Física 1 (Ing.) Práctica 2.10 - Trabajo y Energía

Una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza de atracción inversamente

Un cuerpo de 20 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial 50 m/s.

 

Calcular

 

a.     las energías Ec, Ep y E iniciales;

 

Energía cinética (Ec)

Eco = 1 /2 m vo^2

 

Donde

Eco = energía cinética inicial

m = masa del cuerpo = 20 kg

vo = velocidad = 50 m/s

 

Reemplazando

Eco = 1 /2 * 20 kg (50 m/s)^2 = 25 000 J

 

 

Energía potencial (Ep)

Epo = 0

 

Con

Epo = energía potencial = 0 (en la posición de lanzamiento)

 

 

Energía (E)

Eo = Eco + Epo

 

Reemplazando

Eo = 25 000 J + 0 = 25 000 J

 

 

b.     Ec y Ep después de 3 s;

 

Energía cinética (Ec)

Ecb = 1 /2 m vb^2

 

Donde

Ecb = energía cinética en b

m = masa del cuerpo = 20 kg

vb = velocidad en b =  vo – g tb

vo = velocidad del lanzamiento = 50 m/s

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

tb = tiempo transcurrido = 3 seg

 

Reemplazando

Ecb = 1 /2 * 20 kg (50 m/s – 10 m/s² 3 seg)^2 = 4 000 J

 

 

EnergÍa potencial (Ep)

No hay fuerzas No conservativas à Em se conserva

 

Epb = Eo – Ecb = 25 000 J – 4 000 J = 21 000 J

 

 

 

c.      Ec y Ep a 100 m de altura;

 

Energía potencial (Ep)

Epc = m g h

 

Donde

m = masa de la partícula = 20 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

h = altura = 100 m

 

Reemplazando

Epc = 20 kg 10 m/s² 100 m = 20 000 J

 

Energía cinética (Ec)

No hay fuerzas No conservativas à Em se conserva

Ecc = Eo – Epc = 25 000 J – 20 000 J = 5 000 J

 

 

 

d.     la altura del cuerpo cuando Ec se reduce un 80% de su valor inicial. Situar el cero de energía potencial en la superficie terrestre.

 

Energía cinética (Ec)

Ecd = Eco (1 – 80%) = 25 000 J 0,20 = 5 000 J

 

Energía potencial (Ep)

Epd = m g hd

 

Donde

Epd = energía potencial en d = Eo – Ecd = 25 000 J – 5 000 J = 20 000 J

hd = altura

 

Reemplazando y despejando hd

hd = Epd / m g = 20 000 J / (20 kg 10 m/s²⁾ = 100 m

 

 

e.       Resolver nuevamente si la velocidad inicial es v₀ = i 20 m/s + j 50 m/s. Comparar ambos resultados. 

 

| vo | = ((20 m/s)^2 + (50 m/s)^2)^(1/2) = 53,85 m/s

 

 

e.a. las energías Ec, Ep y E iniciales;

 

Energía cinética (Ec)

Eco = 1 /2 m vo^2

 

Donde

Eco = energía cinética inicial

m = masa del cuerpo = 20 kg

vo = velocidad = 53,85 m/s

 

Reemplazando

Eco = 1 /2 20 kg (53,85 m/s)^2 = 29 000 J

 

 

Energía potencial (Ep)

Epo = 0

 

Con

Epo = energía potencial = 0 (en la posición de lanzamiento)

 

 

Energía (E)

Eo = Eco + Epo

 

Reemplazando

Eo = 29 000 J + 0 = 29 000 J

 

 

e.b. Ec y Ep después de 3 s;

 

Energía cinética (Ec)

Ecb = 1 /2 m vb^2

 

Donde

Ecb = energía cinética en b

m = masa del cuerpo = 20 kg

vb = velocidad en b =  [vbx^2 + vby^2]^(1/2)

vby = velocidad según y en el instante tb = voy – g tb

voy = velocidad del lanzamiento según y = 50 m/s

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

tb = tiempo transcurrido = 3 seg

vbx = velocidad según x en el instante tb = vox

vox = velocidad del lanzamiento según x = 20 m/s

tb = tiempo transcurrido = 3 seg

 

Reemplazando

vb  = ((20 m/s)^2 + (50 m/s – 10 m/s² 3 seg)^2]^(1/2) = 28,28 m/s

 

Ecb = 1 /2 m vb^2 = 1 /2 20 kg (28,28 m/s)^2 = 8 000 J

 

 

Energía potencial (Ep)

No hay fuerzas No conservativas à Em se conserva

 

Epb = Eo – Ecb = 29 000 J – 8 000 J = 21 000 J

 

 

 

b.c. Ec y Ep a 100 m de altura;

 

Energía potencial (Ep)

Epc = m g h

 

Donde

m = masa de la partícula = 20 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

h = altura = 100 m

 

Reemplazando

Epc = 20 kg 10 m/s² 100 m = 20 000 J

 

Energía cinética (Ec)

No hay fuerzas No conservativas à Em se conserva

Ecc = Eo – Epc = 29 000 J – 20 000 J = 9 000 J

 

 

 

b.d. la altura del cuerpo cuando Ec se reduce un 80% de su valor inicial. Situar el cero de energía potencial en la superficie terrestre.

 

Energía cinética (Ec)

Ecd = Eco (1 – 80%) = 29 000 J 0,20 = 5 800 J

 

Energía potencial (Ep)

Epd = m g hd

 

Donde

Epd = energía potencial en d = Eo – Ecd = 29 000 J – 5 800 J = 23 200 J

hd = altura

 

Reemplazando y despejando hd

hd = Epd / m g = 23 200 J / (20 kg 10 m/s² ) = 116 m

 

 

			.e
.a. inicial			.e.a.
Eca	25 000 J	<	29 000 J	Aporte de la componente horizontal
Epa	0 J	=	0 J
E	25 000 J	<	29 000 J
.b.  t = 3 seg			.e.b.
Ecb	4 000 J	<	8 000 J	Aporte de la componente horizontal
Epb	21 000 J	=	21 000 J
.c. h = 100 m			.e.c.
Ecc	5 000 J	<	9 000 J	Aporte de la componente horizontal
Epc	20 000 J	=	20 000 J
.d. Ec * 20%			e.d.
.h	100 m	<	116 m	Aporte de la componente horizontal

 

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.9 - Trabajo y Energía

Una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza de atracción inversamente proporcional al cuadrado del radio, F = - k / r². La trayectoria es un círculo de radio r. Mostrar que:

 

a.     la velocidad es v = (k / m r)^1/2

 

F = m ac

 

Donde

F = fuerza de atracción = - k / r^2

m = masa

ac = aceleración centrípeta = - v^2 / r

v = velocidad

 

Reemplazando

k / r^2 = m v^2 / r

 

Despejando v

v = [k / (m r)]^(1/2)

 

 

 

b.     la energía total es E = - k / 2r, y

 

Em = Ec + Ep

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinética = 1 / 2 m v^2

Ep = energía potencial

 

Ep = ∫ F dr = ∫ k / r^2 dr = k (- 1 / r)  

 

Reemplazando

Em = 1 /2 m (k / (m r)) -  k / r = - 1 /2 k / r

 

 

 

c.      el momento angular es L = (m k r)^1/2.

 

L = r x m v = r m [k / (m r)]^(1/2) = [ m k r ]^(1/2)

 

Donde

L = momento angular

 

Reemplazando

L = r m [k / (m r)]^(1/2) = [ m k r ]^(1/2)

 

 

 

d.     Relacionar lo visto en este problema con lo que le sucede a una partícula que se mueve en órbitas circulares alrededor de La Tierra. Considerar el potencial cero en el infinito.

 

FG = - G M / r^2

 

Donde

FG = fuerza gravitatoria

G = constante de gravitación universal

M = masa de la Tierra

m = masa del satélite

r = distancia entre el satélite y el centro de la Tierra

 

Reemplazando

FG = - (G M m) / r^2 à k = G M m

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.8 - Trabajo y Energía

Sobre una superficie horizontal con rozamiento despreciable, hay una partícula de masa m unida a un resorte de constante elástica k. El resorte se estira una distancia a y se suelta.

 

a.     Relacionar la energía potencial de la partícula en función de x con su energía cinética.

 

Em = Ec + Epe

 

Donde

Em = energía mecánica

Ex = energía cinética

Epe = energía potencial elástica = 1 /2 k x^2

k = constante elástica

x = distancia estirada del resorte

 

Reemplazando

Em = Ec + 1 /2 k x^2

 

 

b.     ¿En qué posiciones son nulas?

 

Epe = 0 à x = 0  

 

 

c.       ¿En qué posiciones son máximas o mínimas? 

 

Epe max à x = + a

Epe min à x = - a