Física 1 P Sep 25 TF - 3. Cinemática

Un jugador practica pateando desde el punto del penal (sin arquero). La distancia desde el punto del penal al arco es 11 m y la altura del arco es 2,4 m. Al patear, el jugador le imprime a la pelota una velocidad de modulo desconocido en una dirección que forma un ángulo de 40° respecto a la horizontal.

 

a)     Calcular el módulo de la velocidad inicial de la pelota si luego de patear esta pega en el travesaño

 

Ecuaciones horarias

x = xo + vox t

y = yo + voy t – 1/ 2 g t^2

 

Donde

x = posición final = 11 m

xo = posición inicial = 0

vox = componente según x de la velocidad inicial = vo cos 40°

vo = velocidad inicial

y = altura final = 2,4 m

yo = altura inicial = 0

voy = componente según y de la velocidad inicial = vo sen 40°

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando en la ecuación de la posición y despejando t

t = x / (vo cos 40°)

 

Reemplazando en la ecuación de la altura

y = vo sen 40° x / (vo cos 40°) – 1 /2 g (x / (vo cos 40°))^2

 

Despejando vo

vo = raíz ((10 m/s² x^2) / (2 (cos 40°)^2 (x tan 40° - y))

vo = raíz ((10 m/s² (11 m)^2) / (2 (cos 40°)^2 (11 m tan 40° - 2,4 m)) = 12,29 m/s

 

 

b)    Obtenga el tiempo que tarda la pelota en llegar hasta el travesaño

 

Reemplazando en la ecuación de la posición y despejando t

t = x / (vo cos 40°) = 11 m / (12,29 m/s cos 40°) = 1,17 seg

 

 

c)     Calcular el vector velocidad en el instante en que la pelota pega en el travesaño.

 

Ecuaciones horarias

vx = vox

vy = voy – g t

 

Donde

vx = velocidad según x

vy = velocidad según y

 

Reemplazando

vx = vo cos 40° = 12,29 m/s cos 40° = 9,41 m/s

vy = vo sen 40° - g t = 12,29 m/s sen 40° - 10 m/s² 1,17 seg = - 3,79 m/s

v = 9,41 m/s (i) – 3,79 m/s (j)

 

 

 

Física 1 P Sep 25 TF - 2. Cinemática

Un móvil recorre una circunferencia de 0,5 de radio. Se desplaza desde el punto A hacia el punto B en 4 seg moviéndose con velocidad angular constante. A partir de ese instante comienza a disminuir su velocidad hasta que se detiene completamente 16 seg después.

 

 

a.     Calcular el número de vueltas que realiza el móvil hasta detenerse.

 

De A B

Ecuación horaria

θB = θA + ω t

donde

θB = ángulo B = π/2

θA = ángulo A = 0

ωo = velocidad angular

tB = tiempo = 4 seg

 

Reemplazando y despejando ω

ωo = (θB – θA) / t = (π/2 – 0) / 4 seg = π/8 1/seg

 

 

Después de B

θ = θB + ωo (t – tB) +1/ 2 α (t – tB)^2

ω = ωo + α (t – tB)

 

Donde

θ = ángulo barrido

θB = ángulo B = π/2

ωo = velocidad angular = π/8  1/seg

ω = velocidad angular final = 0

α = aceleración

tB = tiempo en θB = 4 seg

t = tiempo = 4 seg + 16 seg = 20 seg

 

Reemplazando en la ecuación de velocidad y despejando α

α = (ω – ωo) / (t – tB) = (0 - π/8 1/seg) / (20 seg – 4 seg) = - π/128 1/seg²

 

Reemplazando en la ecuación angular

θ = π/2 + π/8  1/seg (20 seg – 4 seg) + 1/ 2 (- π/128  1/seg² ) (20 seg – 4 seg)^2 = 3/2 π

 

Vueltas = 0

A partir de los 20 seg empieza a retroceder (ω < 0)

 

 

b.     Determinar los vectores de velocidad y aceleración del móvil en el instante en que pasa por primera vez por el punto C (decir claramente cuál es el sistema de referencia utilizado)

  

En C

θC= θB + ωo (tC – tB) +1/ 2 α (tC – tB)^2

 

Donde

θC= ángulo C = π

θB = ángulo B = π/2

ωo = velocidad angular = π/8  1/seg

α = aceleración = - π/128 1/seg²

tB = tiempo en θB = 4 seg

tC = tiempo

 

Reemplazando en el ángulo barrido C

 π = π/2 + π/8 (tC – 4 seg) +1/ 2 (- π /128 1/seg²) (tC – 4 seg)^2

 

Reordenando

0 = (π/2 – π) + π/8 (tC – 4 seg) +1/ 2 (- π /128 1/seg²) (tC – 4 seg)^2

 

Esta cuadrática tiene dos soluciones

tc1 – 4 seg = 4,69 seg à tc1 = 4,69 seg + 4 seg = 8,69 seg (primera pasada)

tc2 – 4 seg = 27,31 seg à tc2 = 27,31 seg + 4 seg = 31,31 seg

Velocidad en C

ωC = ωo + α (tC – tB)

 

Donde

ωo = velocidad angular = π/8 1/seg

ωC = velocidad angular en C

α = aceleración = - π/128 1/seg²

tB = tiempo en θB = 4 seg

tC = tiempo en θC = 8,69 seg

 

Reemplazando

ωC = π/8 1/seg + (- π/128 1/seg²) (8,69 seg – 4 seg) = 0,088 π 1/s

 

| vC | = ωC R

 

Donde

| vC | = velocidad tangencial en C

R = radio de la circunferencia = 0,5 m

 

Reemplazando

| vC | = 0,088 π 1/s 0,5 m = 0,044 π m/s

 

vC = - 0,044 π m/s (j)

 

  

Aceleración en C

   

| a | = | at | + | ac | (ecuación vectorial)

 

Donde

| a | = aceleración

| at | = aceleración tangencial = α R

| ac | = aceleración centrípeta = ωC^2 R

 

 Reemplazando

| at | =   π/128 1/seg² 0,5 m = 0,0039 π m/seg²

| ac | = (0,088 π 1/s)^2 0,5 m = 0,0039 π^2 m/seg²

 

 a = 0,0039 π^2 m/seg²  (i) + 0,0039 π m/seg² (j)

 

Física 1 P Sep 25 TF - 1. Cinemática

Se lanza una pelota hacia arriba desde un edificio a 40 m de altura. La velocidad inicial de la pelota es de 10 m/s en dirección vertical. Al mismo tiempo, una persona parada a 30 m del edificio comienza a correr hacia la base de este con una velocidad (constante) de 10 km/h.

 

a.     Calcular el modulo de la velocidad media que desarrolla la pelota desde el instante en que alcanza su altura máxima hasta el instante en que llega al piso.

 

Pelota

Altura máxima

Ecuaciones horarias

yAM = yo + vo tAM – 1/ 2 g tAM^2

vAM = vo – g tAM

 

Donde

yAM = altura máxima

yo = altura inicial = 40 m

vo = velocidad inicial = 10 m/s

vAM = velocidad altura máxima = 0

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

tAM = tiempo a la altura máxima

 

Reemplazando en la ecuación de la velocidad y despejando tAM

tAM = vo / g = 10 m/s / 10 m/s²  = 1 seg

 

Reemplazando en la ecuación de la altura

yAM = 40 m + 10 m/s 1 seg – 1/ 2 10 m/s² (1 seg)^2 = 45 m

 

 

Hasta el piso

Ecuaciones horarias

yF = yAM + vAM tF – 1/ 2 g tF^2

 

Donde

yF = altura final = 0

yAM = altura máxima = 45 m

vAM = velocidad altura máxima = 0

tF = tiempo final

 

Reemplazando y despejando tF

tF = raíz (2 yAM  / g) = raíz (2 * 45 m / 10 m/s² ) = 3 seg

 

 

Velocidad media

vM = (yF – yAM) / tF

 

donde

vM = velocidad media

 

Reemplazando

vM = (yF – yAM) / tF = (0 – 45 m) / 3 seg = - 15 m/s

 

 

b.     Decir si la persona puede llegar a la base del edificio a tiempo como para alcanzar la pelota antes de que este toque el piso. Justifique

 

Persona

Ecuación horaria

xp = xop  - vop t

 

Donde

xp = posición de la persona = 0 (base del edificio)

xop = posición inicial = 30 m

vop = velocidad de la persona = 18 km/h = 5 m/s

tp = tiempo de la persona

 

Reemplazando y despejando tp

tp = xop / vop = 30 m / 5 m/s = 6 seg

 

tT = tiempo total de la pelota = tAM + tF = 1 seg + 3 seg = 4 seg

 

tT < tp à la persona no llega a tiempo

 

 

c.      Graficar las posiciones de la pelota y de la persona en función del tiempo.

 

Posición

Pelota: x = 0

Persona: xp = 30 m – 5 m/s t

 

 

Altura

Pelota: y = 40 m + 10 m/s t – 1/ 2 10 m/s2 t^2

Persona: yp = 0

  

 

 

Física 1 P Sep 25 T1 - 4. Cinemática

Un auto y una moto circulan en sentido antihorario por una pista circular de 20 m de radio con una frecuencia de 30 rpm. En t = 0 s. el auto pasa por A y la moto por B (ver figura), y en dicho instante, la moto disminuye uniformemente el módulo de su velocidad angular a razón de π/4 s^-2

 

 

 

 

a.     Calcule el instante y la posición en la que ambos móviles se encuentran por primera vez.

 

Auto

θA = θoA + ωoA t

 

donde

θA = ángulo barrido por el auto

θoA = ángulo inicial del auto (punto A) = 0

ωoA = velocidad angular inicial del auto = 2 π f

f = frecuencia = 30 rpm (1 min / 60 seg) = 1/ 2 seg^-1

 

Reemplazando

θA = 0 + 2 π 1/ 2 seg^-1 t  = π seg^-1 t

 

Moto

θM = θoM + ωoM t + 1 /2 α t^2

 

donde

θM = ángulo barrido por la moto

θoM = ángulo inicial de la moto (punto B) = π/2

ωoB = velocidad angular inicial de la moto = ωA

α = desaceleración de la moto = - π/4 s^-2

 

Reemplazando

θB = π/2 + 2 π 1/ 2 seg^-1 t  - 1/ 2 π/4 s^-2  t^2 =  π/2 + π seg^-1 t  -   π/8 s^-2  t^2

 

Encuentro θA = θB para t

π seg^-1 t = π/2 + π seg^-1 t  -   π/8 s^-2  t^2

 

Despejando t

t = raíz (π/2 / (π/8 s^-2 ) = 2 seg

 

Reemplazando en la ecuación del auto

θA = π seg^-1 2 seg = 2 π = 0

 

 

b.     Escriba el vector aceleración de la moto en el instante hallado en el ítem anterior. Utilice el sistema de referencia de la figura.

 

a = at + ac (ecuación vectorial)

 

Donde

a = aceleración

at = aceleración tangencial = α R

R = radio de la pista = 20 m

ac = aceleración centrípeta = (ωB)^2 R

ωB = velocidad angular de la moto = ωoM + α t

 

Reemplazando

| at | = π/4 s^-2 20 m = 5 π m/s²

| ac | = (π seg^-1 - π/4 s^-2 2 s)^2 20 m = 5 π² m/s²

 

 

 

a = - 5 π² m/s² (i) - 5 π m/s² (j)

 

 

 

Física 1 P Sep 25 T1 - 3. Cinemática

Un albañil situado en el tejado de su casa deja caer accidentalmente su martillo, y este resbala. El tejado forma un ángulo α = 37° respecto a la horizontal. El martillo abandona el tejado desde una altura h = 8 m, con una velocidad de módulo 10 m/s, cae y golpea el piso en el punto P. Se desprecian todos los rozamientos.

 

 

 

a.     Calcula la distancia horizontal d que recorre el martillo desde que abandona el tejado hasta que golpea el piso en P.

 

Ecuaciones horarias

x = xo + vox t

y = yo + voy t – 1/ 2 g t^2

 

Donde

x = posición según x = d

xo = posición inicial = 0

vox = componente x de la velocidad vo = vo cos 37°

voy = componente y de la velocidad vo = - vo sen 37°

vo = velocidad inicial = 10 m/s

y = altura final = 0 (suelo)

yo = altura inicial = 8 m

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo de vuelo

 

Reemplazando en la ecuación según y

0 = 8 m - 10 m/s sen 37° t – 1 /2 * 10 m/s² t^2

 

Las soluciones de la cuadrática

t1 = - 2 seg (descartado)

t2 = 0,8 seg

 

Reemplazando en la ecuación según x

d = 10 m/s cos 37° 0,8 seg = 6,4 m

 

 

b.     Halle el módulo de la velocidad del martillo en el instante en que golpea el piso.

 

| v | = raíz (vx^2 + vy^2)

 

Donde

v = velocidad

vx = velocidad según x

vy = velocidad según y

 

Ecuaciones horarias

vx = vox

vy = voy – g t

 

Reemplazando

vx = vo cos 37° = 10 m/s cos 37°  = 8 m/s

vy = - vo sen 37° - g t = - 10 m/s sen 37° - 10 m/s² 0,80 seg = - 14 m/s

 

| v | = raíz ((8 m/s)^2 + (-14 m/s)^2) = 16,12 m/s

  

 

c.      Escriba el vector velocidad media desarrollado por el martillo en todo el vuelo libre.

  

vmx = velocidad media según x = vox (velocidad constante)

vmx = 10 m/s cos 37° = 8 m/s

 

vmy = velocidad media según y = distancia recorrida / tiempo de vuelo

vmy = (0 – h) / t = (0 - 8 m) / 0,8 seg = - 10 m/s

 

vm = 8 m/s (i) – 10 m/s (j)