Física 1 (Exactas) Practica 4.6 – Movimiento oscilatorio

Un cuerpo suspendido de un hilo inextensible de longitud 80 cm realiza un movimiento oscilatorio en un plano siendo θ = θ(t) el ángulo entre la vertical y el hilo.

a)  Plantee las ecuaciones de Newton para el cuerpo.

 

 

Ecuaciones de Newton

Según radial: T – Pr = m ac

Según tangencial: Pt = - m at

 

Donde

T = tensión del hilo

Pr = componente radial de P = P cos θ

Pt = componente tangencial de P = P sen θ

P = peso del cuerpo

θ = ángulo con la vertical

m = masa del cuerpo

ac = aceleración centrípeta = v^2 / L = ω^2 L

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular

L = longitud del hilo = 80 cm = 0,80 m

at = aceleración tangencial = L γ

γ = aceleración angular = d²θ/dt²

 

Reemplazando

T – m g cos θ = m v^2 / L

m g sen θ = - m L d²θ/dt²

 

 

b)  ¿Bajo qué aproximación el movimiento es armónico? ¿qué período tiene?

 

Movimiento armónico à pequeñas oscilaciones à  sen θ ≈ θ

Reemplazando en a ecuación tangencial

d²θ/dt²    + g / L θ = 0

 

Solución general

 θ = Θ sen (ωo t + φ)

 

Donde

Θ = ángulo máximo

ωo = velocidad angular = (g / L)^(1/2) = 2π / T

T = periodo

φ = fase

 

Despejando el periodo

T = 2π (L/g)^2

 

 

c) ¿Si en t = 0 es θ = 0, ω = 0,2 s^-1, se satisface la aproximación de b) para todo t?

 

θ = Θ sen (ωo t + φ)

ωo = velocidad angular = (g / L)^(1/2) = 3,53 s^-1

 

Para t = 0 à θ = 0, ω = 0,2 s^-1

Θ sen ( φ) = 0 à φ = 0

 

ω = dθ/dt =  Θ ωo cos (ωo t)

Θ ωo cos (0) = ω à Θ =  ω / ωo  = 0,2 s^-1 /  3,53 s^-1 = 0,05657

 

Reemplazando en la ecuación θ

θ(t) = 0,057 sen (3,53 s^-1)^(1/2) t)   

 

θ(t) <  0,05657  y sen(0,05657) = 0,5654 à sen θ ≈ θ

 

 

d)  Usando las ecuaciones planteadas en a), halle la posición de equilibrio y diga si es estable o inestable y por qué.

 

Ecuaciones de Newton

Según radial: T – Pr = 0 (posición de equilibrio)

Según tangencial: Pt = 0 (posición de equilibrio)

 

Reemplazando

T – m g cos θ = 0

m g sen θ = 0

 

Despejando sen θ

sen θ = 0 à θ = 0 ó π

 

Para θ = 0 

T – m g cos 0 = 0 à T = m g

 

θ = 0 à posición estable

Al desplazar el péndulo de esta posición, el péndulo tiende a volver a la posición inicial

 

Para θ = π

T + m g cos 0 = 0 à T = - m g

 

 θ = π à posición inestable

Al desplazar el péndulo de esta posición, el péndulo tiende a alejarse de la posición inicial

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 4.5 – Movimiento oscilatorio

Cuatro resortes idénticos de constante elástica k desconocida y longitud natural lo se hallan sosteniendo un cuerpo formado por dos pesas de masa m cada una, como muestra la Figura

 

 

a)     Sabiendo que la posición de equilibrio del cuerpo se halla a una distancia d del techo, encuentre el valor de k. 

 

Resortes en serie

 

 

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Unión de los resortes: F1 - F2 = 0

Cuerpo: F2 - P = 0

Resorte equivalente: Feq – P = 0

 

donde

F1 = fuerza elástica resorte 1= k1 x1

k1 = constante del resorte 1 = k

x1 = variación de la longitud del resorte 1

F2 = fuerza elástica resorte 2 = k3 x2

k2 = constante del resorte 2 = k

x2 = variación de la longitud del resorte 2

P = peso del cuerpo

Feq = fuerza equivalente = keq x

keq = constante del resorte equivalente

x = variación total del resorte equivalente

 

Despejando F en las ecuaciones de Newton

F1 = F2

F2 = P

Feq = P

 

La variación total del resorte equivalente

x = x1 + x2

 

Reemplazando las x

F / keq = F1 / k1 + F2 / k2

 

Despejando keq

keq = 1 / (1 / k1 + 1 / k2) = k / 2

 

 

Resortes en paralelo

 

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo: F1 + F2 – P = 0

Resorte equivalente: Feq – P = 0

 

donde

F1 = fuerza elástica = k1 x1

k1 = constante del resorte 1 = k/2

x1 = variación de la longitud del resorte 1

F2 = fuerza elástica = k2 x2

k2 = constante del resorte 2 = k / 2

x2 = variación de la longitud del resorte 2

P = peso del cuerpo

Feq = fuerza equivalente = keq x

keq = constante del resorte equivalente

.x = variación total del resorte equivalente = x1 = x2

 

 

reemplazando F1 y F2 en la ecuación del cuerpo

k1 x + k2 x = P

keq x = P

 

keq = k1 + k2 = k / 2 + k / 2 = k

Sistema equivalente 

 

 

Ecuación de Newton (sistema en equilibrio)

Resorte equivalente: Feq – P = 0

 

donde

Feq = fuerza equivalente = keq x

.keq = constante del resorte equivalente = k

x = variación total del resorte equivalente = d – 2 lo

d = distancia al techo

lo = longitud natural de cada resorte

P = peso de ambos cuerpos = 2 m g

 

Reemplazando

k (d – 2 lo) = 2 m g

 

Despejando k

k = 2 m g / (d – 2 lo)

  

 

 

b)     Estando el sistema en su posición de equilibrio se retira una de las pesas sin perturbarlo y se lo deja en libertad.

i)                Obtenga la ecuación que rige el movimiento posterior del sistema. Calcule el período de oscilación y la nueva posición de equilibrio.

 

Ecuación de Newton (sistema en equilibrio)

Resorte equivalente: Feq – P   = 0

 

Donde

Feq = fuerza elástica equivalente = keq (xe – 2 lo)

keq = constante elástica equivalente = k

xe = longitud de equilibrio

lo = longitud natural de cada resorte

P = peso de un cuerpo = m g

 

Reemplazando

k (xe – 2 lo) = m g

 

Despejando xe

xe = m g / k + 2 lo

 

 

Ecuación de Newton

Resorte equivalente: Fe – P   = m a

 

Donde

Feq = fuerza elástica equivalente = k (x – 2 lo)

k = constante elástica equivalente

lo = longitud natural de cada resorte

P = peso de un cuerpo = m g

a = aceleración del sistema = d²x / dt²

 

Reemplazando en la ecuación de Newton

d²x / dt²   – k / m  (x – 2 lo) + g  = 0

 

Cambio de variable

.u = x – xe = x - (m g / k + 2lo)

 

Reemplazando

k x – k 2 lo – m g = k (x – 2 lo – m g / k) = k u

 d²x / dt² = d²u / dt²

 

Reemplazando en la ecuación de Newton

 d²u / dt²  + k/ m u = 0

 

La solución de esta ecuación diferencial es una función seno o coseno con ω = (k / m)^(1/2)

 

Periodo

 ω = 2π / T

 

Donde

ω = velocidad angular = (k / m)^(1/2)

T = periodo

 

Despejando T

T = 2π / ω = 2π (m/ k)^(1/2)

 

 

 

ii)              Utilizando las condiciones iniciales halle la posición del cuerpo en función del tiempo.

 

 

La solución general de esta ecuación diferencial

u = A cos (ω t + φ)

 

Donde

A = amplitud

ω = velocidad angular = (k / m)^(1/2)

φ = ángulo de fase

 

Reemplazando en x

x = A cos (ω t + φ) + xe

v = dx / dt = -  A ω sen (ω t + φ)

 

Si no se perturbo el sistema al quitar la segunda masa

Para t = 0  à x(0) = d y v(0) = 0

 

 Reemplazando

x(0) = A cos (φ) + xe = d

v(0) = -  A ω sen (φ) = 0 

 

De la ecuación de v

sen (φ) = 0 à φ = 0

 

de la ecuación de x

A cos (0) = d – xe à A = d – (m g/k + 2lo)

 

Reemplazando en x

x = (d – (m g/k + 2 lo)) cos ((k/m)^(1/2) t) + m g / k + 2 lo