Física 1 (Ing.) Práctica 1.22 - Cinemática y Dinámica

Un péndulo simple de longitud L oscila con amplitud A. Expresar, como función del

tiempo :

 

 

Ecuaciones de Newton

Según radial: T – Pr = m ac

Según tangencial: Pt = - m at

 

Donde

T = tensión del hilo

Pr = componente radial de P = P cos θ

Pt = componente tangencial de P = P sen θ

P = peso del cuerpo = m g

θ = ángulo con la vertical

m = masa del cuerpo

ac = aceleración centrípeta = v^2 / L = ω^2 L

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular

L = longitud del hilo = 80 cm = 0,80 m

at = aceleración tangencial = L γ

γ = aceleración angular = d²θ/dt²

 

Reemplazando

T – m g cos θ = m v^2 / L

m g sen θ = - m L d²θ/dt²

 

Movimiento armónico à pequeñas oscilaciones à sen θ ≈ θ

 

Reemplazando en la ecuación tangencial

d²θ/dt²   + g / L θ = 0

 

Solución general

 θ(t) = Θ cos (ωo t)

 

Donde

Θ = ángulo máximo = A / L

ωo = velocidad angular = (g / L)^(1/2)

 

 

 

(a)   su desplazamiento angular,

 

Reemplazando

 θ(t) = A / L cos ((g / L)^(1/2) t)

 

 

 

(b)  su velocidad angular,

 

derivando

Ω(t) = dθ(t) / dt = - A / L (g / L)^(1/2) sen ((g / L)^(1/2) t)

 

 

(c)   su aceleración angular,

 

derivando

α(t) = dΩ(t) / dt = - A g / L^2 cos ((g / L)^(1/2) t)

 

(d)  su velocidad tangencial,

 

v(t) = Ω(t) L

 

Reemplazando

v(t) = - A / L (g / L)^(1/2) sen ((g / L)^(1/2) t) L = - A (g / L)^(1/2) sen ((g / L)^(1/2) t)

 

 

(e)   su aceleración centrípeta y

 

ac = (v(t))^2 / L

 

reemplazando

ac = (A (g / L)^(1/2) sen ((g / L)^(1/2) t))^2 / L

ac = A^2 g / L^2 (sen ((g / L)^(1/2) t))^2   

 

 

 

(f)    la tensión de la cuerda si la masa de la lenteja es m.

 

T – m g cos θ = m v^2 / L

 

Pequeñas oscilaciones

cos θ = (1 – (sen θ)^2)^(1/2) ≈ (1 – θ^2)^(1/2) ≈ 1 - θ^2 / 2

 

T(t) = m g (1 – θ(t)^2 / 2) + m v(t)^2 / L =

       = m g [1 – 1/ 2 A^2 / L^2 (cos ((g / L)^(1/2) t))^2] + m A^2 g / L^2 (sen ((g / L)^(1/2) t))^2

 

 

 

   

Física 1 (Ing.) Práctica 1.21 - Cinemática y Dinámica

Un paracaidista se deja caer desde un helicóptero estacionario. Cae libremente (como en el vacío) durante 5 segundos. Abre entonces el paracaídas. La masa del paracaidista es de 80 kg. La resistencia que el aire opone a su caída es F = - K v. Calcular: ¿cuánto tiempo después de abrir el paracaídas se llega a una velocidad mitad de la del momento de apertura? (K = 160 kg/s; desprecie la masa del paracaídas).  

 

eje y: positivo hacia abajo

 

va = vo + g ta

 

Donde

va = velocidad en la apertura

vo = velocidad inicial = 0 (cae libremente)

g = aceleración de la gravedad 

ta = tiempo hasta la apertura = 5 seg

 

Reemplazando

va = g * 5 seg = 5 seg * g

 

Ecuación de Newton

Según y:  P - F = M a

 

Donde

F = fuerza de resistencia del aire = K v

K = resistencia el aire = 160 kg/s

v = velocidad

P = peso = M g

m = masa del paracaidista = 80 kg

a = aceleración de caída = dv / dt

t = tiempo de caída con rozamiento

 

Reemplazando

m g – K v = m dv / d t

 

Reordenando

dv / (g - (K / m) v) = dt

 

Integrando entre v(t) y vo(t=0)

(m / K) ln(g – (K / m) v) – (m / K) ln(g – (K / m) vo) = t - 0

 

Reordenando

v(t) = g (m / K) + (vo – g (m / K)) e^(- (K / m) t)

 

Para v(t) = vo /2

vo / 2 = g (m / K) + (vo – g (m / K)) e^(- (K / m) t)

 

Aplicando logaritmo y reordenando

ln [(vo / 2 - g (m / K)) / (vo – g (m / K))] = - (K / m) t

t = - (m / K) ln [(vo / 2 - g (m / K)) / (vo – g (m / K))]

 

Reemplazando

t = - (80 kg / 160 kg/s) ln [(5 s / 2 – 80 kg / 160 kg/s) / (5 s – 80 kg / 160 kg/s)]

t = 0,4055 seg

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.20 - Cinemática y Dinámica

Una curva de autopista plana (sin peralte*) y de 300 m de radio, tiene un coeficiente de fricción estático entre los neumáticos y el asfalto seco de 0,75, si el asfalto se encuentra mojado baja a 0,50, y, en el hielo, el coeficiente es de solo 0,25. 

 

a.      Determinar la máxima velocidad con que un vehículo puede pasar la curva con seguridad (sin deslizar) en:

(i)              días secos,

(ii)            días lluviosos y

(iii)          días helados. 

 

Ecuaciones de Newton

Según r:  Froz = m ac

Según y:  N – P = 0

 

donde

Froz = fuerza de rozamiento estático máximo = μe N

μe = coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el asfalto

N = reacción de la ruta

P = peso = m g

m = masa

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

v = velocidad

R = radio de la curva = 300 m

 

Reemplazando N en Froz

Froz = μe N = μe m g

 

Reemplazando en la ecuación según r

μe m g = m v^2 / R

despejando v

v = (μe g R)^1/2 

 

Reemplazando con cada μe

 

	μe	vmax (m/s)
días secos	0,75	47,43
días lluviosos	0,50	38,73
días helados	0,25	27,39

 

 

 

b.     Recalcular las velocidades halladas en a), si la autopista tiene un peralte* de 3°. Realizar un esquema del vehículo sobre la curva con peralte y hacer el DCL.

 

 

 

Ecuaciones de Newton

Según r: Nr + Froz r = m ac

Según y: Ny – P – Froz y = 0

 

donde

Froz = fuerza de rozamiento estático máximo = μe N

μe = coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el asfalto

Froz r = componente radial de la fuerza de rozamiento = Froz cos 3°

Froz y = componente vertical de la fuerza de rozamiento = Froz sen 3°

N = reacción del asfalto

Nx = componente radial de la reacción del asfalto = N sen 3°

Ny = componente vertical de la reacción del asfalto = N cos 3°

m = masa

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

v = velocidad

R = radio de la curva = 300 m

P = peso = m g

 

Reemplazando en las ecuaciones

N sen 3° + μe N cos 3° = m v^2 / R

N cos 3° – m g - μe N sen 3° = 0

Despejando N en ambas ecuaciones

N (sen 3° + μe cos 3°) = m v^2 / R

N (cos 3° - μe sen 3°) = m g

Dividiendo ambas ecuaciones

(sen 3° + μe cos 3°) / (cos 3° - μe sen 3°) = v^2 / (R g)

 

despejando v

v = [R g (sen 3° + μe cos 3°) / (cos 3° - μe sen 3°)]^(1/2)

 

 Reemplazando cada μe

 

	. μe	vmax (m/s)
días secos	0,75	50,05
días lluviosos	0,50	41,25
días helados	0,25	30,32

 

 

 

c.      Para el ángulo de peralte del punto b), calcular la rapidez mínima a la que se debe desplazar el vehículo, para que no deslice hacia abajo.

 

 

Si se desliza hacia abajo à fuerza de rozamiento estática máxima hacia arriba del plano inclinado.

 

Ecuaciones de Newton

Según r: Nr - Froz r = m ac

Según y: Ny – P + Froz y = 0

 

donde

Froz = fuerza de rozamiento estático máximo = μe N

μe = coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el asfalto

Froz r = componente radial de la fuerza de rozamiento = Froz cos 3°

Froz y = componente vertical de la fuerza de rozamiento = Froz sen 3°

N = reacción del asfalto

Nx = componente radial de la reacción del asfalto = N sen 3°

Ny = componente vertical de la reacción del asfalto = N cos 3°

m = masa

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

v = velocidad

R = radio de la curva = 300 m

P = peso = m g

 

Reemplazando en las ecuaciones

N sen 3° - μe N cos 3° = m v^2 / R

N cos 3° + m g - μe N sen 3° = 0

Despejando N en ambas ecuaciones

N (sen 3° - μe cos 3°) = m v^2 / R

N (cos 3° + μe sen 3°) = m g

Dividiendo ambas ecuaciones

(sen 3° - μe cos 3°) / (cos 3° + μe sen 3°) = v^2 / (R g)

 

Dividiendo por cos 3°

(tan 3° - μe) / (1 + μe tan 3°) = v^2 / (R g)

 

despejando v

v^2 = [R g (tan 3° - μe) / (1 + μe tan 3°)]

 

 

Reemplazando cada μe

 

	. μe	Vmin m/s
días secos	0,75	0
días lluviosos	0,50	0
días helados	0,25	0

 

  

 

*Peralte: inclinación que tienen algunas curvas que permite a los vehículos realizar giros a mayor velocidad que si la curva fuese plana, sin correr el riesgo de derrapar.