Física 1 (Exactas) Practica 2.10 – Dinámica

 Un cuerpo de masa m se halla apoyado sobre una superficie cónica sin fricción, colgando del extremo de una cuerda inextensible de longitud L. En el instante inicial el cuerpo rota con velocidad angular de módulo wo.

 

 

 

a)     Escriba las ecuaciones de Newton y las condiciones de vínculo para la partícula.

 

 

 

Ecuaciones de Newton

Según r:  Tr - Nr = m ac

Según y : Ty + Ny – P  = 0

 

donde

T = tensión de la cuerda

Tr = componente según r de la tensión = T sen α

Ty = componente según y de la tensión = T cos α

N = reacción del cono

Nr = componente según r de la reacción = N cos α

Ny = componente según y de la reacción = N sen α

α = ángulo de la soga con la vertical

ac = aceleración centrípeta = ω^2 R

ω = velocidad angular = ωo

R = radio de giro = L sen α

L = longitud de la cuerda

P = peso = m g

 

Radio de giro

 

 

 

b)    Calcule la aceleración de la partícula.

 

a = ac + ay (ecuación vectorial)

 

Donde

a = aceleración

ac = aceleración centrípeta = ω^2 R

ay = aceleración según y = 0 (cuerda inextensible)

 

Reemplazando ac

ac = ωo^2 L sen α

 

 

c)     Halle la tensión de la cuerda y la fuerza de interacción ejercida por la superficie. Diga para qué valor de wo esta última fuerza se anula.

 

Reemplazando en las ecuaciones de Newton

T sen α - N cos α = ωo^2 L sen α

T cos α + N sen α – m g = 0

 

Despejando N en cada ecuación

N cos α = T sen α - ωo^2 L sen α

N sen α = - T cos α + m g

 

Cociente entre ambas ecuaciones

tan α = (- T cos α + m g) / (T sen α - ωo^2 L sen α)

 

Reordenando y despejando T

T = (m g + ωo^2 L sen α tan α) / (sen α tan α + cos α)

 

Despejando T en cada ecuación

T sen α = N cos α + ωo^2 L sen α

T cos α = m g - N sen α

 

Cociente entre ambas ecuaciones

tan α = (N cos α + ωo^2 L sen α) / (m g - N sen α)

 

Reordenando y despejando N

N = (m g tan α - ωo^2 L sen α) / (cos α + sen α tan α)

 

N = (m g tan α - ωo^2 L sen α) / (cos α + sen α tan α) = 0

m g tan α - ωo^2 L sen α = 0

 

Despejando ωo

ωo = raíz cuadrada (m g tan α / (L sen α)) = raíz cuadrada (m g / (L cos α))

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.9 – Dinámica

Un hilo inextensible pasa a través de un tubo delgado de vidrio y dos cuerpos de masas M y m (M > m) penden de los extremos del hilo como se indica en la figura. El cuerpo m realiza una trayectoria circular alrededor del tubo, en un plano horizontal, de tal forma que M permanece en reposo. El período del movimiento es T.

 

 

a)     Diga cuál es el ángulo entre el hilo y el tubo en función de m y M.

 

 

Cuerpo m según y: Tey – Pm = 0

Cuerpo m según r: Ter = m ac

Cuerpo M según y: Te – PM = 0

 

Donde

Ty = componente según y de la tensión = Te cos θ

Tr = componente según r de la tensión = Te sen θ

Te = tensión del hilo

θ = angulo entre el hilo y el tubo (cos θ = h / L)

h = diferencia de altura = L cos θ

Pm = peso del cuerpo m = m g

PM = peso del cuerpo M = M g

ac = aceleración centrípeta = ω^2 R

ω = velocidad angular = 2π / T

T = periodo

R = radio de giro = L sen θ

 

Despejando Te de la ecuación de la masa M

Te = M g

 

Reemplazando en la ecuación según y de la masa m

M g cos θ = m g

 

Despejando cos θ

cos θ = m / M

θ = arco cos (m / M)

 

 

b)    Exprese el valor de L en función de T, m, M y g.

  

Reemplazando en la ecuación radial

M g sen θ = m (2π /T)^2 L sen θ

 

Despejando L

L = M / m  (T / (2π))^2  g

 

  

c)     Exprese T en función de g y h.

 

cos θ = m / M = h / L (ver figura)

 

Despejando L

L = h M / m

 

Igualando L

h M / m = M / m (T / (2π))^2  g

 

despejando T

T = 2π raíz (h / g)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.8 – Dinámica

Considere una partícula de masa m sujeta a una varilla rígida que le comunica un movimiento circular uniforme con velocidad angular de módulo w en un plano vertical.

 

 

a)     Escriba la ecuación de Newton para la partícula y las condiciones de vínculo.

 

 

Según r: F + Pr = m ac

Según y: Pt = 0

 

Donde

F = fuerza que ejerce la barra rigida

Pr = componente según r de P = P cos φ

Pt = componente según t de P = P sen φ

P = peso de la particula = m g

φ = angulo de la barra con la horizontal

m = masa de la particula

g = aceleración de la gravedad 

ac = aceleración centrípeta = ω^2  R

ω = velocidad angular

R = radio

 

 

b)    Calcule la fuerza ejercida por la barra en función del ángulo j.

 

Reemplazando en la ecuación radial y despejando F

F = ω^2 R - m g cos φ

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.7 – Dinámica

 Se tiene una partícula de masa m unida al extremo de una barra rígida, sin masa, de longitud L. La barra es libre de girar (en el plano vertical) alrededor de su otro extremo, fijo en un punto P.

 

 

Si se conoce la velocidad vo de la partícula cuando pasa por el punto más bajo de su trayectoria, determine:

 

a)     El ángulo θv para el cual la velocidad se anula.

 

 

Ecuaciones de Newton

Según r:  Pt   = m at

Según y: T - Pr = m ac

 

donde

T = fuerza sobre la barra

Pr = componente radial del peso = P cos θ

Pt = componente tangencial del peso = P sen θ

θ = ángulo con la vertical

P = peso = m g

m = masa

g = aceleración de la gravedad

at = aceleración tangencial

ac = aceleracción centrípeta = v^2 / L

L = longitud de la barra

 

Reemplazando en la ecuación tangencial

m g sen θ = m at

at = dv/dt = dv/dq dq/dt = dv/dq ω = dv/dq v / L

 

Reemplazando y reordenando

L g sen q dq =  v  dv

 

Integrando

g L cos q  =  1 /2  v^2 + C

 

Despejando v^2

v^2 =  2 g L cos q - 2 C

 

Condiciones iniciales ( q = 0; v = vo)

vo^2 =  2 g L cos 0 - 2 C =  2 g L – 2 C

 

Despejando C

C = - 1 /2 vo^2 + g L

 

Reemplazando en v^2

v^2 = - 2 g L cos q - 2 (- 1 /2 vo^2 + g L)

v^2 = -  2 g L cos q + vo^2 - 2 g L = 0

 

Despejando q

cos q = (1 /2 vo^2 -  g L) / g L

 qv = arco cos (1 /2 vo^2 -  g L) / g L)

 

 

b)    El ángulo θf para el cual la fuerza que hace la barra sobre m se anula. Notar que θf podría no existir.

 

Reemplazando en la ecuación radial

T – m g cos θ = m [- 2 g L cos q + vo^2 – 2 g L)] / L

 

Despejando q ( con T = 0)

- g L cos q = - 2 g L cos q + vo^2 – 2 g L

cos q =  (vo^2 - 2 g L) / (g L)

qf = arco  cos ((vo^2 - 2 g L) / (g L))

 

Para que exista qf à vo^2 / g L - 2  < 1 à  vo^2 / g L  <  3   

 

c)     ¿Bajo qué condiciones se puede reemplazar la barra por una cuerda inextensible sin modificar la cinemática de la partícula? Justifique.

 

La cuerda inextensible solo genera fuerzas de Tensión

La barra puede generar fuerzas de Tensión y Reacción, dependiendo del ángulo

 

 à  Si  | qv | < 90 ° solo hay tensión

  

d)     Analice el problema numéricamente para varias condiciones iniciales. ¿Qué tipo de movimiento observa? Generar un gráfico que muestre la dependencia del período de movimiento con su amplitud.

 

El movimiento es oscilatorio armonico