En la Figura se muestra un sistema compuesto por un resorte de constante elástica k, longitud libre lo y masa despreciable y dos partículas de masas m1 y m2. El sistema está apoyado sobre una mesa libre de rozamiento. Inicialmente el sistema está en reposo y la distancia d entre las partículas es tal que d = l0. En cierto instante to se le imprime a m1 una velocidad v1 como la de la Figura y simultáneamente se le imprime a m2 una velocidad v2 tal que el centro de masa del sistema tiene velocidad nula en ese instante.
a. Halle
el vector velocidad v2
y la m1
distancia que hay inicialmente (antes de t0)
entre m2
y el centro de masa del sistema.
Velocidad del centro de masa
donde
.CM =
velocidad del centro de masa = 0
m1, m2 =
masa de las partículas
v1 =
velocidad de la particula 1 (ǐ)
v2 =
velocidad de la particula 2
reemplazando
y despejando v2
v2 = - m1/m2 v1 (ǐ)
Centro de masa
masa 1 (0 ; lo)
masa 2 (0 ;
0)
xCM = 0
yCM = (m1
lo + m2 0) / (m1 + m2) = m1 lo / (m1 + m2)
d2 = distancia entre el centro de masa y m2 = m1 lo / (m1 + m2) – 0 = m1 lo / (m1 + m2)
b. Diga
justificando su respuesta si para todo instante posterior a to
se conserva o no, para este sistema, el momento lineal p, el momento angular respecto
del centro de masa LCM y la energía mecánica total Em.
Momento lineal (p)
No hay
fuerzas externas al sistema à p se conserva
Momento angular (LCM)
La línea de
acción de la fuerza elástica pasa por el
CM à Torque = 0 à LCM se conserva
Energia mecánica (Em)
No hay fuerzas no
conservativas en el sistema à Energia mecánica se conserva
c.
Calcular p, LCM y Em en el instante to en función de datos.
Momento lineal total (p)
donde
p = memento lineal total
M = masa total = m1 + m2
vCM = velocidad del centro de
masa = 0
Reemplazando
p = ( m1 + m2) *
0 = 0
Momento angular (respecto del centro de masa) LCM
LCM = r1 x (m1 v1) + r2 x (m2 v2)
donde
LCM = momento angular respecto
del CM
r1 = distancia de la
particula 1 al CM = (lo – d2) (ǰ) = m2
lo / (m1 + m2) (ǰ)
v1 = velocidad de la
particula 1 = v1 (ǐ)
r2 = distancia de la
particula 2 al CM = - d2 (ǰ) = - m1 lo /
(m1 + m2) (ǰ)
v2 = velocidad de la
particula 2 = - m1 / m2
v1 (ǐ)
Reemplzando
LCM = m2 lo / (m1 + m2) (ǰ) m1
v1 (ǐ) + (- m1 lo / (m1 + m2)) (ǰ) m2 (- m1/m2 v1) (ǐ) =
LCM = m1 lo v1 (-ǩ)
Energia mecánica (Em)
Em = Ec1 + Ev2 + Epe
donde
Em = energía mecánica
Ec1 = energía cinetica
particula 1 = 1 /2 m1 v1^2
Ec2 = energía cinetica
particula 2 = 1 /2 m2 v2^2
Epe = energía potencial
elástica = 1 /2 k (lo - lo)^2 = 0
Reemplazando
Em = 1 /2 m1 v1^2 + 1 /2 m2
(m1/m2 v1)^2
Em = 1 /2 m1 v1^2
(1 + m1/m2)
d.
Dibuje el sistema en un instante arbitrario t,
posterior a t0 y diga cuánto vale la velocidad del centro de masa en
ese instante. Si en t, v1′ y v2′ son las
velocidades de m1 y m2, respectivamente, escriba v2′ en función de v1′ y de datos. Si r1′ y r2′ son las
distancias desde el centro de masa hasta m1 y m2, respectivamente
en el tiempo t, escriba r2′ en función de r1′ y de datos.
Momento lineal se conserva y
vCM (to) = 0 à vCM(t) = 0
vCM(t) = (m1 v1´ + m2 v2´) / (m1 + m2) = 0
despejando v2´
v2´ = - m1 / m2 v1´
Si el centro de coordenadas =
centro de masa (CM)
CM = (m1 r1´ + m2 r2´) / (m1 + m2) = 0
despejando r2´
r2´ = m1/m2 r1´
e.
Dé una expresión para LCM (t). Halle la velocidad angular del sistema, ω, en
función de datos y de r1′.
Momento angular se conserva à LCM(to) = LCM(t)
donde
LCM(to) = momento angular en
to = - m1 lo v1 (ǩ)
LCM(t) = momento angular en t
= ICM ω
ICM = momento de inercia = m1
r1´^2 + m2 r2´^2
ω = velocidad angular
reemplazando
m1 lo v1 = (m1 r1´^2 + m2 (m1
r1´/ m2)^2) ω
despejando ω
ω = m2 lo v1 / (r1´^2 (m1 + m2))
f.
Escriba una expresión para Em(t) en función de
datos y de r1′ y dr1′/dr′. ¿Qué ecuación diferencial se obtiene para r1′?
Em
= Ec1t + Ec1r + Ec2t + Ec2r + Epe
donde
Em = energia mecanica total
Ec1t = energía cinetica de
traslación de la particula 1 = 1 /2 m1 v1´^2
v1´ = velocidad de la
particula 1 = d r1´ / dt
Ec1r = energía cinetica de
rotacion de la particula 1 = 1 /2 m1 (r1´ ω)^2
ω = velocidad angular = m2
lo v1 / (r1´^2 (m1 + m2))
Ec2t = energía cinetica de
traslación de la particula 2 = 1 /2 m2 v2´^2
v2´ = velocidad de la
particula 2 = d r2´ / dt
Ec2r = energía cinetica de
rotacion de la particula 2 = 1 /2 m2 (r2´
ω)^2
Epe = energía potencial elástica = 1 /2 k (l - lo)^2
.l = longitud del resorte
estirado
Si r2´ = m1/m2 r1´ à
derivando àd r2´ / dt = m1/m2
d r1´ / dt
l = r1´ + r2´= r1´+ m1/m2 r1´
= r1´ (1 + m1/m2)
Reemplazando y agrupando
Em
= Ect + Ecr + Epe
Ect
= 1 /2 m1 (d r1´/ dt)´^2 + 1 /2 m2 ( m1 / m2)^2 (d r1´/ dt)^2
= 1 /2 m1/m2
(m1 + m2) (d r1´/ dt)^2
Se define A = m1/m2 (m1 + m2)
Ect = A / 2 (d r1´/ dt)^2
Ecr = (1 /2 m1 r1´^2 (m2 lo v1 / (r1´^2 (m1 + m2))^2 + 1 /2 m2 (m1/m2 r1´)^2) (m2 lo v1 / (r1´^2 (m1 + m2))^2
= 1 /2 m1 m2 lo^2 v1^2 / (m1 + m2) 1 /
r1´^2
Se define B = m1 m2 lo^2 v1^2
/ (m1 + m2)
Ecr = B / 2 / r1´^2
Epe = 1 /2 k (r1´ (m1 + m2)/m2
- lo))^2
Reemplazando
Em = A/2 (d r1´/ dt)^2 + B/2 1 /
r1´^2 + 1 /2 k (r1´ (m1 + m2)/m2 - lo))^2
Derivando Em y ∆Em = 0 à dEm / dt = 0
dEm / dt = A/2
2 (d r1´/ dt) (d2 r1´/
dt2) – B/2 2 (1/r1´^3)
d r1´/dr + 1 /2 k 2 (r1´ (m1 + m2)/m2 - lo)) ( m1+m2)/m2
dr1´/ dt = 0
reordenando y simplificando d
r1´/ dt
dEm / dt = A (d2 r1´/ dt2) – B
(1/r1´^3) + 1 /2 k 2 (r1´ (m1 + m2)/m2 - lo)) ( m1+m2)/m2
= 0
Se define C = k (m1 + m2)^2/
m2^2
Se define D = k (m1 + m2)/ m2 lo
Reemplazando
dEm / dt = A (d2
r1´/ dt2) – B (1 / r1´^3) + C
r1´ - D
(d2 r1´/ dt2) – B / A (1 / r1´^3) + C / A r1´ - D
/ A = 0
