Física 1 (Exactas) Práctica 9.5 - Teoremas de conservación

Sobre un plano inclinado de ángulo α  se encuentra una partícula de masa m sostenida por medio de una varilla rígida de longitud L al punto fijo O, de forma tal que la varilla es libre de girar alrededor de dicho punto.

Inicialmente la partícula se halla en el punto A con velocidad v₀ perpendicular a la dirección de la varilla (ver Figura). Considere que la varilla tiene masa despreciable y que no hay rozamiento entre la partícula y el plano. 

 

 

a)      Diga qué magnitudes se conservan para la partícula. Justifique sus respuestas. 

 

Energía mecánica

∆Em = Wfnc

No hay fuerzas no conservativas à energía mecánica se conserva

 

Momento angular (respecto de O)

Torque = r x P  = r m g sen α  ≠ 0 à momento angular NO se conserva

 

b)     Halle la velocidad angular de la partícula alrededor del punto O, como función del ángulo φ.

 

∆Em  = Em  - EmA

 

Donde

∆Em  = variación de la energía mecánica

Em = energía mecánica  = Ec + Ep

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

m = masa de la particula

v =velocidad tangencial = ω L

ω = velocidad angular

L = longitud de la barra

Ep = energía potencial = m g sen α h

α = angulo del plano inclinado

h = altura = L sen φ

φ = angulo de la varilla con la horizontal

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 1 /2 m vo^2

vo = velocidad tangencial en A

EpA = energía potencial en A (φ = -π/ 2) = - m g sen α L

 

Reemplazando

1 /2 m (ω L)^2 + m g sen α L sen φ = 1 /2 m vo^2 - m g sen α L

 

Despejando ω

ω  = - [ vo^2 – 2 g sen α L ( 1 + sen φ)]^(1/2) / L

 

 

 

c)      Halle la condición que debe satisfacer la velocidad v₀ para que la partícula dé un giro completo alrededor del punto O.

 

Para el giro completo  v ≥ 0 para  φ = π / 2

 

v  =  [ vo^2 – 2 g sen α L ( 1 + sen φ)]^(1/2)  

 

Reemplazando

v  = [ vo^2 – 2 g sen α L ( 1 + sen π/2)]^(1/2)  

     = [ vo^2 – 4 g sen α L]^(1/2) ≥ 0

 

Despejando vo

vo  ≥  2 (g sen α L)^(1/2)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 9.4 - Teoremas de conservación

Un cuerpo de masa m se halla sujeto a un resorte, de constante elástica k y longitud libre Lo, cuyo otro extremo está fijo a un eje. El sistema se encuentra sobre una superficie horizontal libre de rozamiento. En el instante inicial el resorte tiene una longitud 2 Lo y la masa m tiene una velocidad v₀ formando un ángulo α  con la dirección del resorte.

a)       Diga qué magnitudes se conservan, justificando su respuesta.

 

Fuerzas

Fe = fuerza elástica = - k ∆r (fuerza conservativa)

 

Magnitud que ser conseva

Energía mecánica: se conserva (no hay fuerzas no conservativas)

Momento angular (respecto al origen):  se conserva (Torque = r x Fe = 0)

(r y F son vectores colineales)

 

 

b)       Calcule la velocidad angular y la velocidad radial del cuerpo cuando la longitud del resorte es L = (3/2) Lo.

 

Velocidad angular

∆L = Lf – Li

 

Donde

∆L = variación del momento angular = 0 (se conserva)

Lf = momento angular final =  rf x pf = rf x m vf

Li = momento angular inicial == ri x pi = ri x m vi

 ri = distancia al origen = 2 Lo (ǐ)

pi = momento lineal inicial

m = masa

vi = velocidad inicial = vo cos α (ǐ) + vo sen α (ǰ)

rf = distancia al origen = 3/ 2  Lo 

pf = momento lineal final

m = masa

vf = velocidad final = rf ω

ω = velocidad angular

 

 

Reemplazando

Li = m 2 Lo (ǐ) (vo cos α (ǐ) + vo sen α (ǰ)) =  m 2 Lo vo  sen α (ǩ)

Lf(ǩ) = m (3 /2 Lo )^2  ω (ǩ)

 

Igualando

m 2 Lo vo sen α = m (3 /2 Lo )^2  ω

 

Despejado ω

 ω = 8 / 9 vo sen α / Lo

 

 

Velocidad radial

 

∆Em = Emf  -  Emi

 

Donde

∆Em = variación de la energía mecánica = 0 (se conserva)

Emf = energía mecánica final = 1/2 m vf^2 + 1/2 k ∆xf^2

 vf = velocidad final = vr (ǔr) + vθ (ǔθ)

vr = velocidad radial

vθ = velocidad tangencial = rf ω

rf = distancia al origen = 3/2  Lo

ω = 8 / 9 vo sen α / Lo

∆xf = variación de la longitud final = 3/2 Lo – Lo = 1/2 Lo

Emi = energía mecánica inicial = 1/2 m vi^2 + 1/2 k ∆xi^2

 vi = velocidad inicial = vo

k = constante del resorte

∆xi = variación de la longitud inicial = 2 Lo – Lo = Lo

 

Reemplazando

Emi = 1/2 m vo^2 + 1/2 k Lo^2

Emf = 1/2 m (vr^2 + (3/2 Lo 8/9 vo sen α / Lo)^2 ) + 1/2 k (1/2 Lo)^2

 

Igualando

1/2 m vo^2 + 1/2 k Lo^2 = 1/2 m (vr^2 + (4/3 vo sen α)^2)  + 1/2 k (1/2 Lo)^2

 

Reordenando

m vr^2 + m (4 / 3 vo sen α)^2  + (1 /4  – 1) k  Lo^2 –  m vo^2 = 0

 

Despejando vr

vr   = [vo^2 (1 – 16 / 9 (sen α)^2)  + 3 / 4 (k / m) Lo^2 ]^(1/2)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 9.3 - Teoremas de conservación

Una masa m₁ se halla atada al extremo de una cuerda inextensible de longitud L y masa despreciable. Cuando la cuerda forma un ángulo α con la vertical se suelta la masa m₁ con velocidad nula. Al pasar por el punto más bajo de la trayectoria la masa m₁ choca elásticamente con una masa m₂ que cuelga de una cuerda igual a la anterior y que se halla inicialmente en reposo.

a)      Calcular la velocidad de ambas masas un instante después del choque.

 

 

Antes del choque

 

∆Em = Emf – Emi

 

Donde

∆Em = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)

Emf = energía mecánica final = Ecf + Epf

Ecf = energía cinética final = 1 /2 m1 v1^2

m1 = masa de la particula 1

v1 = velocidad de la particula 1 antes del choque

Epf = energía potencial final = 0

Emi = energía mecánica inicial = Eci + Epi

Eci = energía cinética inicial = 0 (velocidad nula)

Epi = energía potencial inicial = m1 g h

h = altura inicial de la masa = L – L cos α

L = longitud de la cuerda

 

Reemplazando

1 /2 m1 v1^2  = m1 g L (1 - cos α)

 

Despejando v1

v1 = ( 2 g L ( 1 - cos α))^(1/2)

 

 

Choque

 

Choque elastico

m1 va1 + m2 va2 = m1 vd1 + m2 vd2 (momento lineal)

1 /2 m1 va1^2 + 1 /2 m2 va2^2 = 1/ 2 m1 vd1^2 + 1/ 2 m2 vd2^2 (energía cinética)

 

Donde

m1 = masa de la paticula 1

va1 = velocidad antes del choque de la particula 1 = (2 g L (1 - cos α))^(1/2)  

m2 = masa de la particula 2

va2 = velocidad antes del choque de la particula 2 = 0 (en reposo)

vd1 = velocidad después del choque de la particula 1

vd2 = velocidad después del choque de la particula 2

 

Reemplazando

m1 v1 = m1 vd1 + m2 vd2

m1 v1^2 =  m1 vd1^2 +  m2 vd2^2

 

Reordenando las ecuaciones

m1 (v1 – vd1) = m2 vd2

m1 (v1^2 – vd1^2) = m2 vd2^2

 

Cociente ambas ecuaciones

(v1 + vd1) = vd2

 

Reemplazando en la ecuación de momento

m1 v1 = m1 vd1 + m2 (v1 + vd1)

 

Despejando vd1

vd1 = v1 ( m1 – m2) / ( m1 + m2) =

        = (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2)

 

 

Cociente ambas ecuaciones

(v1 + vd1) = vd2

 

Despejando vd1

vd1 = vd2 – v1

 

Reemplazando en la ecuación de momento

m1 (v1 – (vd2 – v1) = m2 vd2

 

Despejando vd2

vd2 = 2 m1 v1 / ( m1 + m2) =

        = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)

 

 

b)     Calcular la altura máxima alcanzada por ambas masas después del choque.

 

Despues del choque

 

Particula 1

 

∆Em = Emf – Emi

 

Donde

∆Em = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)

Emf = energía mecánica final = Ecf + Epf

Ecf = energía cinética final = 1 /2 m1 vf1^2

vf1 = velocidad final de la particula 1 = 0

Epf = energía potencial final = m g hf1

hf1 = altura final de la particula 1 (altura máxima 1)

Emi = energía mecánica inicial = Eci + Epi

Eci = energía cinética inicial = 1 /2 m1 vi1^2

vi1 = velocidad después del choque de la particula 1 = vd1

Epi = energía potencial inicial = 0

 

Reemplazando

hf1 = [ 1 /2 m1  ((2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2))^2] / ( m1 g)

       =  L (1 - cos α)) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2

 

 

Particula 2

 

∆Em = Emf – Emi

 

Donde

∆Em = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)

Emf = energía mecánica final = Ecf + Epf

Ecf = energía cinética final = 1 /2 m2 vf2^2

vf2 = velocidad final de la particula 2 = 0

Epf = energía potencial final = m g hf2

hf2 = altura final de la particula 2 (altura máxima 2)

Emi = energía mecánica inicial = Eci + Epi

Eci = energía cinética inicial = 1 /2 m2 vi2^2

vi2 = velocidad después del choque de la particula 2 = vd2

Epi = energía potencial inicial = 0

 

Reemplazando

hf2 = [ 1 /2 m2  (2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2))^2] / ( m2 g)

       =  L (1 - cos α)  (2 m 1/ (m1 + m2))^2

 

 

c)      Discutir los resultados anteriores para los casos: m₁ >> m₂, m₁ = m₂ y m₁ << m₂.

 

Caso I. m1 >> m2

.m1 >> m2 à m2 / m1 ≈ 0

 

vd1 =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2)

        =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (1 -  m2 / m1) / (1 + m2 / m1) =

        ≈  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) = v1

 

vd2 = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)

        = 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (1 + m2 / m1)

        ≈ 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) = 2 v1

 

hf1 = L (1 - cos α) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2

         = L (1 - cos α) ((1 – m2 / m1) / (1 + m2 / m1))^2

         ≈ L (1 - cos α) = h

 

hf2 = L (1 - cos α)  (2 m 1/ (m1 + m2))^2

       = L (1 - cos α)  (2/ (1 + m2 / m1))^2

       ≈ 4 L (1 - cos α) = 4 h

 

 

Caso II. m1 = m2

m1 = m2 à m2 / m1 = 1

 

vd1 =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2)

        =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (1 -  m2 / m1) / (1 + m2 / m1) =

        =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) * (0 / 2)   = 0

 

vd2 = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)

        = 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (1 + m2 / m1)

        = 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (1 / 2) =  v1

 

hf1 = L (1 - cos α) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2

         = L (1 - cos α) ((1 – m2 / m1) / (1 + m2 / m1))^2

       = L (1 - cos α) * (0 /2 )^2 = 0

 

hf2 = L (1 - cos α)  (2 m 1/ (m1 + m2))^2

       = L (1 - cos α)  (2 / (1 + m2 / m1))^2

       = L (1 - cos α) *(2 / 2)^2 =  h

 

Transferencia completa entre las partículas 1 y 2

 

Caso III. m1 <<  m2

m1 <<  m2 à m1 / m2 ≈ 0

 

vd1 =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2)

        =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 / m2  - 1) / ( m1 / m2  + 1) =

       ≈  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) * (- 1 / 1 ) = -  v1

 

vd2 = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)

        = 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2)  m1 / m2  / (m1/m2 + 1 )

        ≈ 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) * (0 / 1) = 0

 

hf1 = L (1 - cos α) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2

         = L (1 - cos α) ((m1/m2  – 1) / (m1/m2 + 1 ))^2

       ≈ L (1 - cos α) (- 1)^2 = h

 

hf2 = L (1 - cos α)  (2 m 1/ (m1 + m2))^2

       = L (1 - cos α) (2 (m1 / m2) / (m1 / m2 + 1))^2

       ≈ 4 L (1 - cos α) * ( 2 * 0 /1)^2 = 0

 

La particula 2 se comporta como una pared. La particula 1 rebota sobre ella, cambiando el sentido de la velocidad