Física 1 (Ing.) Práctica 2.18 - Trabajo y Energía

Se tiene una partícula de masa m que desliza sobre una rampa sin roce de radio R. La partícula esta inicialmente en reposo en la parte más baja. Mediante la aplicación de una fuerza horizontal de módulo variable, se la lleva a una posición tal que el ángulo con la vertical es casi 90º. Considerar que el desplazamiento de la partícula es muy lento (velocidad muy baja = movimiento cuasiestacionario. Esta aproximación permite considerar a la partícula en sucesivos estados de equilibrio lo cual facilita el planteo).

 

 

a.     Explicar cómo calcular el trabajo de todas y cada una de las fuerzas que están aplicadas sobre la partícula. 

 

 

Trabajo de la Normal (N)

 

WN = ∫ N . dr 

 

 

Donde

WN = trabajo de la Normal

N = Normal = reacción de la rampa (ǔr)

dr = diferencial de desplazamiento 

 

r = θ R

 

Donde

.r = desplazamiento

.θ = ángulo barrido

 R = radio de la rampa

 

diferenciando

dr = R dθ (ǔθ)

 

(ǔr) = versor radial

(ǔθ) = versor tangencial

 

Reemplazando

N (ǔr) . R dθ (ǔθ) = 0  à WN = 0

 

 

Trabajo del Peso (P)

 

WP = ∫ P . dy 

 

Donde

WP = trabajo de la fuerza peso

P = peso = m g (-ǰ)

dy = vector desplazamiento vertical (ǰ)

 

Reemplazando

WP = - ∫ m g dy entre yi = 0 a yf = R

 WP = - m g R

 

 

Trabajo de la Fuerza (F)

 

WF = ∫ F . dx 

 

Donde

WF = trabajo de la fuerza

F = fuerza externa (ǐ)  (Modulo variable)

dx = vector desplazamiento horizontal (ǐ)

 

 

W = ΔEc

 

Donde

W = trabajo total = WN + WP + WF

ΔEc = variación de energía cinética = 0 (movimiento cuasiestacionario)

 

Reemplazando

0 – m g R + WF = 0 à WF = m g R

 

 

b.     Si alguna de las fuerzas es conservativa explicar qué relación hay entre el trabajo de dicha fuerza y la energía potencial. 

Indicar los marcos referenciales correspondientes y todos los pares de interacción de las fuerzas que se aplican sobre la partícula.

 

Sistema de referencia inercial (SRI)

Solidario a la superficie de la Tierra y con el origen en el punto más bajo de la rampa

 

Fuerzas conservativas

P = peso

Par de acción y reacción en el centro de la Tierra

 

Fuerzas no conservativas

N = reacción normal

Par de acción y reacción en la rampa

 

F = fuerza externa

Par de acción y reacción la partícula ejerce una fuerza igual y opuesta hacia la izquierda sobre el agente externo que ejerce la fuerza

 

WP = - ΔEp

 

Donde

WP = trabajo de la fuerza Peso

ΔEp = variación de la energía potencial = Epf – Epi

Epf = energía potencial final = m g R

Epi = energía potencial inicial = 0

 

Reemplazando

 WP = - (m g R – 0) = - m g R

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.17 - Trabajo y Energía

 Analizar el movimiento de un péndulo ideal desde el punto de vista energético. Para el péndulo oscilando exprese, como función de la altura de la masa: 

 

 

 

a.     su velocidad;

 

ΔEm = Em – Emo

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica = 0

Emo = energía mecánica en el punto más alto = Eco + Epo

Eco = energía cinética = 0 

Epo = energía potencial = m g H

H = altura máxima

Em = energía mecánica = Ec + Ep

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

v = velocidad

Ep = energía potencial = m g h

h = altura

 

Reemplazando

m g H = m g h + 1 /2 m v^2

 

Despejando v

v = [2 g (H – h)]^(1/2)

 

  

b.     su desplazamiento angular;

 

h = L – L cos α

 

Despejando cos α

cos α = (L – h) / L = 1 – h / L

 

 

c.      la fuerza tangencial a su trayectoria;

 

 

Ft = - Pt = - m g sen α

 

sen α = [1 – (cos θ)^2]^(1/2) = [1 – (1 – h / L)^2]^(1/2) 

          = [2 h/L – (h/L)^2]^(1/2)

 

Reemplazando

Ft = - m g [2 h/L – (h/L)^2]^(1/2)

 

 

d.     su aceleración tangencial; 

 

Ecuación de Newton

 - m g sen α = m at

 

Con

at = aceleración tangencial = v^2 / L

 

Despejando at

at = - g [2 h/L – (h/L)^2]^(1/2)

  

 

e.      su aceleración normal.

 

ac = v^2 / L

 

Con

ac = aceleración normal = v^2 / L

 

Reemplazando

ac = 2 g (H – h) / L

 

 

f.      Cuánto vale la tensión en el hilo al pasar la lenteja por: 

 

Ecuación de Newton

T – m g cos α = m ac

 

Donde

T = tensión

ac = aceleración normal = v^2 / L

v = velocidad = [2 g (H – h)]^(1/2)

H = altura máxima = L – L cos αmax

h = altura = L – L cos α

H – h = L – L cos αmax – (L – L cos α) = L (cos α - cos αmax)

 

Reemplazando

T = m 2 g (cos α - cos αmax) + m g cos α = m g (3 cos α – 2 cos αmax)

 

i-                la posición de equilibrio;

 

posición de equilibrio à α  = 0

 

Reemplazando en T

T = m g (3 – 2 cos αmax)

 

 

ii-              la máxima elongación;

 

máxima elongación à α  = αmax

 

reemplazando en T

T = m g cos αmax

 

 

iii-             α = αmáximo / 2

 

Reemplazando

T = m g (3 cos (αmax / 2) – 2 cos αmax)

 

 

f.     Si al pasar por la vertical el hilo hace tope en un clavo “A” (ver figura), la altura a la que subirá la lenteja ¿será mayor, igual o menor, que en el caso en que el hilo no hace tope en A? Justificar.

  

Emo = Emf

 

Donde

Emo = energía mecánica inicial = Eco + Epo

Eco = energía cinética inicial = 0

Epo = energía potencial inicial = m g H

H = altura inicial

Emf = energía mecánica final = Ecf + Epf

Ecf = energía cinética final = 0

Epf = energía potencial final = m g hf

hf = altura final

 

Reemplazando

m g H = m g hf à  H = hf

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.16 - Trabajo y Energía

 

,

a.     ¿Desde qué altura mínima H se debe dejar deslizar el bloque de hielo para que pueda recorrer sin problemas el rulo BCDE? Si h = 2/3 H, describir el movimiento posterior del bloque.

 

Ecuación de Newton

Según r: ND – P = - m ac

 

Donde

ND = reacción del rulo = 0

P = peso del bloque = m g

ac = aceleración centrípeta = vD^2 / R

vD = velocidad mínima

R = radio del rulo

 

Reemplazando

m g = m vD^2 / R

 

Despejando

vD^2 = R g

 

Energía mecánica

ΔEmDA = EmD – EmA

 

Donde

ΔEmDA = variación de la energía mecánica entre A y D = 0

EmD = energía mecánica en D = EcD + EpD

EcD = energía cinética en D = 1/2 m vD^2

EpD = energía potencial en D = m g 2 R

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 0 (se deja caer)

EpA = energía potencial en A = m g H

 

Reemplazando

1/2 m R g + m g 2 R – m g H = 0

Despejando H

H = 5/2 g R

 

 

a.2. Si h = 2/3 H, describir el movimiento posterior del bloque.

 

Punto F (h = 2/3 H)

 

Energía mecánica

ΔEmFA = EmF – EmA

 

Donde

ΔEmFA = variación de la energía mecánica entre F y A = 0

EmF = energía mecánica en F = EcF + EpF

EcF = energía cinética en F = 1/2 m vF^2

EpF = energía potencial en F = m g h

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 0 (se deja caer)

EpA = energía potencial en A = m g H

 

Reemplazando

1/2 m vF^2 + m g 2/3 H – m g H = 0

 

Despejando vF

vF = [2/3 g H]^(1/2) > 0   

 

Movimiento posterior (vF > 0) à tiro oblicuo

 

 

 

b.     Si H = 3 R ¿cuánto vale la reacción en el vínculo, sobre el bloque, en los puntos B, C, D y E (α = 20°); ¿qué fuerza soporta el riel?

 

Energía mecánica

Em = EmA

 

Donde

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 0

EpA = energía potencial en A = m g H

H = altura inicial = 3 R

Em = energía mecánica = Ec + Ep

Ec = energía cinética = 1/2 m v^2

v = velocidad

Ep = energía potencial = m g d

d = altura

 

Reemplazando

m g 3 R = 1/2 m v^2 + m g d

 

Despejando v

v^2 = 2 g (3 R – d)

 

 

En B

dB = 0

 

Reemplazando en v

vB^2 = 2 g (3 R – dB) = 2 g (3 R – 0) = 6 g R

 

Ecuación de Newton (B)

NB – P = m ac

 

Donde

NB = reacción

P = peso = m g

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

 

Reemplazando

NB – m g = m v^2 / R

 

Despejando

NB = m v^2 / R + m g

 

Reemplazando en NB

NB = m g + m 6 g R / R

NB = 7 m g

 

 

En C

dC = R

 

Reemplazando en v

vC^2 = 2 g (3 R – dC) = 2 g (3 R – R) = 4 g R

 

Ecuación de Newton (C)

NC = m ac

 

Reemplazando

NC = m v^2 / R

 

NC = m 4 g R / R

NC = 4 m g

 

En D

dD = 2 R

 

Reemplazando en v

vD^2 =2 g (3 R – dD) = 2 g (3 R – 2 R) = 2 g R

 

Ecuación de Newton (D)

ND + m g = m ac

 

Reemplazando

ND = m v^2 / R – m g

 

ND = m 2 g R / R – m g

ND = m g

 

 

En E

dE = R + R cos 20° = R (1 + cos 20°)

 

Reemplazando en v

vE^2 = 2 g (3 R – dE) = 2 g (3 R – R - R cos 20°)) = 2 g R (2 – cos 20°)

 

Ecuación de Newton (D)

NE + P cos 20° = m ac

 

Reemplazando

NE = m v^2 / R - m g cos 20°

 

NE = m 2 g R (2 – cos 20°) / R – m g cos 20°

NE = m g (4 – 3 cos 20°)

 

 

 

c.     ¿En qué punto se desprende de la pista si H = 2 R? 

 

Energía mecánica

EmA = Em

 

Donde

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 0 (vA =0)

EpA = energía potencial en A = m g H

H = altura en A = 2 R

Em = energía mecánica = Ec + Ep

Ec = energía cinética = 1/2 m v^2

v = velocidad

Ep = energía potencial = m g h

h = R + R cos θ

 

Reemplazando

m g 2 R = 1/2 m v^2 + m g R + m g R cos θ

 

Despejando

v^2 = 2 (g R – g R cos θ)

 

Ecuación de Newton

N + m g cos θ = m v^2 / R

 

Despejando N

N = m 2 (g R – g R cos θ) / R - m g cos θ

    = 2 m g –  3 m g cos θ = 0

 

Despejando

cos θ = 2/3 

 

d = R + R cos θ = 5 /3 R

 

 

d.    ¿Con qué velocidad mínima debe pasar por A, si H = 2R para que realice la vuelta completa?

 

Ecuación de Newton

Según r: ND – P = - m ac

 

Donde

ND = reacción del rulo = 0

P = peso del bloque = m g

ac = aceleración centrípeta = vD^2 / R

vD = velocidad mínima

R = radio del rulo

 

Reemplazando

m g = m vD^2 / R

 

Despejando

vD^2 = R g

 

 

Energía mecánica

EmA = EmD

 

Donde

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 1/2 m vA^2

EpA = energía potencial en A = m g H

H = altura en A = 2 R

EmD = energía mecánica en D = EcD + EpD

EcD = energía cinética en D = 1/2 m vD^2

vD = velocidad = R g

EpD = energía potencial = m g hD

hD = 2 R

 

Reemplazando

m g 2 R + 1/2 m vA^2 = 1/2 m R g + m g 2 R

 

Despejando

vA^2 = g R