Física 1 (Exactas) Practica 2.9 – Dinámica

Un hilo inextensible pasa a través de un tubo delgado de vidrio y dos cuerpos de masas M y m (M > m) penden de los extremos del hilo como se indica en la figura. El cuerpo m realiza una trayectoria circular alrededor del tubo, en un plano horizontal, de tal forma que M permanece en reposo. El período del movimiento es T.

 

 

a)     Diga cuál es el ángulo entre el hilo y el tubo en función de m y M.

 

 

Cuerpo m según y: Tey – Pm = 0

Cuerpo m según r: Ter = m ac

Cuerpo M según y: Te – PM = 0

 

Donde

Ty = componente según y de la tensión = Te cos θ

Tr = componente según r de la tensión = Te sen θ

Te = tensión del hilo

θ = angulo entre el hilo y el tubo (cos θ = h / L)

h = diferencia de altura = L cos θ

Pm = peso del cuerpo m = m g

PM = peso del cuerpo M = M g

ac = aceleración centrípeta = ω^2 R

ω = velocidad angular = 2π / T

T = periodo

R = radio de giro = L sen θ

 

Despejando Te de la ecuación de la masa M

Te = M g

 

Reemplazando en la ecuación según y de la masa m

M g cos θ = m g

 

Despejando cos θ

cos θ = m / M

θ = arco cos (m / M)

 

 

b)    Exprese el valor de L en función de T, m, M y g.

  

Reemplazando en la ecuación radial

M g sen θ = m (2π /T)^2 L sen θ

 

Despejando L

L = M / m  (T / (2π))^2  g

 

  

c)     Exprese T en función de g y h.

 

cos θ = m / M = h / L (ver figura)

 

Despejando L

L = h M / m

 

Igualando L

h M / m = M / m (T / (2π))^2  g

 

despejando T

T = 2π raíz (h / g)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.8 – Dinámica

Considere una partícula de masa m sujeta a una varilla rígida que le comunica un movimiento circular uniforme con velocidad angular de módulo w en un plano vertical.

 

 

a)     Escriba la ecuación de Newton para la partícula y las condiciones de vínculo.

 

 

Según r: F + Pr = m ac

Según y: Pt = 0

 

Donde

F = fuerza que ejerce la barra rigida

Pr = componente según r de P = P cos φ

Pt = componente según t de P = P sen φ

P = peso de la particula = m g

φ = angulo de la barra con la horizontal

m = masa de la particula

g = aceleración de la gravedad 

ac = aceleración centrípeta = ω^2  R

ω = velocidad angular

R = radio

 

 

b)    Calcule la fuerza ejercida por la barra en función del ángulo j.

 

Reemplazando en la ecuación radial y despejando F

F = ω^2 R - m g cos φ

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.7 – Dinámica

 Se tiene una partícula de masa m unida al extremo de una barra rígida, sin masa, de longitud L. La barra es libre de girar (en el plano vertical) alrededor de su otro extremo, fijo en un punto P.

 

 

Si se conoce la velocidad vo de la partícula cuando pasa por el punto más bajo de su trayectoria, determine:

 

a)     El ángulo θv para el cual la velocidad se anula.

 

 

Ecuaciones de Newton

Según r:  Pt   = m at

Según y: T - Pr = m ac

 

donde

T = fuerza sobre la barra

Pr = componente radial del peso = P cos θ

Pt = componente tangencial del peso = P sen θ

θ = ángulo con la vertical

P = peso = m g

m = masa

g = aceleración de la gravedad

at = aceleración tangencial

ac = aceleracción centrípeta = v^2 / L

L = longitud de la barra

 

Reemplazando en la ecuación tangencial

m g sen θ = m at

at = dv/dt = dv/dq dq/dt = dv/dq ω = dv/dq v / L

 

Reemplazando y reordenando

L g sen q dq =  v  dv

 

Integrando

g L cos q  =  1 /2  v^2 + C

 

Despejando v^2

v^2 =  2 g L cos q - 2 C

 

Condiciones iniciales ( q = 0; v = vo)

vo^2 =  2 g L cos 0 - 2 C =  2 g L – 2 C

 

Despejando C

C = - 1 /2 vo^2 + g L

 

Reemplazando en v^2

v^2 = - 2 g L cos q - 2 (- 1 /2 vo^2 + g L)

v^2 = -  2 g L cos q + vo^2 - 2 g L = 0

 

Despejando q

cos q = (1 /2 vo^2 -  g L) / g L

 qv = arco cos (1 /2 vo^2 -  g L) / g L)

 

 

b)    El ángulo θf para el cual la fuerza que hace la barra sobre m se anula. Notar que θf podría no existir.

 

Reemplazando en la ecuación radial

T – m g cos θ = m [- 2 g L cos q + vo^2 – 2 g L)] / L

 

Despejando q ( con T = 0)

- g L cos q = - 2 g L cos q + vo^2 – 2 g L

cos q =  (vo^2 - 2 g L) / (g L)

qf = arco  cos ((vo^2 - 2 g L) / (g L))

 

Para que exista qf à vo^2 / g L - 2  < 1 à  vo^2 / g L  <  3   

 

c)     ¿Bajo qué condiciones se puede reemplazar la barra por una cuerda inextensible sin modificar la cinemática de la partícula? Justifique.

 

La cuerda inextensible solo genera fuerzas de Tensión

La barra puede generar fuerzas de Tensión y Reacción, dependiendo del ángulo

 

 à  Si  | qv | < 90 ° solo hay tensión

  

d)     Analice el problema numéricamente para varias condiciones iniciales. ¿Qué tipo de movimiento observa? Generar un gráfico que muestre la dependencia del período de movimiento con su amplitud.

 

El movimiento es oscilatorio armonico 

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.6 – Dinámica

 Una masa se desliza sobre una semiesfera de radio R sin fricción.

 

a)     Calcular el ángulo q para el cual se separa de la superficie esférica si inicialmente la masa m es apartada, en un ángulo muy pequeño, de q = 0 y su velocidad inicial es cero.

 

 

 

Según r: N – Pr = -  m ac

Según q: - Pq = - m at

 

Donde

N = reacción de la superficie de la esfera

Pr =  componente según r de P = P cos q

Pq =  componente según q de P (tangencial) = P sen q

P = peso de la masa = m g

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

at = aceleración tangencial = R α

α = aceleración angular

v = velocidad de la masa

R = radio de la esfera

 

Reemplazando

.N -  m g cos q = - m  v^2 / R

 

Reemplazando en la ecuación según q

m g sen q =  m at

 

at = dv/dt = dv/dq dq/dt = dv/dq ω = dv/dq v / R

 

Reemplazando y reordenando

R g sen q =  v  dv/dq

 

Integrando

 - g R cos q  =  1 /2  v^2 + C

 

Condiciones iniciales ( q = 0; v = 0)

 - g R cos 0  =  C à C = - g R

 

Reemplazando y despejando v^2

v^2 = 2 g R ( 1 – cos q)

 

Reemplazando en la ecuación radial y despejando N

N = 3  m g cos q  -  2 m g

 

La masa se despega cuando N = 0

3  m g cos q  -  2 m g = 0

 

Despejando cos q

cos q = 2 / 3 à  q = arco cos (2 / 3) = 48,2° 

 

b)    Si la masa m se engarza en un riel semicircular sin fricción de radio R, hallar la velocidad con que llega al suelo. ¿Qué aceleración tangencial tiene m en ese instante?

Según r: N = -  m ac

Según q: - P = - m at

 

Reemplazando

m g = m at

 

Despajando at

at = g

 

Reemplazando q = π/2  en la ecuación de v

v^2 = 2 g R (1 – cos π/2)

 

Despejando v

v = raíz cuadrada (2 g R)

 

c)     Si la bolita está engarzada en el riel, estime numéricamente el tiempo que tarda en llegar al suelo si R = 1 cm, 10 cm, 50 cm, 100 cm. Confeccione un gráfico del tiempo de llegada en función de g/R (si lo necesita, calcule el tiempo para otros valores de R).

 

v = Raíz (2 g R ( 1 – cos q))

v = ω R = dq/dt  R  = Raíz cuadrada (2 g R ( 1 – cos q)) 

dq/dt = Raíz (2 g / R) Raíz ( 1 – cos q)

 

Reordenando

dq / Raíz ( 1 – cos q) = Raíz  (2 g / R)  dt

 

Integrando

raíz(2) [1/ 2 ln |(sec (q/2) + 1| - 1/ 2 ln |(sec (q/2) -1| ] = raíz ( 2 g / R) t

 

Reordenando y despejando t

t = raíz (R / 2 g) [1/ 2 ln | (sec (π/4) + 1| - 1/ 2 ln | (sec (π/4) -1|] = raíz (R/ 2 g) * 0,88

 

R	t
1 cm	0,02 seg
10 cm	0,06 seg
50 cm	0,14 seg
100 cm	0,20 seg