T2 + P2 = 0 (sistema en reposo)

 

Donde

T1 = tensión de la soga 1

Froz1 max = fuerza de rozamiento estático máximo = μe N1

μe = coeficiente de rozamiento estático

N1 = reacción del plano al cuerpo 1

Froz1 min = 0

P1x = componente según x de P1 = P1 sen α

P1y = componente según y de P1 = P1 cos α

T2 = tensión de la soga 2

P2 = peso de la partícula 2 = m2 g

 

Despejando T2 de la polea 2

2 T2 = T1

 

Despejando T1 y T2

T1 = m1 g sen α + Froze

T2 = m2 g

 

Igualando 2 T2 = T1

2 m2 g = m1 g sen α + Froze

 

Despejando

m2 = (m1 sen α + Froze) / 2

 

m2 minima: Froze = 0 à m2 = m1 sen α  / 2

m2 máxima: Froz = μe m1 cos α à m2 = (m1 sen α + μe m1 cos α) / 2

 

 m1 sen α / 2 <  m2 < m1 (sen α + μe cos α) / 2

 

  

d.     Si m2 desciende con aceleración constante a:

 

i)                Calcule m2. Diga justificando su respuesta si la aceleración a puede ser tal que a > g.

 

Cuerpo 1. Según x: T1 -  m1 g sen α - μd m1 g  cos α =  m1 a1

Cuerpo 2. Según x = - T2 + m2 g = m2 a2

Despejando T2 de la polea 2

2 T2 = T1

 

Despejando T1 y T2

T1 = m1 g sen α + μd m1 g  cos α + m1 a1

T2 = m2 g – m2 a2

 

 a2 = a à a1 = 2 a

 

Igualando

2 (m2 g – m2 a) = m1 g sen α + μd m1 g  cos α + m1 2 a

 

Despejando m2

m2 = m1 (g sen α + μd g cos α + 2 a) / ((2 g – 2 a)

 

.m2 > 0  à 2 g – 2 a > 0 à g > a

 

 

ii)              Exprese la posición de la polea O en función del tiempo y de datos si en el instante inicial estaba a distancia h del piso con velocidad nula. ¿La polea se acerca o se aleja del piso?

  

xO = xoO + voO t – 1 /2 aO t^2

 

Donde

xO = altura de la polea en el instante t

xoO = altura inicial de la polea = h

voO  = velocidad inicial de la polea = 0

aO = aceleración de la polea = aceleración de la masa m1 = 2 a

 

Reemplazando

xO = h – 1 /2 (2 a) t^2 = h – a t^2

 

La polea baja