Física 1 (Exactas) Practica 4.4 – Movimiento oscilatorio

Una bolita de masa m se halla sobre un plano inclinado sostenida por dos resortes, de constantes elásticas k₁ y k₂, y longitudes libres l₀₁ y l₀₂, respectivamente, los cuales se encuentran fijos a dos paredes separadas una distancia L.

 

 

  

 

a)  Plantee la ecuación de Newton para la bolita y encuentre la ecuación de movimiento.

 

 

Según x: Fe1 - Fe2 -  Px = m a

Según y:  N – Py = 0

 

Donde

Fe1 = fuerza elástica del resorte 1 = k1 (L - x – lo1)

Fe2 = fuerza elástica del resorte 2 = k2 (x – lo2)

k1 = constante del resorte 1

k2 = constante del resorte 2

x = posición de la bolita

L = distancia entre las paredes

lo1 = longitud natural del resorte 1

lo2 = longitud natural del resorte 2

Px = componente según x del P = P sen α

Py = componente según y del P = P cos α

P = peso de la bolita = m g

N = reacción del plano

 

Reemplazando en la ecuación según x

k1 (L - x – lo1) -  k2 (x – lo2) – m g sen α = m d²x/dt²

 

Reordenando

m d²x/dt² + (k1 + k2) x + (m g sen α – k1 (L - lo1) - k2 lo2) = 0

 

 

 

b)  Halle la posición de equilibrio y determine si es estable o inestable.

 

Ecuación de Newton

k1 (L - xeq – lo1) – k2 (xeq – lo2) – m g sen α = 0 (posición de equilibrio)

 

Despejando x

xeq = (k1 (L – lo1) + k2 lo2 - m g sen α) / (k1 + k2)

 

Análisis de estabilidad – pequeñas perturbaciones

 

x = xeq + ε

 

Donde

x = desplazamiento

xeq = posición de equilibrio

ε = pequeño desplazamiento

 

Reescribiendo la ecuación de movimiento

FN(x) = m d²x/dt²  

 

Donde

FN(x) = fuerza neta actuante = - (k1 + k2) x - (m g sen α – k1 (L - lo1) - k2 lo2)

 

La serie de Taylor de FN en el entorno de xeq

FN((xeq + ε) ≈ FN(eq) + dFN / dε (eq) ε

con FN(xeq) = 0  (definición de equilibrio)

 

FN(xeq + ε) ≈ - (k1 + k2) ε

 

Reemplazando en la ecuación de movimiento

m d²ε/dt² + (k1 + k2) ε = 0

 

La solución de esta ecuación diferencial es un seno ó un coseno à el equilibrio es estable

 

c)  Si partiendo de la posición de equilibrio el sistema se pone en movimiento imprimiéndole a la bolita una velocidad v₀ hacia arriba, encuentre la posición de la bolita como función del tiempo.

 

 

Cambio de variables en la ecuación diferencial

u = x – xeq (desplazamiento respecto del equilibrio)

 

Ecuación de movimiento

.du²/dt² + (k1 + k2) / m u = 0

 

Solución

u = A cos (ω t + φ)

 

Donde

A = amplitud

ω = ((k1 – k2) / m)^(1/2)

φ = ángulo de fase

 

Reemplazando

x = A cos (ω t + φ) + xeq

dx/dt = v = - A ω sen (ω t + φ)

 

Para t = 0 à x = xeq y  v = vo

x(0) = A cos ( φ) + xeq = xeq  à  φ = π/2

v = - A ω sen (π/2)  = vo à A = vo / ω

 

Reemplazando en la ecuación de movimiento

x(t) = vo / ω cos (ω t + π/2) + [k1 (L – lo1) + k2 lo2 - m g sen α] / (k1 + k2)

 

  

 

Física 1 (Exactas) Practica 4.3 – Movimiento oscilatorio

Sean dos resortes de constantes elásticas k₁ y k₂, y un cuerpo de masa m, que desliza sin rozamiento, conectados como se muestra en las siguientes Figuras,

 

 

 

i) Demostrar que la frecuencia de oscilación de m vale, en el caso a)

                                                                                 

 

y en los casos b) y c):

 

 

f = ω / (2 π)

 

Donde

f = frecuencia

ω = velocidad angular = (k / m)^(1/2)

k = constante del resorte

m = masa

 

reemplazando

f = 1 / (2 π) (k / m)^(1/2)

 

F = - k x (Ley de Hooke)

 

Donde

F = fuerza elástica

k = constante del resorte

x = variación de la longitud

 Caso a

 

Resorte 1: F1 = k1 x1

Resorte 2: F2 = k2 x2

Fuerza equivalente: F = k x

 

 F = F1 + F2 à x = x1 + x2

 

Reemplazando

 F / k = F / k1 + F / k2 

 

Despejando k

k = k1 k2/ (k1 + k2)

 

Reemplazando en f

f = 1 / (2 π) (k1 k2/ (k1 + k2) / m)^(1/2)

 

 Caso b

 

 

 

Resorte 1: F1 = k1 x

Resorte 2: F2 = k2 x

Fuerza equivalente: F = k x

 

F = F1 + F2

 

Reemplazando

k x = k1 x + k2 x  à k = k1 + k2

 

Reemplazando en f

f = 1 / (2 π) ((k1 + k2) / m)^(1/2)

 

 

Caso c

 

 

Resorte 1: F1 = k1 (x – lo1)

Resorte 2: F2 = k2 (x – lo2)

Fuerza equivalente: F = k x

 

F = F1 + F2

 

Reemplazando

k x = k1 x + k2 x à k = k1 + k2

 

Reemplazando en f

f = 1 / (2 π) ((k1 + k2) / m)^(1/2)

 

 

 

ii) Encuentre las posiciones de equilibrio sabiendo que los resortes tienen longitudes naturales l₀₁ y l_02.

 

 

Caso a

Posición de equilibrio à F = 0 

 

F = F1 + F2 = 0  à x = 0

leq - lo1 - lo2 = 0

leq = posicion de equilibrio

despejando

leq = lo1 + lo2

 

 

Caso b

 

Posición de equilibrio à F1 = F2

 

k1 (leq1 – lo1) = k2 (leq2 – lo2)

k1 leq1 – k2 leq2 = k1 lo1 – k2 lo2

 

con d = lo1 + lo2

 

Resolviendo el sistema de ecuación cos dos incógnitas

leq1 = [(k1 lo1 + k2 (d – lo2)] / (k1 + k2)

leq2 = [(k2 lo2 + k1 (d – lo1)] / (k1 + k2)

 

 

Caso c

 

Posición de equilibrio à F = F1 = F2 =  0 

 

leq = lo1 = lo2

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 4.2 – Movimiento oscilatorio

El sistema de la Figura, compuesto por dos cuerpos de masas m₁ y m₂ y un resorte de constante elástica k y longitud natural l₀, se encuentra inicialmente en equilibrio. Se lo pone en movimiento imprimiendo a la masa m₁ una velocidad v₀ hacia abajo (no hay rozamiento).

 

 

a)  Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo para m₁ y para m₂.

 

 

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo 2 Según x:  T2 - Fe = 0

Cuerpo 2 Según y:  N – P2 = 0

Polea: - T2 + T1 = 0 (polea ideal)

Cuerpo 2 Según x:  P1 – T1 = 0

 

donde

T1, T2 = tensión en la soga

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (la - lo) en tracción

la = longitud estirado

lo = longitud natural

N = normal = fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo 1

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

 

De la ecuación de la polea

T1 = T2 = T

 

Reemplazando y sumando ambas ecuaciones

m1 g – k (la – lo) = 0

 

Despejando la

la = m1 g / k + lo

 

Ecuaciones de Newton (sistema en movimiento)

Cuerpo 2 Según x:  T - Fe = m2 a2

Cuerpo 1 Según x:  P1 - T = m1 a1

 

donde

T = tensión en la soga

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (l - lo) en tracción

l = longitud estirado

lo = longitud natural

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a1 = aceleración del cuerpo 1

a2 = aceleración del cuerpo 2 = a1 = a (soga ideal)

 

Reemplazando y sumando ambas ecuaciones

m1 g – k (l – lo) = (m1 + m2) a

 

Con l – lo

l – lo = x + la – lo = x + m1 g / k + lo – lo = x + m1 g / k

 

Reemplazando

.m1 g – k (x + m1 g / k) = (m1 + m2) a

 – k x = (m1 + m2) d²x/dt²

 

Reordenando

d²x/dt² + k / (m1 + m2) x = 0

 

 

 

b)  Diga cómo varía la posición de m₂ con el tiempo.

 

Solución general

x(t) = A cos (ω t + φ)  

v(t) = dx(t)/dt = - A ω sen (ω t + φ)

 

Donde

A = amplitud  

ω = (k / (m1 + m2))^(1/2)

φ = ángulo de fase

 

para t = 0 à x(0) = la y v(0) = vo

x(0) = A cos (φ)  =  la

v(0) = - A ω sen (φ) = vo

 

cociente de ambas ecuaciones

tan (φ) = (- vo / ω) / la

 

Reemplazando

 tan (φ) = - vo (m1 + m2) / k)^(1/2) / (m1 g / k + lo)

φ = arco tan [ - vo (m1 + m2) / k)^(1/2) / (m1 g / k + lo)]

 

 

Elevando las ecuaciones al cuadrado y sumando

A^2 = (la)^2 + (- vo / ω)^2

 

Reemplazando

A = raíz cuadrada [(m1 g / k + lo)^2 + (- vo (m1 + m2) / k)^(1/2))^2]

 

 x(t) = A cos (ω t + φ)