Haciendo uso de C
. (E + F) = C . E + C . F (propiedad distributiva del producto escalar
respecto de la suma) y de los resultados obtenidos en el ejercicio anterior,
demostrar que si A = ax i + ay j + az k y B
= bx i + by j + bz k entonces,
A
. B = (ax i + ay j + az k) . (bx i + by j + bz k) =
= ax i bx i + ac i by j + ax i bz k
+
+ ay j bx i
+ ay j by j + ay j bz k +
+ az k bx i
+ az k by j + az k bz k
A
. B =
ax bx + ay by + az bz
Usando la definición de producto escalar, calcular:
donde i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1).
a)
i . j
i
. j
= (1,0,0) . (0,1,0) = 1.0 + 0.1 + 0.0 = 0
b) j . j
j
. j
= (0,1,0) . (0,1,0) = 0.0 + 1.1 + 0.0 = 1
c)
i . k
i . k = (1,0,0) . (0,0,1) = 1.0 + 0.0 + 0.1 = 0
d)
k . k
k . k = (0,0,1) . (0,0,1) = 0.0 + 0.0 + 1.1 = 1
e)
j . k
j . k = (0,1,0) . (0,0,1) = 0.0 + 1.0 + 0.1 = 0
f)
j . i
j . i = (0,1,0) . (1,0,0) = 0.1 + 1.0 + 0.0 = 0
Qué propiedades tienen los vectores A y B tales que:
a) A + B = C, |A| + |B| = |C|
A y B vectores de igual dirección y sentido
b) A + B = A – B
Si A + B = A – B à | B | = 0
c) A + B = C, A^2 + B^2 = C^2
Teorema del coseno
C^2 = A^2 + B^2 – 2 |A| |B| cos θ = A^2 + B^2
θ = ángulo
comprendido entre A y B
cos θ = 0 à θ = 90°
A y B vectores perpendiculares
a) Hallar las componentes cartesianas de los siguientes vectores:
 | A = (|A| cos
30° ; |A| sen 30°) = (√3 /2 |A| ; 1/2
|A|) |
|
|
A = (|A| cos 135°
; |A| sen 135°) = (- √2 /2 |A| ; √2 /2 |A|) |
|
|
A = (|A| cos 270° ; |A| sen 270°) = (0 ; - |A|) |
|
|
A = (|A| cos 330° ; |A| sen 330°) = (√3 /2 |A| ; - 1/2
|A|) |
|
|
A = (|A| cos 180°; |A| sen 180°) = (- |A| ;0) |
|
|
A = (|A| cos 0°; |A| sen 0°) = (|A| ;0) |
b) Hallar el módulo y
dirección de los siguientes vectores y representarlos gráficamente:
|
(i) A =
(3 ; 3) | A | = raíz (3^2 + 3^2) = 4,24 .tan θ = 3 / 3 = 1 à θ = arc tan (1) = 45° |
 |
(ii) B =
(-1,25 ; -2,16) | B | = raíz ((-1,25)^2 +
(-2,16)^2) = 2,50 .tan θ = (-2,16) / (-1,25) = 1,728 à θ = arc tan (1,728) = 240° |
|
(iii) C =
(-2,5 ; 4,33) | C | = raíz ((-2,5)^2 +
(4,33)^2) = 5 .tan θ = 4,33 / (-2,5) = -1,732 à θ = arc tan (-1,732) = 120° |
|
|
(iv) D =
(5 ; 0) | D | = raíz (5^2 + 0) = 5 .tan θ = 0 / 5 = 0 à θ = arc tan (0) = 0° |
|
|
(v) E =
(0 ; 3) | E | = raíz (0 + 3^2) = 3 .x = 0; y > 0 à θ = 90° |
|
|
(vi) F =
(0 ; -7) | F | = raíz (0 + (-7)^2) = 7 .x = 0 ; y < 0 à θ = 270° |
|
Hallar el módulo del vector de origen en (20,-5,8) y extremo en (-4,-3,2).
| A | = raíz cuadrada ((x1 - xo)^2 + (y1 - yo)^2 + (z1 - zo)^2)
Donde
| A | = módulo del vector A
(xo; yo; zo) = origen
del vector = (20; – 5;8)
(x1; y1; z1) = extremo
del vector = (-4; – 3;2)
Reemplazando
| A | = raíz
cuadrada ((20 – (-4))^2 + (-5 – (-3)^2 + (8 – 2)^2) = 24,82
En el circuito esquematizado en la figura, el voltímetro V2 indica 2 V, el voltímetro V3 indica 4 V, y la resistencia R2 es 200 Ω. Considerando que los voltímetros son ideales:
a. Determinar el
valor de la resistencia R3.
V = R I (Ley de Ohm)
Donde
V = voltaje o tensión
R = resistencia
I = intensidad de corriente
Resistencia 2: V2 = R2 I2
Resistencia 3: V3 = R3 I3
Donde
V2 = tensión 2 = 2 V
R2 = resistencia 2 = 200 Ω
I2 = intensidad 2 = I
V3 = tensión 3 = 4 V
R3 = resistencia 3
I3 = intensidad 3 = I (resistencias en serie)
Reemplazando, despejando I e igualando
I = V2 / R2 = V3 / R3
Despejando
R3 = V3 R2 / V2 = 4 V 200 Ω / 2 V = 400 Ω
b. Calcular la
potencia desarrollada en R1
Pot1 = V1^2 / R1
Donde
Pot1 = potencia 1
V1 = tensión 1 = V2 + V3
R1 = resistencia 1 = 100 Ω
Reemplazando
Pot1 = (2 V + 4 V)^2 / 100 Ω = 0,36 W
