Física 1 Practica 12 Indice

   Física 1 - Exactas

Práctica 12 -  Dinámica del cuerpo rígido

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Física 1 (Exactas) Práctica 12.1 - Dinámica del cuerpo rígido

El sistema de la Figura consiste de dos cuerpos de masas m₁ y m₂ unidos por una cuerda inextensible que pasa a través de una polea cilíndrica homogénea de masa m_p, que no posee rozamiento con su eje. Calcule la aceleración de las masas. Observe que el resultado no depende del radio de la polea. 

 

Suponiendo m2 baja

Ecuaciones de Newton

Cuerpo 1: T1 – P1 = m1 a1

Cuerpo 2: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

a1 = aceleración del cuerpo 1

T2 = tensión del cuerpo 2

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

a1 = a2 = a (soga ideal)

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 – m1 g = m1 a

m2 g – T2 = m2 a2

 

Despejando T1 y T2 de las dos ecuaciones

T1 = m1 a + m1 g

T2 = m2 g – m2 a

 

Restando ambas ecuaciones

T2 – T1 = m2 g – m2 a – (m1 a + m1 g)

 

 

Polea: Torque respecto de su eje central

T2 R – T1 R = I α

 

Donde

R = radio de la polea

I = momento de inercia = 1 /2 mp R^2

mp = masa de la polea

α = aceleración angular de la polea = a / R

 

T2 R – T1 R = 1/ 2 mp R^2 (a / R)

T2 – T1 = 1/ 2 mp a

 

Igualando

1/ 2 mp a = (m2 – m1) g – (m1 + m2) a

 

Despejando a

a = (m2 – m1) g / (m1 + m2 + 1/ 2 mp)

 

Física 1 (Exactas) Práctica 11.11 - Cinemática del cuerpo rígido

Un cilindro de radio R = 10 cm rueda sin resbalar sobre un plano horizontal. Su centro se desplaza con velocidad v_C = 10 cm/s. Para los puntos P (periférico), Q (a distancia R/2 del centro) y A (sobre una manivela de longitud 2R fija al cilindro):

 

 

a)      Hallar el vector velocidad en función del tiempo.

 

vC = ω R  (condición de rodadura)

 

Donde

vC = velocidad del CM = 10 cm/s (ǐ)

ω = velocidad angular

R = radio del cilindro = 10 cm

 

Reemplazando

ω = vC / R = 10 cm/s / 10 cm = 1 /seg

Ω = velocidad de rotación = - 1 /seg (ǩ)

P = punto periférico (R = 10 cm)

 

vP  = vCM + Ω x rPCM

 

donde

vP = velocidad en el punto P

vCM = velocidad del CM = 10 cm/s (ǐ)

Ω = velocidad de rotacion = - 1 /seg (ǩ)

rPCM = vector entre P y CM = R cos(α(t)) (ǐ) + R sen(α(t)) (ǰ)

R = distancia al CM = 10 cm

α(t) = variación del angulo respecto del tiempo t = ω t + αP

ω = velocidad angular = - 1 /seg

 

Calculando el producto vectorial

Ω x rPCM = ( ω (ǩ)) x (R cos(α(t)) (ǐ) + R sen(α(t)) (ǰ) =

                  = - ω R sen(α(t)) (ǐ) + ω R cos(α(t)) (ǰ)

                  =  - (- 1 /seg) 10 cm sen (- 1/s t + αP) (ǐ) + (- 1 /seg) 10 cm cos (- 1/s t + αP) (ǰ)

 

Reemplazando

vP  = vCM + Ω x rPCM

vP  = [10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)] (ǐ) – 10 cm/s cos (- 1/s t + αP) (ǰ) 

 

 

Q = punto interno (R/2)

 

vQ  = vCM + Ω x rQCM

 

donde

vQ = velocidad en el punto Q

vCM = velocidad del CM = 10 cm/s (ǐ)

Ω = velocidad de rotacion = - 1 /seg (ǩ)

rQCM = vector entre Q y CM = R/2  cos(α(t)) (ǐ) + R/2 sen(α(t)) (ǰ)

R = distancia al CM = 10 cm

α(t) = variación del angulo respecto del tiempo t = ω t + αo

αo  = angulo inicial =  αQ

ω = velocidad angular = - 1 /seg

 

Calculando el producto vectorial

Ω x rQCM = ( ω (ǩ)) x (R/2 cos(α(t)) (ǐ) + R/2 sen(α(t)) (ǰ) =

                  = - ω R/2 sen(α(t)) (ǐ) + ω R/2 cos(α(t)) (ǰ)

                  =  - (- 1 /seg) 5 cm sen (- 1/s t + αQ) (ǐ) + (- 1 /seg) 5 cm cos (- 1/s t + αQ) (ǰ)

 

Reemplazando

vQ  = vCM + Ω x rQCM

vQ  = [10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)] (ǐ) – 5 cm/s cos (- 1/s t + αQ) (ǰ) 

 

 

A = punto externo (2 R)

 

vA  = vCM + Ω x rACM

 

donde

vA = velocidad en el punto A

vCM = velocidad del CM = 10 cm/s (ǐ)

Ω = velocidad de rotacion = - 1 /seg (ǩ)

rACM = vector entre A y CM = 2 R cos(α(t)) (ǐ) +2 R sen(α(t)) (ǰ)

R = distancia al CM = 10 cm

α(t) = variación del angulo respecto del tiempo t = ω t + αo

αo  = angulo inicial =  αA

ω = velocidad angular = - 1 /seg

 

Calculando el producto vectorial

Ω x rACM = (ω (ǩ)) x (2 R cos(α(t)) (ǐ) + 2 R sen(α(t)) (ǰ) =

                  = - ω 2 R sen(α(t)) (ǐ) + ω 2 R cos(α(t)) (ǰ)

                  =  - (- 1 /seg) 20 cm sen (- 1/s t + αA) (ǐ) + (- 1 /seg) 20 cm cos (- 1/s t + αA) (ǰ)

 

Reemplazando

vA  = vCM + Ω x rPCM

 vA  = [10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)] (ǐ) – 20 cm/s cos (- 1/s t + αA) (ǰ) 

 

 

 

b)     Dibujar la hodógrafa correspondiente (es decir, v_y(v_x)). 

 

Punto P

vP  = [10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)] (ǐ) – 10 cm/s cos (- 1/s t + αP) (ǰ) 

 

segun x: vxP =  [10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)] à vxP – 10 cm/s = 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)

segun y: vyP =  - 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)

 

Elevando al cuadrado y sumando

(vxP – 10 cm/s)^2 + vyP^2 = (10 cm/s)^2

  

Punto Q

vQ  = [10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)] (ǐ) – 5 cm/s cos (- 1/s t + αQ) (ǰ) 

 

segun x: vxQ =  [10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)] à vxQ – 10 cm/s = 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)

segun y: vyQ =  - 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)

 

Elevando al cuadrado y sumando

(vxQ – 10 cm/s)^2 + vyQ^2 = (5 cm/s)^2

 

 

Punto A

vA  = [10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)] (ǐ) – 20 cm/s cos (- 1/s t + αA) (ǰ) 

 

segun x: vxA =  [10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)] à vxA – 10 cm/s = 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)

segun y: vyA =  - 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)

 

Elevando al cuadrado y sumando

(vxA – 10 cm/s)^2 + vyA^2 = (20 cm/s)^2

 

 

c)      Graficar el módulo de la velocidad en función del tiempo.

(vxP – 10 cm/s)^2 + vyP^2 = (10 cm/s)^2

(vxQ – 10 cm/s)^2 + vyQ^2 = (5 cm/s)^2

(vxA – 10 cm/s)^2 + vyA^2 = (20 cm/s)^2

 

 

d)     Graficar las componentes v_x(t) y v_y(t).

vxP = 10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)

vxQ = 10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)

vxA = 10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)

 

vyP =  - 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)

vyQ =  - 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)

vyA =  - 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)

 

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 11.10 - Cinemática del cuerpo rígido

 Los discos de la figura (R = 10 cm) tienen movimiento plano. Halle:

 

 

Caso A

 

a)      La posición del eje instantáneo de rotación.

 

Punto P = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0

 

Punto A:

rA = vector A y P = 0 (ǐ) + 10 cm (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǰ)

vA = velocidad A = 20 cm/s (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 20 cm/s (ǐ)

 

Punto B:

rB = vector B y P = 0 (ǐ) + (- 10 cm) (ǰ) + 0 (ǩ) = - 10 cm (ǰ)

vB = velocidad B = -10 cm/s (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = -10 cm/s (ǐ)

 

 

vA = vB + Ω x BA

 

Donde

vA = velocidad A = 20 cm/s (ǐ)

vB = velocidad B = -10 cm/s (ǐ)

Ω = velocidad de rotación = ω (ǩ) (movimiento plano)

BA = vector B y A = rA – rB = 10 cm (ǰ) - (- 10 cm) (ǰ) = 20 cm (ǰ)

 

Calculando el producto vectorial

 Ω x BA = ω (ǩ) x 20 cm (ǰ) = - 20 cm ω (ǐ)

 

Reemplazando

20 cm/s (ǐ) = - 10 cm/s (ǐ) - 20 cm ω (ǐ)

Seguin (ǐ): 20 cm/s = - 10 cm/s - 20 cm ω

 

Despejando ω

ω = (20 cm/s + 10 cm/s) / (- 20 cm) = - 1,5 /seg

 

Posición del eje EIR

Punto C = pertenece al eje à vC = 0

rC = xC (ǐ) + yC (ǰ) + zC (ǩ)

vC = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0

 

vA = vC + Ω x CA

 

Donde

vA = velocidad A = 20 cm/s (ǐ)

vC = velocidad C = 0

Ω = velocidad de rotación = - 1,5 /seg (ǩ) (movimiento plano)

CA = vector C y A = rA – rC = 10 cm (ǰ) - (yC) (ǰ) = xC (ǐ) + (10 cm – yC) (ǰ) + zC (ǩ)

 

Calculando el producto vectorial

 Ω x CA = - 1,5 /seg (ǩ) x (xC (ǐ) + (10 cm – yC) (ǰ) + zC (ǩ)) = 1,5 / seg (10 cm – yC) (ǐ)

 

Reemplazando

20 cm/s = 15 cm/seg – 1,5 /seg yC

 

Despejando yC

yC = (20 cm/s – 15 cm/s) / (1,5 /seg) = - 10/3 cm

 

Reemplazando en rC

rC = 0 (ǐ) + (- 10/3 cm) (ǰ) + 0 (ǩ)

 

EIR es una recta perpendicular al plano que pasa por (0; - 10/3 cm)

 

 

b)     El vector Ω.

 

 ω = (20 cm/s + 10 cm/s) / (- 20 cm) = - 1,5 /seg

 

Ω = velocidad de rotación = - 1,5 /seg (ǩ)

 

 

c)      La velocidad del punto P.

 

vP = vC + Ω x CP

 

Donde

vP = velocidad P = vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ)

vC = velocidad C = 0

Ω = velocidad de rotación = - 1,5 /seg (ǩ) (movimiento plano)

CP = vector C y P =. rP – rC = (0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ)) – (0 (ǐ) + (- 10/3 cm) (ǰ) + 0 (ǩ)) = 10/3 cm (ǰ)

 

Calculando el producto vectorial

Ω x CP = (- 1,5 /seg (ǩ)) x (10/3 cm (ǰ)) = 5 cm/s (ǐ)

 

Reemplazando

vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ) = 0 + 5 cm/s (ǐ) = 5 cm/s (ǐ)

 

vP = 5 cm/s (ǐ)

 

 

Caso B

 

a)      La posición del eje instantáneo de rotación.

 

Punto P = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0

 

Punto A:

rA = radio entre A y P = 0 (ǐ) + 10 cm (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǰ)

vA = velocidad A = 20 cm/s (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 20 cm/s (ǐ)

 

Punto B:

rB = radio entre B y P = 10 cm (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǐ)

vB = velocidad B = 20 cm/s (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 20 cm/s (ǐ)

 

 

vA = vB + Ω x BA

 

Donde

vA = velocidad A = 20 cm/s (ǐ)

vB = velocidad P = 20 cm/s (ǐ)

Ω = velocidad de rotación = ω (ǩ) (movimiento plano)

BA = radio entre B y A = rA – rB= 10 cm (ǰ) – 10 cm (ǐ) = – 10 cm (ǐ) + 10 cm (ǰ)

 

 

Calculando el producto vectorial

Ω x BA = ω (ǩ) x (– 10 cm (ǐ) + 10 cm (ǰ)) = - 10 cm ω (ǰ) - 10 cm ω (ǐ)

 

Reemplazando

20 cm/s (ǐ) = 20 cm/s (ǐ) - 10 cm ω (ǰ) - 10 cm ω (ǐ)

Seguin (ǐ): 20 cm/s = 20 cm/s   - 10 cm ω 

Seguin (ǰ): 0 = - 10 cm ω 

 

 

Despejando ω

ω = (20 cm/s - 20 cm/s) / (- 10 cm) = 0 (no rota)

 

 

Posición del eje EIR

 

El cuerpo NO rota, traslación pura à EIR en el infinito

 

 

b)                El vector Ω.

 

ω = (20 cm/s - 20 cm/s) / (- 10 cm) = 0 (no rota) à Ω =  0

 

  

     c)            La velocidad del punto P.

Traslación pura à vP = vA = vB = 20 cm/s

 

Caso C

a)      La posición del eje instantáneo de rotación.

 

Punto P = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0

 

Punto A:

rA = radio entre A y P = 0 (ǐ) + 10 cm (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǰ)

vA = velocidad A = 20 cm/s (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 20 cm/s (ǐ)

 

Punto B:

rB = radio entre B y P = 10 cm (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǐ)

vB = velocidad B = 0 (ǐ) - 20 cm/s (ǰ) + 0 (ǩ) = - 20 cm/s (ǰ)

 

 

vA = vB + Ω x BA

 

Donde

vA = velocidad A = 20 cm/s (ǐ)

vB = velocidad P = - 20 cm/s (ǰ)

.Ω = velocidad de rotación = ω (ǩ) (movimiento plano)

BA = radio entre B y A = rA – rB= 10 cm (ǰ) – 10 cm (ǐ) = – 10 cm (ǐ) + 10 cm (ǰ)

 

 

Calculando el producto vectorial

Ω x BA = ω (ǩ) x (– 10 cm (ǐ) + 10 cm (ǰ)) = - 10 cm ω (ǰ) - 10 cm ω (ǐ)

 

Reemplazando

20 cm/s (ǐ) = - 20 cm/s (ǰ) - 10 cm ω (ǰ) - 10 cm ω (ǐ)

Seguin (ǐ): 20 cm/s = - 10 cm ω (ǐ)

 

Despejando ω

ω = 20 cm/s / (- 10 cm) = - 2 /seg

 

 

Posición del eje EIR

 

Punto C = pertenece al eje à vC = 0

rC = xC (ǐ) + yC (ǰ) + zC (ǩ)

vC = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0

 

 

vA = vC + Ω x CA

 

Donde

vA = velocidad A = 20 cm/s (ǐ)

vC = velocidad C = 0

Ω = velocidad de rotación = - 2 /seg (ǩ) (movimiento plano)

CA = vector C y A = rA – rC = 10 cm (ǰ) - (yC) (ǰ) = xC (ǐ) + (10 cm – yC) (ǰ) + zC (ǩ)

 

Calculando el producto vectorial

Ω x CA = - 2 /seg (ǩ) x (xC (ǐ) + (10 cm – yC) (ǰ) + zC (ǩ)) = 2 / seg (10 cm – yC) (ǐ)

 

Reemplazando

20 cm/s = 0 + 2 / seg (10 cm – yC) = 0 + 20 cm/s - 2 /seg yC

 

Despejando yC

yC = (20 cm/s – 20 cm/s) / (2 /seg) = 0 cm

 

Reemplazando en rC

rC = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = rP

 

EIR es una recta perpendicular al plano que pasa por P

 

  

b)                El vector Ω.

 

ω = 20 cm/s / (- 10 cm) = - 2 /seg

 

Ω = velocidad de rotación = - 2 /seg (ǩ)

 

 

 

c)      La velocidad del punto P.

 

vP = vA + Ω x AP

 

Donde

vP = velocidad P = vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ)

vA = velocidad A = 20 cm/s (ǐ)

Ω = velocidad de rotación = - 2 /seg (ǩ) (movimiento plano)

AP = vector A y P =. rP – rA = (0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ)) – (0 (ǐ) + 10 cm (ǰ) + 0 (ǩ)) = - 10 cm (ǰ)

 

Calculando el producto vectorial

Ω x CP = (- 2 /seg (ǩ)) x (- 10 cm (ǰ)) = - 20 cm/s (ǐ)

 

Reemplazando

vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ) = 20 cm/s (ǐ) - 20 cm/s (ǐ) = 0

 

vP = 0

 

 

 

Caso D

 

 

a)      La posición del eje instantáneo de rotación.

 

Punto P = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0

 

Punto A:

rA = vector A y P = 0 (ǐ) + 10 cm (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǰ)

vA = velocidad A = 10 (2)^(1/2) sen 45° cm/s (ǐ) - 10 (2)^(1/2) cos 45° cm/s (ǰ) + 0 (ǩ)

                               = 10 cm/s (ǐ) – 10 cm/s (ǰ)

 

Punto P:

.rP = centro del disco = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0

vP = velocidad P = 0 (ǐ) - 10 cm/s (ǰ) + 0 (ǩ) = - 10 cm/s (ǰ)

 

 

vA = vP + Ω x PA

 

Donde

vA = velocidad A = 10 cm/s (ǐ) – 10 cm/s (ǰ)

vP = velocidad P = - 10 cm/s (ǰ)

Ω = velocidad de rotación = ω (ǩ) (movimiento plano)

PA = vector A = rA – rP = 10 cm (ǰ)

 

Calculando el producto vectorial

 Ω x PA = ω (ǩ) x 10 cm (ǰ) = - 10 cm ω (ǐ)

 

Reemplazando

10 cm/s (ǐ) – 10 cm/s (ǰ) = - 10 cm/s (ǰ) -  10 cm ω (ǐ)

Según (ǐ): 10 cm/s = - 10 cm ω

Según (ǰ): - 10 cm/s = - 10 cm/s

 

Despejando ω

ω = 10 cm/s / (- 10 cm) = - 1 /seg

 

 

Posición del eje EIR

 

Punto C = pertenece al eje à vC = 0

rC = xC (ǐ) + yC (ǰ) + zC (ǩ)

vC = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0

 

vP = vC + Ω x CA

 

Donde

vP = velocidad P =– 10 cm/s (ǰ)

vC = velocidad C = 0

Ω = velocidad de rotación = - 1 /seg (ǩ) (movimiento plano)

CP = - vector C = – rC = - (xC (ǐ) + yC (ǰ) + zC (ǩ))

 

Calculando el producto vectorial

Ω x CP = - 1 /seg (ǩ) x (- xC (ǐ) - yC) (ǰ) - zC (ǩ))

                = -1 /seg yC (ǐ) + 1/seg  xC (ǰ)

 

Reemplazando

 – 10 cm/s (ǰ) = 0 - 1 /seg yC (ǐ) + 1 /seg  xC (ǰ)

Según (ǐ): 0 = - 1 /seg yC

Seguin (ǰ): – 10 cm/s  =  + 1 /seg  xC

 

Despejando xC y yC

xC =  - 10 cm/s / (1 /seg) =  - 10 cm

yC = 0 cm

 

Reemplazando en rC

rC = - 10 cm (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ)

 

EIR es una recta perpendicular al plano que pasa por (- 10 cm; 0 cm)

 

 

b)     El vector Ω.

 

 ω = 10 cm/s / (- 10 cm) = - 1 /seg

 

Ω = velocidad de rotación = - 1 /seg (ǩ)

 

 

c)      La velocidad del punto P.

 

vP = vC + Ω x CP

 

Donde

vP = velocidad P = vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ)

vC = velocidad C = 0

Ω = velocidad de rotación = - 1 /seg (ǩ) (movimiento plano)

CP = - vector C = – rC = 10 cm (ǐ)

     

 

Calculando el producto vectorial

Ω x CP = (- 1 /seg (ǩ)) x (10 cm (ǐ)) = - 10 cm/s (ǰ)

 

Reemplazando

vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ) = 5 cm/s (ǐ) - 10 cm/s (ǰ)

 

 

vP = - 10 cm/s (ǰ)

 

| vP | = 10 cm/s