Un juego de un parque de diversiones consiste en un
carrito de masa m1 que se desplaza sobre un riel semicircular de radio R
carente de rozamiento. El carrito es arrastrado mediante una soga que se
desliza a lo largo del riel que está enganchada a un sistema de poleas del cual
cuelga un contrapeso de masa m2. Este contrapeso se mueve sobre un plano
inclinado que forma un ángulo a con la horizontal. Considere que las sogas son inextensibles y sin
masa, y que las sogas tienen masas despreciables.
Escriba las ecuaciones de Newton y de vínculo para
ambas masas.
Cuerpo 1.
Según r: N1 – P1r = m1 ac
Cuerpo 1.
Según y: T1 – P1t = m1 at
Polea 1: -
T1 + T1 = 0 (polea ideal)
Polea 2: -
T1 – T1 + T2 = 0 (polea ideal)
Cuerpo 2. Según
x: - T2 + P2x = m2 a2
Cuerpo 2.
Según y: N2 – P2y = 0
Donde
N1 =
reacción del plano al carrito 1
P1r =
componente radial de P1 = P1 cos φ
P1t =
componente tangencial de P1 = P1 sen φ
φ = ángulo con la vertical
P1 = peso
del carrito = m1 g
m1 = masa
del carrito
ac =
aceleración centrípeta
T1 =
tensión de la soga
at = aceleración
tangencial
T2 =
tensión de la soga
P2x =
componente según x de P2 = P2 sen α
P2y =
componente según y de P2 = P2 cos α
P2 = peso
del cuerpo = m2 g
m2 = masa
del cuerpo
N2 =
reacción del plano al cuerpo 2
AB + BD +
DC = longitud de la soga
A´B + BD´ +
D´C = longitud de la soga
Restando
ambas ecuaciones
A´B – AB +
BD´ - BD + D´C – DC = 0
d – x – x
= 0 à d = 2 x
Donde
d =
espacio recorrido por el carrito = A´B – AB = R j
x =
espacio recorrido por la polea 2 (contrapeso) = - (BD´ - BD) = - (D´C – DC)
R = radio del riel
Reemplazando
R j = 2 x
a)
Diga para qué valor de j el carro podrá permanecer en reposo.
Reemplazando
en la ecuación tangencial del carrito y según x del contrapeso
T1 – m1 g sen
φ = 0 (en reposo)
m2
g sen α - T2 = 0 (en reposo)
Despejando
T1 y T2
T1 = m1 g
sen φ
T2 = m2 g
sen α
De la polea
P2
2 T1 = T2
Reemplazando
2 m1 g sen φ = m2 g sen α
Despejando sen φ
sen φ
= m2 sen α
/ (2 m1)
b)
Encuentre la velocidad del carro como función de j.
Reemplazando
en la ecuación tangencial del carrito y según x del contrapeso
T1 – m1 g sen φ = m1 at
m2
g sen α - T2 = m2 a2
Despejando
T1 y T2
T1 = m1 g sen φ + m1 at
T2 = m2 g sen α –
m2 a2
Ecuaciones
horarias de los desplazamientos.
d = 1 / 2 at t^2
x = 1 /2 a2 t^2
Reemplazando
d = 2 x
1 /2 at t^2 = 2 ( 1/2 a2 t^2) à a2 = at / 2
De la polea
P2
2 T1 = T2
2 (m1 g sen φ +
m1 at) = m2 g sen α
– m2 at / 2
Despejando at
at = (- 2 m1 g sen φ +
m2 g sen α)
/ (2 m1 + m2 / 2)
at = dv/dt = dω/dt R = R dω/dφ dφ/dt = R ω dω/dφ
Reemplazando
R ω
dω/dφ
= - 2 m1 g sen φ
/ (2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α / (2 m1 + m2 / 2)
reordenando
R ω dω = [- 2 m1 g sen φ /
(2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α / (2 m1 + m2 / 2)] dφ
1 /2 R ω^2 = 2 m1 g cos φ /
(2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α / (2 m1 + m2 / 2) φ
Integrando y multiplicando por R
R^2 ω^2 = 2 R [ 2 m1 g cos φ /
(2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α / (2 m1 + m2 / 2) φ ]
v^2 = 2 R [ 2 m1 g cos φ
/ (2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α
/ (2 m1 + m2 / 2) φ
] + C
c)
Resuelva numéricamente la ecuación de movimiento y
encuentre el tiempo que tarda el carrito en subir hasta j = p/2, suponiendo que sen a = 1/2, m1 = m2, j (0) = 0 y parte del reposo.
Para sen a = 1/2, m1 = m2
= m, j (0) = 0 y parte del reposo (vo = 0)
Reemplazando
vo^2 = 2 R [ 2 m g cos 0 / (2 m + m / 2) + m g
(1/2) / (2 m + m / 2) 0 ] + C = 0
vo^2 = 4 R 2/5 g + C =
0 à C = - 8/5 R g
Reemplazando
y reordenando
v^2 = 8/5
R g (cos φ + 4 φ - 1)
v = R ω = R dφ/dt =
raíz cuadrada [8/5 R g (cos φ + 4 φ - 1)]
Reordenando
dφ / (raíz
cuadrada [8/5 R g (cos φ + 4 φ - 1)] = R
dt
