Física 1 (Exactas) Practica 0 – 2. 18. Cinemática

 Desde una terraza a 40 m del suelo se lanza hacia arriba una piedra con velocidad 15 m/s,

 

a)     ¿Con qué velocidad vuelve a pasar por el nivel de la terraza?

 

Ecuaciones horarias

y(t) = yo + vo t - 1/ 2 g t^2

v(t) = vo - g t

 

Donde

y(t) = altura en el instante t

yo = altura inicial = 40 m

vo = velocidad inicial = 15 m/s

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo transcurrido

v(t) = velocidad en el instante t

 

Reemplazando en la ecuación de la altura (y = 40 m)

40 m = 40 m + 15 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s²  t^2

 

Reordenando

1/ 2 * 10 m/s²  t^2 – 15 m/s t = 0

 

Esta ecuación tiene dos soluciones

t1 = 0 (en el momento que se lanza)

t2 = 2 * 15 m/s / 10 m/s² = 3 s

 

Reemplazando en la ecuación de la velocidad

v(3s) = 15 m /s - 10 m/s²  3 s = - 15 m/s

 

 

b)    ¿Cuándo llega al suelo?

 

Reemplazando en la ecuación de la altura para y = 0 (piso)

0 m = 40 m + 15 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s²  t^2

 

Esta ecuación tiene dos soluciones

t1 = - 1,70 s (descartado)

t2 = 4,70 s

 

 

c)     Cuándo y dónde se encuentra con una piedra arrojada desde el suelo hacia arriba con una velocidad de 55 m/ y que parte desde el suelo en el mismo instante que la anterior?

 

Piedra 1

y1(t) = 40 m + 15 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s² t^2

 

Piedra 2

 

Ecuación horaria

y2(t) = y2o + v2o t - 1/ 2 g t^2

 

Donde

y2(t) = altura en el instante t

y2o = altura inicial = 0 m

v2o = velocidad inicial = 55 m/s

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

y2(t) = 55 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s² t^2

 

Encuentro = Igualando ambas ecuaciones y1(t) = y2(t)

40 m + 15 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s² t^2 = 55 m/s t  - 1/ 2 * 10 m/s² t^2

 

Reordenando

40 m + 15 m/s t – 55 m/s t = 0

 

Despejando t

t = 40 m / (40 m/s) = 1 s (tiempo del encuentro)

 

Reemplazando en la ecuación de la altura

y2(t) = 55 m/s 1 s   - 1/ 2 * 10 m/s² (1 s)^2 = 50 m (altura del encuentro)

 

 

d)    Represente gráficamente

y1(t) = 40 m + 15 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s² t^2

y2(t) = 55 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s² t^2

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 2. 17. Cinemática

 Una piedra en caída libre recorre 67 m en el último segundo de su movimiento antes de tocar el piso. Suponiendo que partió del reposo, determine la altura desde la cual cayó, el tiempo que tarda en llegar al piso y la velocidad de llegada.

 

Ecuaciones horarias

y(t) = yo + vo t  - 1/ 2 g t^2

y(t+1s) = yo + vo (t + 1 s)  - 1/ 2 g (t + 1 s)^2

 

Donde

y(t) = altura en el instante t

y(t+1s) = altura en el instante t + 1s (último segundo)

yo  = altura inicial

y(t) – y(t+1s) = 67 m  

vo = velocidad inicial = 0 

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

 

reemplazando

y(t) – y(t+1s) = (yo - 1/ 2 g t^2) – (yo - 1/ 2 g (t + 1 s)^2)

y(t) – y(t+1s) = 1 / 2 g t 1 s + 1 / 2 g (1s)^2

 

despejando t

t = (y(t) – y(t+1s) -  1 / 2 g (1s)^2) / (1 / 2 g 1 s)

  = (67 m - 1/ 2 * 10 m/s² 1s² ) / (1/ 2 * 10 m/s² 1s ) = 12,4 s

 

Tiempo que llega al piso = t + 1 s = 12,4 s + 1 s = 13,4 s

 

Ecuación horaria de la velocidad

v(t) = vo – g t

 

Donde

v(t) = velocidad en el instante t

 

Reemplazando para t = 13,4 s

v(13.4 s) = – 10 m/s² 13,4 s = - 134 m/s

 

Ecuación horaria de la altura

y(t) = yo - 1/ 2 g t^2

 

Donde

y(t) = altura en el instante t = 0 (piso)

yo  = altura inicial

t = tiempo que llaga al piso = 13,4 s

 

Reemplazando en la ecuación de la altura y despejando yo

yo = 1 / 2 10 m/s² (13,4 s)^2 = 897,8 m

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 2. 16. Cinemática

 Un cuerpo se deja caer desde un globo aerostático que desciende con velocidad 12 m/s,

 

a)     Elija un sistema de referencia y escriba las ecuaciones que describen el movimiento del cuerpo.

 

 Dirección de movimiento coincide con el eje y; positivo hacia arriba

Ecuaciones horarias

ya(t) = yo + vo t - 1/ 2 g t^2

va(t) = vo - g t

 

Donde

ya(t) = altura en el instante t

yo = altura inicial

va(t) = velocidad en el instante t

vo = velocidad inicial = - 12 m/s (desciende)

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

ya(t) = yo - 12 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s²  t^2

va(t) = - 12 m/s  - 10 m/s² t

 

 

b)    Calcule la velocidad y la distancia recorrida por el cuerpo al cabo de 10 s.

 

Reemplazando en las ecuaciones horarias t = 10 s

yb(10 s) = yo  - 12 m/s 10 s  - 1/ 2 * 10 m/s²  (10 s)^2 = yo – 620 m

 

Distancia recorrida b = yo – yb(10s) = 620 m (bajo)

 vb(10 s) = - 12 m/s - 10 m/s²  10 s = - 112 m/s

 

 

c)     Resuelva los incisos a) y b) considerando que el globo asciende a 12 m/s.

 

Dirección de movimiento coincide con el eje y; positivo hacia arriba

Ecuaciones horarias

yc(t) = yo + vo t  - 1/ 2 g t^2

vc(t) = vo - g t

 

Donde

yc(t) = altura en el instante t

yo = altura inicial

vc(t) = velocidad en el instante t

vo = velocidad inicial = 12 m/s (asciende)

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

yc(t) = yo + 12 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s²  t^2

vc(t) = 12 m/s  - 10 m/s² t

 

Reemplazando en las ecuaciones horarias t = 10 s

yc(10 s) = yo + 12 m/s 10 s - 1/ 2 * 10 m/s² (10 s)^2 = yo - 380 m

 

Distancia recorrida c = yo - y(10s) = 380 m (bajo)

vc(10 s) = 12 m/s - 10 m/s²  10 s = - 88 m/s

 

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 2. 15. Cinemática

 Un auto viaja por una ruta a 20 m/s, un perro se cruza a 50 m:

 

a)     ¿Cómo deben ser los sentidos de los vectores aceleración y velocidad para que el auto frene?

 

Frenado: velocidad (v)  y aceleración (a) con distintos sentidos

  

b)    ¿Cuál es la desaceleración mínima que debe imprimirse al automóvil para no chocar al perro?

 

Ecuaciones horarias

x(t) = xo + vo t + 1/ 2 a t^2

v(t) = vo + a t

 

Donde

x(t) = posición en el instante t = 50 m

xo = posición inicial = 0

vo = velocidad inicial = 20 m/s

a = aceleración

v(t) = velocidad en el instante t = 0

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando en la ecuación de la velocidad y despejando t

t = - vo / a

 

Reemplazando en la ecuación de la posición

x = vo (- vo / a) + 1/ 2 a (- vo / a)^2 =    - 1 / 2 vo^2 / a

 

Despejando a

a = - 1 / 2 vo^2 / x = - 1 / 2 (20 m/s)^2 / 50 m = - 4 m/s²

 

 

c)     Ídem b) teniendo en cuenta que el tiempo de respuesta del chofer es 0,3 s.

 

0 < t < 0,3 s

 

Ecuaciones horarias

x(t) = xo + vo t

 

Donde

x(t) = posición en el instante t

xo = posición inicial = 0

vo = velocidad inicial = 20 m/s

t = tiempo transcurrido = 0,3 s

 

Reemplazando

x(0,3 s) = 0 + 20 m/s 0,3 s = 6 m

 

0,3 < t

 

Ecuaciones horarias

x(t) = xo + vo t + 1/ 2 a t^2

v(t) = vo + a t

 

Donde

x(t) = posición en el instante t = 50 m - 6 m = 44 m

xo = posición inicial

vo = velocidad inicial = 20 m/s

a = aceleración

v(t) = velocidad en el instante t = 0

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando en la ecuación de la velocidad y despejando t

t = - vo / a

 

Reemplazando en la ecuación de la posición

x = vo (- vo / a) + 1/ 2 a (- vo / a)^2 =   - 1 / 2 vo^2 / a

 

Despejando a

a = - 1 / 2 vo^2 / x = - 1 / 2 (20 m/s)^2 / 44 m = - 4,55 m/s²

 

 

d) Muestre la situación calculada en b) y c) en un gráfico posición vs. tiempo.

 

xb(t) = 20 m/s t + 1/ 2 (- 4 m/s²) t^2

 

xc(t) = 20 m/s t (0 < t < 0,3 s)

xc(t) = 6 m + 20 m/s (t – 0,3 s) + 1/ 2 (- 4,55 m/s²) (t – 0,3 s)^2 (0,3 s < t)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 2. 14. Cinemática

 Un cuerpo viaja en línea recta con aceleración constante de módulo desconocido a y dirección como la de la Fig. En el instante t = 0 el móvil pasa por el punto A con velocidad vo como la de la Fig., en t = to el móvil pasa por B y tiene velocidad nula y en t = t1 el móvil pasa por C.

 

 

 

 a)     Elija un sistema de referencia y escriba las expresiones para la posición y la velocidad del móvil en función del tiempo, o sea x(t) y v(t).

Dirección de movimiento coincide con el eje x

 

Ecuaciones horarias

x(t) = xo + vo t + 1/ 2 a t^2

v(t) = vo + a t

 

Donde

x(t) = posición en el instante t

xo = posición inicial

vo = velocidad inicial

a = aceleración

v(t) = velocidad en el instante t

t = tiempo transcurrido

 

t = 0	x(0) = A	v(0) = vo
t = to	x(to) = B	v(to) = 0
t = t1	x(t1)  = C	v(t1) = v1

 

 b)    Halle a y la distancia AB.

Reemplazando en la ecuación de la velocidad en B

v(to) = vo + a to = 0

 

Despejando a

a = - vo / to

 

Reemplazando en la ecuación de la posición en B

B = A + vo to + 1/ 2 (- vo / to) to^2

AB = B – A = 1 /2 vo to

 

 

c)     Calcule la distancia BC y la velocidad del móvil cuando pasa por C, ¿puede usar para este cálculo las expresiones x(t) y v(t) que escribió en el inciso a)?

 

Reemplazando en la ecuación de la posición en C

C = A + vo t1 + 1/ 2 (- vo / to) t1^2

 

BC = C – B = A + vo t1 + 1/ 2 (- vo / to) t1^2 – (A + vo to + 1/ 2 (- vo / to) to^2) =

                    = vo t1 - 1/ 2 vo / to t1^2 - 1 /2 vo to

 

Reemplazando en la ecuación de la velocidad en C

v1 = vo – vo / to t1 = vo (1 – t1 / to)

 

 

d) ¿Halle la velocidad media entre A y B y entre A y C, coinciden estas dos velocidades medias? ¿Por qué?

 

vm = velocidad media = distancia recorrida / tiempo empleado

 

vmAB = AB / to

 

Reemplazando

vmAB = 1/ 2 vo to / to = 1/ 2 vo

 

 

vmAC = AC / t1

 

Reemplazando 

vmAC = (vo t1 + 1/ 2 (- vo / to) t1^2) / t1

vmAC = vo (1 - 1/ 2 t1 / to)

 

 No coinciden