Física 1 (Exactas) Práctica 12.3 - Dinámica del cuerpo rígido

En la Figura se muestran dos cilindros homogéneos de radio R y masa M. El cilindro de arriba, sostenido por un eje horizontal a través de su centro, rota libremente. Se enrosca una cuerda y se deja caer el cilindro inferior. La cuerda no desliza respecto de los cilindros.

a.     ¿Cuál es la aceleración del centro de masa del cilindro inferior?

 

Cilindro superior (solo ROTACION)

 

τ1 = T R = I1 α1

 

Donde

τ1 = Torque respecto del eje de rotación

T = tensión de la cuerda

R = radio del cilindro

I1 = momento de inercia del cilindro 1 = 1 /2 M R^2

M = masa del cilindro

α1 = aceleración angular del cilindro 1

 

Despejando α1

α1 = T R / (1 /2 M R^2) = 2 T / (M R)

 

 

Circulo inferior (ROTACION y TRASLACION)

 

P2 – T = M a

τ2 = T R = I2 α2

 

Donde

P2 = peso del cilindro 2 = M g

a = aceleracion 

τ2 = Torque respecto del eje de rotación

I2 = momento de inercia del cilindro 2 = 1 /2 M R^2

α2 = aceleración angular del cilindro 2

 

Despejando α2

α2 = T R / (1 /2 M R^2) = 2 T / (M R)

 

 

Condicción dinámica

 

y = R θ1 + R θ2

 

Donde

y = distancia recorrida por el cilindro2

R θ1 = cuerda desenrollada del cilindro 1

θ1 = ángulo girado por el cilindro 1

R θ2 = cuerda desenrollada del cilindro 2

θ2 = ángulo girado por el cilindro 2

 

Derivando dos veces

d²y / dt² = R d²θ1 / dt² + R d²θ2 / dt²

 

con

d²y / dt² = a

d² θ1 / dt² = α1

d² θ2 / dt² = α2

 

Reemplazando

a = R α1 + R α2

 

Reemplazando (α1 y α2)

a = R 2 T / (M R) + R 2 T / (M R) = 4 T / M 

 

Despejando T

T = M a / 4

 

Reemplazando T

M g – M a / 4 = M a

 

Despejando a

a = 4/5 g

 

 

b.  Calcule la tensión de la cuerda.

 

Reemplazando en T

T = M 4/5 g / 4 = 1/5 M g

 

 

c.  Calcule la velocidad del centro de masa del cilindro inferior, cuando ha caído una distancia 10 R.

 

y = yo + vo t + 1/ 2 a t^2

v = vo + a t

 

Donde

y = desplazamiento del centro de masa del cilindro 2 = 10 R

yo = desplazamiento inicial del centro de masa del cilindro 2 = 0

vo = velocidad inicial del centro de masa del cilindro 2= 0

a = aceleración = 4/5 g

v = velocidad del centro de masa del cilindro 2

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando y despejando t de la ecuación de la velocidad

t = v /a

 

Reemplazando en la ecuación del desplazamiento

y = 1 /2 a (v / a)^2 = 1 /2 v^2 / a

 

Despejando v

v = [2 y a]^(1/2) = [2 * 10 R 4/5 g]^(1/2) = [4 R g]^(1/2)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.2 - Dinámica del cuerpo rígido

Considere un yo-yo (just google it) con radio exterior R igual a 10 veces su radio interior r. El momento de inercia I₀ del yo-yo respecto de su centro de masa está dado por I₀ = MR²/2, donde M es la masa total del yo-yo. El extremo final de la cuerda se mantiene en reposo y ésta no desliza respecto del yo-yo. 

a)      Calcule la aceleración del centro de masa del yo-yo. ¿Cómo es comparada con g? 

 

 

 

Ecuación de Newton

P – T = M a

 

Donde

P = peso del yo-yo = M g

T = tensión de la cuerda

M = masa del yo-yo

a = aceleración

 

Reemplazando

M g – T = M a

 

Torque respecto del CM (centro del yo – yo)

T r = I α

 

Donde

r = radio menor

I = momento de inercia = 1 /2 M R^2

R = radio = 10 r

r = radio interior

α = aceleración angular = a / r

 

Reemplazando y despejando T

T r = 1 /2 M (10 r)^2 (a / r)

T = 1 /2 M 100 a = 50 M a

 

Reemplazando T en la ecuación de Newton

M g – 50 M a = M a

 

Despejando

a = g / (50 +1) = g / 51 < g

 

 

 

b)     Encuentre la tensión en la cuerda a medida que el yo-yo desciende. ¿Cómo es comparada con Mg?

T = 50 M a

 

Reemplazando

T = 50 M (g / 51) = 50 /51 M g < M g

 

 

Física 1 Practica 12 Indice

 Física 1 - Exactas

Práctica 12 -  Dinámica del cuerpo rígido

1. https://noemifisica.blogspot.com/2026/07/fisica-1-exactas-practica-121-dinamica.html

2. https://noemifisica.blogspot.com/2026/07/fisica-1-exactas-practica-122-dinamica.html

3. https://noemifisica.blogspot.com/2026/07/fisica-1-exactas-practica-123-dinamica.html

4. 

5. 

Indice

https://noemifisica.blogspot.com/2026/03/fisica-1-exactas-indice.html

Física 1 (Exactas) Práctica 12.1 - Dinámica del cuerpo rígido

El sistema de la Figura consiste de dos cuerpos de masas m₁ y m₂ unidos por una cuerda inextensible que pasa a través de una polea cilíndrica homogénea de masa m_p, que no posee rozamiento con su eje. Calcule la aceleración de las masas. Observe que el resultado no depende del radio de la polea. 

 

Suponiendo m2 baja

Ecuaciones de Newton

Cuerpo 1: T1 – P1 = m1 a1

Cuerpo 2: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

a1 = aceleración del cuerpo 1

T2 = tensión del cuerpo 2

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

a1 = a2 = a (soga ideal)

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 – m1 g = m1 a

m2 g – T2 = m2 a2

 

Despejando T1 y T2 de las dos ecuaciones

T1 = m1 a + m1 g

T2 = m2 g – m2 a

 

Restando ambas ecuaciones

T2 – T1 = m2 g – m2 a – (m1 a + m1 g)

 

 

Polea: Torque respecto de su eje central

T2 R – T1 R = I α

 

Donde

R = radio de la polea

I = momento de inercia = 1 /2 mp R^2

mp = masa de la polea

α = aceleración angular de la polea = a / R

 

T2 R – T1 R = 1/ 2 mp R^2 (a / R)

T2 – T1 = 1/ 2 mp a

 

Igualando

1/ 2 mp a = (m2 – m1) g – (m1 + m2) a

 

Despejando a

a = (m2 – m1) g / (m1 + m2 + 1/ 2 mp)

 

Física 1 (Exactas) Práctica 11.11 - Cinemática del cuerpo rígido

Un cilindro de radio R = 10 cm rueda sin resbalar sobre un plano horizontal. Su centro se desplaza con velocidad v_C = 10 cm/s. Para los puntos P (periférico), Q (a distancia R/2 del centro) y A (sobre una manivela de longitud 2R fija al cilindro):

 

 

a)      Hallar el vector velocidad en función del tiempo.

 

vC = ω R  (condición de rodadura)

 

Donde

vC = velocidad del CM = 10 cm/s (ǐ)

ω = velocidad angular

R = radio del cilindro = 10 cm

 

Reemplazando

ω = vC / R = 10 cm/s / 10 cm = 1 /seg

Ω = velocidad de rotación = - 1 /seg (ǩ)

P = punto periférico (R = 10 cm)

 

vP  = vCM + Ω x rPCM

 

donde

vP = velocidad en el punto P

vCM = velocidad del CM = 10 cm/s (ǐ)

Ω = velocidad de rotacion = - 1 /seg (ǩ)

rPCM = vector entre P y CM = R cos(α(t)) (ǐ) + R sen(α(t)) (ǰ)

R = distancia al CM = 10 cm

α(t) = variación del angulo respecto del tiempo t = ω t + αP

ω = velocidad angular = - 1 /seg

 

Calculando el producto vectorial

Ω x rPCM = ( ω (ǩ)) x (R cos(α(t)) (ǐ) + R sen(α(t)) (ǰ) =

                  = - ω R sen(α(t)) (ǐ) + ω R cos(α(t)) (ǰ)

                  =  - (- 1 /seg) 10 cm sen (- 1/s t + αP) (ǐ) + (- 1 /seg) 10 cm cos (- 1/s t + αP) (ǰ)

 

Reemplazando

vP  = vCM + Ω x rPCM

vP  = [10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)] (ǐ) – 10 cm/s cos (- 1/s t + αP) (ǰ) 

 

 

Q = punto interno (R/2)

 

vQ  = vCM + Ω x rQCM

 

donde

vQ = velocidad en el punto Q

vCM = velocidad del CM = 10 cm/s (ǐ)

Ω = velocidad de rotacion = - 1 /seg (ǩ)

rQCM = vector entre Q y CM = R/2  cos(α(t)) (ǐ) + R/2 sen(α(t)) (ǰ)

R = distancia al CM = 10 cm

α(t) = variación del angulo respecto del tiempo t = ω t + αo

αo  = angulo inicial =  αQ

ω = velocidad angular = - 1 /seg

 

Calculando el producto vectorial

Ω x rQCM = ( ω (ǩ)) x (R/2 cos(α(t)) (ǐ) + R/2 sen(α(t)) (ǰ) =

                  = - ω R/2 sen(α(t)) (ǐ) + ω R/2 cos(α(t)) (ǰ)

                  =  - (- 1 /seg) 5 cm sen (- 1/s t + αQ) (ǐ) + (- 1 /seg) 5 cm cos (- 1/s t + αQ) (ǰ)

 

Reemplazando

vQ  = vCM + Ω x rQCM

vQ  = [10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)] (ǐ) – 5 cm/s cos (- 1/s t + αQ) (ǰ) 

 

 

A = punto externo (2 R)

 

vA  = vCM + Ω x rACM

 

donde

vA = velocidad en el punto A

vCM = velocidad del CM = 10 cm/s (ǐ)

Ω = velocidad de rotacion = - 1 /seg (ǩ)

rACM = vector entre A y CM = 2 R cos(α(t)) (ǐ) +2 R sen(α(t)) (ǰ)

R = distancia al CM = 10 cm

α(t) = variación del angulo respecto del tiempo t = ω t + αo

αo  = angulo inicial =  αA

ω = velocidad angular = - 1 /seg

 

Calculando el producto vectorial

Ω x rACM = (ω (ǩ)) x (2 R cos(α(t)) (ǐ) + 2 R sen(α(t)) (ǰ) =

                  = - ω 2 R sen(α(t)) (ǐ) + ω 2 R cos(α(t)) (ǰ)

                  =  - (- 1 /seg) 20 cm sen (- 1/s t + αA) (ǐ) + (- 1 /seg) 20 cm cos (- 1/s t + αA) (ǰ)

 

Reemplazando

vA  = vCM + Ω x rPCM

 vA  = [10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)] (ǐ) – 20 cm/s cos (- 1/s t + αA) (ǰ) 

 

 

 

b)     Dibujar la hodógrafa correspondiente (es decir, v_y(v_x)). 

 

Punto P

vP  = [10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)] (ǐ) – 10 cm/s cos (- 1/s t + αP) (ǰ) 

 

segun x: vxP =  [10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)] à vxP – 10 cm/s = 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)

segun y: vyP =  - 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)

 

Elevando al cuadrado y sumando

(vxP – 10 cm/s)^2 + vyP^2 = (10 cm/s)^2

  

Punto Q

vQ  = [10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)] (ǐ) – 5 cm/s cos (- 1/s t + αQ) (ǰ) 

 

segun x: vxQ =  [10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)] à vxQ – 10 cm/s = 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)

segun y: vyQ =  - 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)

 

Elevando al cuadrado y sumando

(vxQ – 10 cm/s)^2 + vyQ^2 = (5 cm/s)^2

 

 

Punto A

vA  = [10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)] (ǐ) – 20 cm/s cos (- 1/s t + αA) (ǰ) 

 

segun x: vxA =  [10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)] à vxA – 10 cm/s = 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)

segun y: vyA =  - 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)

 

Elevando al cuadrado y sumando

(vxA – 10 cm/s)^2 + vyA^2 = (20 cm/s)^2

 

 

c)      Graficar el módulo de la velocidad en función del tiempo.

(vxP – 10 cm/s)^2 + vyP^2 = (10 cm/s)^2

(vxQ – 10 cm/s)^2 + vyQ^2 = (5 cm/s)^2

(vxA – 10 cm/s)^2 + vyA^2 = (20 cm/s)^2

 

 

d)     Graficar las componentes v_x(t) y v_y(t).

vxP = 10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)

vxQ = 10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)

vxA = 10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)

 

vyP =  - 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)

vyQ =  - 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)

vyA =  - 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)