Física 1 (Exactas) Práctica 12.6 - Dinámica del cuerpo rígido

Una varilla homogénea de masa M y longitud L es abandonada en reposo en la posición que se observa en la Figura Sus extremos deslizan sobre una superficie cilíndrica de radio R, sin rozamiento. La varilla se mueve en un plano vertical. 

 

 

a)      Hallar, utilizando argumentos cinemáticos, el eje instantáneo de rotación de la varilla cuando ésta adopta la posición horizontal. 

 

“ … Sus extremos deslizan sobre una superficie cilíndrica de radio R …”  à velocidades de los extremos son tangenciales a la superficie del cilindro

 

EIR se puede determinar como la intersección de las proyecciones de las rectas perpendiculares a las velocidades à  las rectas perpendiculares a las velocidades tangenciales son radiales à los radios se intersectan en el eje del cilindro.

 

 

b)     Calcule, por energía, la velocidad del centro de masa de la varilla cuando ésta adopta la posición horizontal.

 

Centro de Masa (CM)

  

Centro del cilindro = centro de coordenadas

 

Posición inicial (0)

Extremo derecho: (R; 0)

Extremo izquierdo: (0; - R)

 

CMo = [(R; 0) + (0;-R)]/2 = (R/2; - R/2)

 

Posición final (f) horizontal

Extremo derecho: (L/2; - h)

Extremo izquierdo: (- L/2; - h)

 

CMf = [(L/2; -h) + (- L/2; - h)]/2 = (0; - h)

 

Con

L^2  = R^2 + R^2  (ver figura) à L = 2^(1/2) R

.h = L / 2 = 2^(1/2) R / 2 = R / 2^(1/2)

 

Reemplazando

CMf = (0; - R / 2^(1/2))

 

 

Energía mecánica

 

ΔEm = Emf – Emo

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas NO conservativas)

Emf = energía mecánica final = Ecrf + Epf

Ecrf = energía cinética rotatoria final = 1 /2 I ω^2

Io = momento de inercia respecto de O = ICM + M h^2

ICM = momento de inercia respecto del CM = 1/ 12 M L^2

ω = velocidad angular de rotación = vCM / h

Epf = energía potencial final = M g (- R/2^(1/2))

Emo = energía mecánica inicial = Eco + Epo

Ecro = energía cinética rotatoria inicial = 0 (vo = 0)

Epo = energía potencial inicial = M g (- R/2)

 

Reemplazando

1 /2 (1/12 M (2^(1/2) R)^2 + M (R/2^(1/2))^2 (vCM / R/2^(1/2))^2 + M g (- R/2^(1/2)) = M g (- R /2)

 

Despejando vCM

vCM = [ 3 /2 g R (1/2^(1/2) - 1)]^(1/2)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.5 - Dinámica del cuerpo rígido

Una barra homogénea delgada de masa M y longitud L puede girar libremente en torno de su eje fijo horizontal, tal como se indica en la Figura Se suelta la barra desde una posición que forma un ángulo α₀ con la vertical. Hallar,

 

a)      La velocidad angular de la barra cuando ésta pasa por la posición más baja.

 

τ = - P . dp = I γ

 

Donde

τ = Torque (respecto del eje fijo)

P = peso de la barra = M g

dp = distancia del CM a la vertical = L / 2 sen α

I = momento de inercia de la barra respecto del eje = Io + M (L/2)^2

Io = momento de inercia de la barra respecto del CM = 1/12 M L^2

γ = aceleración angular

 

Reemplazando

- M g L/2 sen α = (1/12 M L^2 + 1/ 4 M L^2) γ

 

Despejando γ

γ = - 3/2 g sen α  / L 

 

γ = dω/dt = dω/dα dα/dt = dω/dα ω

 

Reemplazando

ω dω/dα = - 3/2 g sen α / L 

 

Integrando

1 /2 ω^2 = - 3/2 g cos α / L + C

 

Condiciones iniciales ωo = 0 y α = αo

0 = - 3 g cos αo  / L + C à C = 3 g cos αo  / L

 

Reemplazando

ω^2 = 3 g / L (cos α - cos αo)

 

En α = 0° (posición más baja)

ω  = [3 g / L (1 - cos αo)]^(1/2)

 

 

 

b)     La fuerza que ejerce el eje fijo sobre la barra cuando ésta pasa por la posición vertical.

 

Ecuación de Newton

R – P = M ac

 

Donde

R = reacción del eje

P = peso = M g

ac = aceleración centrípeta = ω^2 L / 2

 

Reemplazando

R = M 3 g / L (1 - cos αo) (L / 2) + M g = M g (5/2 – 3/2 cos αo)

 

 

 

c)      Resuelva nuevamente utilizando conceptos de energía el punto a).

 

No hay fuerzas NO conservativas à ΔEm = 0

ΔEm = Emf – Emi

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica

Emf = energía mecánica final = Ecrf + Epf

Ecrf = energía cinética de rotación final = 1 /2 I ω^2

Epf = energía potencial final = 0

Emi = energía mecánica inicial = Ecri + Epi

Ecri = energía cinética de rotación inicial = 0 (ωo = 0)

Epi = energía potencial inicial = M g h

h = altura inicial = L / 2 – L / 2 cos αo

 

Igualando

1 /2 (1 /3 M L^2) ω^2 = M g L / 2 (1 – cos αo)

 

Despejando ω

ω = [3 g / L (cos α - cos αo)]^(1/2)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.4 - Dinámica del cuerpo rígido

Un disco cilíndrico homogéneo de radio R y masa M₁ es arrastrado sobre una superficie horizontal sin fricción por una cuerda que está unida a un cuerpo de masa M₂, como se indica en la Figura Determine,

 

 

a)      La aceleración del centro del disco y la aceleración angular del disco. 

 

Ecuaciones de la dinámica

Cuerpo 1. Ecuación de Newton según x: T = M1 aCM

Cuerpo 1. Torque (respecto del CM): T R = I α

Cuerpo 2. Ecuación de Newton 2: P2 – T = M2 a2

 

Donde

T = tensión

M1 = masa del disco

aCM = aceleración del centro de masa del disco

R = radio del disco

I = momento de inercia del disco = 1 /2 M1 R^2

α = aceleración angular del disco

P2 = peso del cuerpo 2 = M2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Reemplazando en las ecuaciones

T = M1 aCM

T R = 1/ 2 M1 R^2 α

M2 g – T = M2 a2

 

 

Condición de la cuerda

H = D1 + D2

 

Donde

H = desplazamiento de cuerpo

D1 = desplazamiento del disco

D2 = cuerda que se desenrolla del disco = θ R

 

Derivando dos veces

d² H/ dt² = d² D1/ dt² + R d² θ / dt²

 

Donde

d² H/ dt² = a2

d² D1/ dt²  = aCM

d² θ / dt² = α

 

a2 = aCM + R α

 

Reemplazando en las ecuaciones

T = M1 aCM

T R = 1/ 2 M1 R^2 α

M2 g – T = M2 a2

 

Despejando T de las ecuaciones del disco

T = M1 aCM

T = 1/ 2 M1 R α

 

Igualando

M1 aCM = 1/ 2 M1 R α

 

Despejando R α

R α = 2 aCM

 

Reemplazando en la ecuación de las aceleraciones

a2 = aCM + 2 aCM = 3 aCM

 

Reemplazando en la ecuación del cuerpo

M2 g – M1 aCM = M2 3 aCM

 

Despejando aCM

aCM = M2 g / (M1 + 3 M2)

 

Reemplazando y despejando α  de la ecuación en R α

α = 2 aCM / R = 2 M2 g / (M1 + 3 M2) / R

 

 

 

b)     La aceleración del cuerpo de masa M₂. 

 

a2 = aCM + 2 aCM = 3 aCM

 

Reemplazando

a2 = 3 M2 g / (M1 + 3 M2)

 

c)                La tensión en la cuerda.

 

T = M1 aCM

 

Reemplazando

T = M1 M2 g / (M1 + 3 M2)

 

d)                La velocidad del centro de masa del disco cuando se ha desplazado una distancia igual a su diámetro, medida desde la posición en la que estaba en reposo.

 

xCM = xo + vo t + 1/ 2 aCM t^2

vCM = vo + aCM t

 

Donde

xCM = desplazamiento del centro de masa del disco = diámetro = 2 R

xo = desplazamiento inicial del centro de masa del disco = 0

vo = velocidad inicial del centro de masa del disco = 0

aCM = aceleración del centro de masa del disco = M2 g / (M1 + 3 M2)

vCM = velocidad del centro de masa del disco

t = tiempo transcurrido para que el disco se desplace un diámetro

 

Reemplazando y despejando t de la ecuación de la velocidad

t = vCM / aCM

 

Reemplazando en la ecuación del desplazamiento

xCM = 1 /2 aCM (vCM / aCM)^2 = 1 /2 vCM^2 / aCM

 

Despejando vCM

vCM = [2 xCM aCM]^(1/2) = [2 * 2 R M2 g / (M1 + 3 M2)]^(1/2)

 

 

 

e)                La velocidad de la masa colgante en ese instante.

 

v2 = vo2 + a2 t

 

Donde

v2 = velocidad del cuerpo

vo = velocidad inicial del cuerpo = 0

a2 = aceleración del cuerpo = 3 aCM

t = tiempo transcurrido = vCM/aCM (tiempo transcurrido para que el disco se desplace un diámetro)

 

Reemplazando

v2 = 3 aCM t = 3 v = 3 [4 R M2 g / (M1 + 3 M2)]^(1/2)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.3 - Dinámica del cuerpo rígido

En la Figura se muestran dos cilindros homogéneos de radio R y masa M. El cilindro de arriba, sostenido por un eje horizontal a través de su centro, rota libremente. Se enrosca una cuerda y se deja caer el cilindro inferior. La cuerda no desliza respecto de los cilindros.

a.     ¿Cuál es la aceleración del centro de masa del cilindro inferior?

 

Cilindro superior (solo ROTACION)

 

τ1 = T R = I1 α1

 

Donde

τ1 = Torque respecto del eje de rotación

T = tensión de la cuerda

R = radio del cilindro

I1 = momento de inercia del cilindro 1 = 1 /2 M R^2

M = masa del cilindro

α1 = aceleración angular del cilindro 1

 

Despejando α1

α1 = T R / (1 /2 M R^2) = 2 T / (M R)

 

 

Circulo inferior (ROTACION y TRASLACION)

 

P2 – T = M a

τ2 = T R = I2 α2

 

Donde

P2 = peso del cilindro 2 = M g

a = aceleracion 

τ2 = Torque respecto del eje de rotación

I2 = momento de inercia del cilindro 2 = 1 /2 M R^2

α2 = aceleración angular del cilindro 2

 

Despejando α2

α2 = T R / (1 /2 M R^2) = 2 T / (M R)

 

 

Condicción dinámica

 

y = R θ1 + R θ2

 

Donde

y = distancia recorrida por el cilindro2

R θ1 = cuerda desenrollada del cilindro 1

θ1 = ángulo girado por el cilindro 1

R θ2 = cuerda desenrollada del cilindro 2

θ2 = ángulo girado por el cilindro 2

 

Derivando dos veces

d²y / dt² = R d²θ1 / dt² + R d²θ2 / dt²

 

con

d²y / dt² = a

d² θ1 / dt² = α1

d² θ2 / dt² = α2

 

Reemplazando

a = R α1 + R α2

 

Reemplazando (α1 y α2)

a = R 2 T / (M R) + R 2 T / (M R) = 4 T / M 

 

Despejando T

T = M a / 4

 

Reemplazando T

M g – M a / 4 = M a

 

Despejando a

a = 4/5 g

 

 

b.  Calcule la tensión de la cuerda.

 

Reemplazando en T

T = M 4/5 g / 4 = 1/5 M g

 

 

c.  Calcule la velocidad del centro de masa del cilindro inferior, cuando ha caído una distancia 10 R.

 

y = yo + vo t + 1/ 2 a t^2

v = vo + a t

 

Donde

y = desplazamiento del centro de masa del cilindro 2 = 10 R

yo = desplazamiento inicial del centro de masa del cilindro 2 = 0

vo = velocidad inicial del centro de masa del cilindro 2= 0

a = aceleración = 4/5 g

v = velocidad del centro de masa del cilindro 2

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando y despejando t de la ecuación de la velocidad

t = v /a

 

Reemplazando en la ecuación del desplazamiento

y = 1 /2 a (v / a)^2 = 1 /2 v^2 / a

 

Despejando v

v = [2 y a]^(1/2) = [2 * 10 R 4/5 g]^(1/2) = [4 R g]^(1/2)