Física 1 (Exactas) Práctica 12.12 - Dinámica del cuerpo rígido

Pregunta: En los problemas 6 y 11 discuta cuál o cuáles de las siguientes alternativas son incorrectas,

      a) L_A = I_A Ω

b) L₀ = I₀ Ω

c)      LCM = ICM Ω

 

 

 

Problema 6

Una varilla homogénea de masa M y longitud L es abandonada en reposo en la posición que se observa en la Figura Sus extremos deslizan sobre una superficie cilíndrica de radio R, sin rozamiento. La varilla se mueve en un plano vertical. 

 

Los extremos de la varilla deslizan sobre el cilindro de radio R à El movimiento de la varilla es una ROTACION  alrededor del punto fijo O con velocidad angular Ω

 

a.     LA = IA Ω

 

Donde

LA = momento angular respecto de A

IA = momento de inercia respecto de A

Ω = velocidad angular respecto del punto O

 

A NO es el centro de rotación  à FALSA

 

 

b.     LO = IO Ω

 

Donde

LO = momento angular respecto de O

IO = momento de inercia respecto de O

Ω = velocidad angular respecto del punto O

 

O es el centro de rotación  à VERDADERA

 

 

c.      LCM = ICM Ω

 

Donde

LCM = momento angular respecto del centro de masa

ICM = momento de inercia respecto del centro de masa

Ω = velocidad angular respecto del punto O

 

El momento angular respecto del centro de masa (LCM) SIEMPRE es igual al momento de inercia respecto del centro de masa (ICM) por la velocidad angular respecto del eje instantáneo de rotación  (Ω)  à VERDADERA

 

 

Problema 11

Un cilindro homogéneo de radio R₁ y masa m rueda sin resbalar (hay rozamiento) dentro de una cavidad semicilíndrica de radio R₂ (ver Figura).

 

 

El cilindro RUEDA SIN RESBALAR (rodadura) à  El cilindro tiene una rotación propia  (Ω) y un movimiento orbital

 

a.     LA = IA Ω

Donde

LA = momento angular respecto de A

IA = momento de inercia respecto de A

Ω = velocidad angular respecto del centro del cilindro

 

A NO es el centro de rotación  à FALSA

 

 

b.     LO = IO Ω

Donde

LO = momento angular respecto de O

IO = momento de inercia respecto de O

Ω = velocidad angular respecto del centro del cilindro

 

O NO es el centro de rotación  à FALSA

 

 

c.       LCM = ICM Ω

Donde

LCM = momento angular respecto del centro de masa

ICM = momento de inercia respecto del centro de masa

Ω = velocidad angular respecto del centro del cilindro

 

El momento angular respecto del centro de masa (LCM) SIEMPRE es igual al momento de inercia respecto del centro de masa (ICM) por la velocidad angular respecto del eje instantáneo de rotación  (Ω)  à VERDADERA

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.11 - Dinámica del cuerpo rígido

Un cilindro homogéneo de radio R₁ y masa m rueda sin resbalar (hay rozamiento) dentro de una cavidad semicilíndrica de radio R₂ (ver Figura).

 

a)      Si θ es el ángulo de la Figura y v_CM es la velocidad del centro de masa del cilindro de radio R₁, escriba los vectores v_CM y dv_CM/dt en función de datos y de las derivadas de θ con respecto al tiempo.

 

Posición del centro de masa (rCM)

rCM = (R2 – R1) θ

 

Donde

rCM = posición del centro de masa

(R2 – R1) = radio de desplazamiento del CM

θ = angulo barrido

 

Velocidad del centro de masa (vCM)

vCM = drCM / dt = (R2 – R1) dθ / dt

 

Vector vCM

vCM = (R2 – R1) dθ / dt (ǔθ)

 

Con ǔθ = versor tangencial

 

Derivando

dvCM / dt = (R2 – R1) d(dθ / dt) / dt  (ǔθ) + ((R2 – R1) dθ / dt)  d(ǔθ) / dt (ǔr)

                  = (R2 – R1) d²θ / dt²  (ǔθ) + (R2 – R1) (dθ / dt)^2 ǔr

 

Con ǔr = versor radial

 

Nota:

θ varia con el tiempo à d(ǔθ) / dt  = dθ / dt ǔr

 

 

  

b)     Teniendo en cuenta los resultados de a) y que el cilindro rueda sin deslizar, exprese los vectores velocidad angular Ω y aceleración angular dΩ/dt de este cilindro en función de datos y de las derivadas de θ con respecto al tiempo.

 

vCM = R1 ω (condición de rodadura)

 

Con ω = velocidad angular

 

Reemplazando

ω = vCM / R1 = (R2 – R1) / R1  dθ / dt

 

Vector velocidad angular (Ω)

Ω = (R2 – R1) / R1   dθ / dt (ǐ)

 

El cilindro se mueve hacia la derecha (en la dirección de θ +)

Gira en sentido antihorario respecto a su propio eje à giro apunta saliendo del plano (x +) = (ǐ)

 

dΩ / dt = (R2 – R1) / R1   d²θ / dt² (ǐ)

 

 

 

c)      Indique en un dibujo todas las fuerzas que actúan sobre el cilindro y plantee las ecuaciones de Newton y momentos para este cilindro. Obtenga una ecuación diferencial para θ(t) y diga qué tipo de movimiento realiza el cilindro.

 

Ecuaciones de Newton

Según radial: N – Pr = m aCM

Según perpendicular: Froz – Pt = m aCM

Torque: τ = - Froz R1 = I α

 

Donde

N = reacción de la cavidad (ǔr)

P = peso = m g cos θ (ǔr) + m g sen θ (ǔθ)

Froz = fuerza de rozamiento (ǔθ)

aCM = aceleración del CM = (R2 – R1) d²θ / dt^{2 (}ǔθ) + (R2 – R1) (dθ / dt)^2 (ǔr)

τ = torque respecto del CM

I = momento de inercia = 1 /2 m R1^2

α = aceleración angular del CM = (R2 – R1) / R1   d²θ / dt² (ǐ)

 

Reemplazando

según (ǔr): N - m g cos θ = m (R2 – R1) (dθ / dt)^2

según (ǔθ): Froz - m g sen θ = m (R2 – R1) d²θ / dt² 

torque (τ) : - Froz R1 =1 /2 m R1^2 (R2 – R1) / R1   d²θ / dt²

 

 

Despejando Froz de la ecuación del τ

τ : Froz = - 1 /2 m (R2 – R1) d²θ / dt²

 

Reemplazando en la ecuación de (ǔθ)

 - 1 /2 m (R2 – R1) d²θ / dt² - m g sen θ = m (R2 – R1) d²θ / dt²

 

Reordenando

3 /2 (R2 – R1) d²θ / dt² + g sen θ = 0

 

Ecuación diferencial

d²θ / dt² + 2/3 g / (R2 – R1) sen θ = 0

 

Movimiento Oscilatorio Armónico NO lineal

para pequeñas oscilaciones  à Movimiento Armónico Simple (MAS)

 

d)                Si en el instante inicial θ(t = 0) = 0 y dθ/dt (t = 0) = ω₀ , diga cuál es la solución de la ecuación diferencial obtenida en c) para ángulos pequeños. 

 

Ángulos pequeños (pequeñas oscilaciones) à sen θ ≈ θ

 

Reemplazando en las ecuaciones diferencial

d²θ / dt² + 2/3 g / (R2 – R1) θ = 0

 

La solución de la ecuación diferencial

θ(t) = A cos (ω t) + B sen (ω t)

 

Donde

ω = velocidad angular = [2/3 g / (R2 – R1)]^(1/2)

 

Derivando

dθ(t)/dt = - A ω sen (ω t) + B ω cos (ω t)

 

Para t = 0 à  θ(t) = 0 y dθ(t)/dt = ωo

 θ(t)  = A cos (0) + B sen (0) = 0 à A = 0

dθ(t)/dt =  B ω cos (0)  =  ωo à B =  ωo / ω  

 

Reemplazando 

θ(t) = ωo / ω sen (ω t)