Física 1 P Sep 25 T - 4. Cinemática

 Un tren se mueve con velocidad constante de 20 km/h. Una pasajera sentada en el vagón lanza una pelota y la recoge al caer. Respecto de la pasajera, la velocidad inicial de la pelota es de 10 km/h hacia arriba.

 

a.     Escribir el vector velocidad de la pelota justo antes de que la pasajera la recoja al caer, visto por empleado del ferrocarril que está quieto junto a la vía.

 

vPT = vPv + vvT (ecuación vectorial)

 

Donde

vPT = velocidad de la pelota con respecto a Tierra

vPv = velocidad de la pelota respecto del vagón = 10 km/h

vvT = velocidad del vagón con respecto a Tierra = 20 km/h

 

Reemplazando

vPT = 20 km/h (i) – 10 km/h (j) 

 

 

b.     ¿Qué distancia horizontal recorre la pelota mientras esta en el aire para el ferroviario que está de pie junto a la vía?

 

Ecuaciones horarias

x = xo + vPTx t

y = yo + vPTy t – 1 /2 g t^2

 

Donde

x = posición final

xo = posición inicial = 0

vPTx = componente según x de la velocidad = 20 km/h = 5,56 m/s

y = altura final = 0

yo = altura inicial = 0

vPTy = componente según y de la velocidad = 10 km/h = 2,78 m/s

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo de vuelo

 

Reemplazando en la ecuación de la altura

0 = 0 + 2,78 m/s t – 1/ 2 10 m/s²  t^2

 

Esta cuadrática tiene 2 soluciones

t1 = 0 seg

t2 = 2,78 m/s / (1/ 2 10 m/s² ) = 0,56 seg

 

Reemplazando en la ecuación de la posición

x = 0 + 5,56 m/s 0,56 seg = 3,09 m

 

 

Física 1 P Sep 25 T - 3. Cinemática

Se lanza una pelota desde una ventana a 12 m del suelo. La pelota sale con velocidad de módulo 5 m/s y un ángulo de 37° debajo de la horizontal. Se desprecia la resistencia entre la pelota y el aire.

 

a.     ¿A qué distancia horizontal de su ventana la pelota llegara al piso?

 

Ecuaciones horarias

x = xo + vox t

y = yo + voy r – 1/ 2 g t^2

 

Donde

x = posición final

xo = posición inicial = 0

vox = componente según x de la velocidad vo = vo cos 37°

vo = velocidad inicial = 5 m/s

y = altura final = 0

yo = altura inicial = 12 m

voy = componente según y de la velocidad vo = - vo sen 37°

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo de vuelo

 

Reemplazando en la ecuación de la altura

0 = 12 m – 5 m/s sen 37° t – 1/ 2 10 m/s² t^2

 

Esta cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 1,28 seg

t2 = - 1,88 seg (descartado)

 

Reemplazando en la ecuación de la posición

x = 0 + 5 m/s cos 37° 1,28 seg = 5,11 m

 

 

b.     ¿Cuánto vale el vector velocidad de la pelota justo antes de tocar el piso?

 

v = vx (i) + vy (j) (ecuación vectorial)

 

Donde

v = vector velocidad

vx = velocidad según x = vox = vo cos 37°

vy = velocidad según y = - vo sen 37° - g t

vo = velocidad inicial = 5 m/s

t = tiempo de vuelo = 1,28 seg

 

Reemplazando

vx = 5 m/s cos 37° = 4 m/s

vy = - 5 m/s sen 37° -  10 m/s² 1,28 seg = - 15,78 m/s

 

v = 4 m/s (i) – 15,78 m/s (j)

 

 

c.      Graficar la altura de la pelota en función del tiempo.

 

 

  

 

Física 1 P Sep 25 T - 2. Cinemática

En una vuelta al mundo de radio R = 20 m, el módulo de la velocidad en el borde es constante e igual a 12 m/s

 

 

a.     ¿Qué magnitud y dirección tiene la aceleración en el borde de la rueda en el punto más bajo?

 

a = at + ac (ecuación vectorial)

 

Donde

a = aceleración

at = aceleración tangencial = 0 = (velocidad constante)

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

v = velocidad tangencial = 12 m/s

R = radio = 20 m

 

Reemplazando

ac = (12 m/s)^2 / 20 m = 7,2 m/s²

 

 

a = 7,2 m/s²  (j)

 

 

b.     ¿Cuánto tarda la rueda en dar dos vueltas completas?

 

D = v t

 

Donde

D = distancia recorrida = 2 vueltas = 2 π R = 2 π 20 m = 125,66 m

v = velocidad = 12 m/s

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando y despejando t

t = D / v = 125,66 m / 12 m/s = 10,47 seg

 

Física 1 P Sep 25 T - 1. Cinemática

 El gráfico representa la velocidad en función del tiempo para dos automóviles que se desplazan por una ruta recta. El automóvil A parte de x = 0 a t = 0. En ese instante, B esta 14 m delante de A. Calcular:

 

 

a.     La aceleración de cada uno de los automóviles en el instante en que ambos tienen la misma velocidad

 

Automóvil A

 

vA = voA + aA t (Ecuación horaria)

 

Donde

vA = velocidad final en t = 16 seg de A = 0

voA = velocidad inicial en t = 0 seg de A = 16 m/s

aA = aceleración de automóvil A

t = tiempo = 16 seg

 

Reemplazando y despejando aA

aA = (vA – voA) / t = (0 – 16 m/s) / 16 seg = - 1 m/s²

 

Automóvil B

 

vB = constante à aB = 0

 

b.     La posición del móvil A a los 12 s de la partida.

 

xA = xoA + voA t + 1/ 2 aA t^2 (Ecuación horaria)

 

Donde

xA = posición en t = 12 seg de A

xoA = posición inicial en t = 0 de A = 0

voA = velocidad inicial en t = 0 de A = 16 m/s

aA = aceleración de automóvil A = - 1 m/s²

t = tiempo = 12 seg

 

Reemplazando

xA = 0 + 16 m/s 12 seg + 1/ 2 (- 1 m/s²) (12 seg)^2 = 120 m

 

 

c.      La o las posiciones en que ambos automóviles se encuentran (considere que los autos siguen su movimiento indefinidamente)

 

Ecuaciones horarias

xA = xoA + voA te + 1/ 2 aA te^2

xB = xoB + voB te

 

Donde

xA = posición del automóvil A

xB = posición del automóvil B

xoB = posición inicial en t = 0 de B = 14 m

te = tiempo del encuentro

 

Reemplazando e igualando (xA = xB)

xoA + voA te + 1/ 2 aA te^2 = xoB + voB te

16 m/s te + 1/ 2 (- 1 m/s²) te^2 = 14 m + 8 m/s te

 

Reordenando

0,5 m/s² te^2 - 8 m/s te + 14 m = 0

 

Esta cuadrática tiene 2 soluciones

te1 = 2 seg

te2 = 14 seg

 

Física 1 P Sep 25 TF - 4. Cinemática

Una lancha cruza un rio, sale de A y llega al punto B en la orilla opuesta. El módulo de la velocidad que desarrolla la lancha en aguas quietas es de 30 m/s. El rio fluye de izquierda a derecha con una velocidad cuyo modulo es de  15 m/s. La lancha tarda en cruzar el rio 400 seg.

 

a.     Obtenga la velocidad de la lancha respecto a la orilla

 

 

 

vLT = vLa + vaT (ecuación vectorial)

 

Donde

vLT = velocidad de la lancha con respeto a Tierra

vLa = velocidad de la lancha con respeto al agua = 30 m/s

vaT = velocidad del agua con respeto a Tierra = 15 m/s

 

(vLa)^2 = (vaT)^2 + (vLT)^2

 

Reemplazando y despejando vLT

vLT = raíz ((vLa)^2 - (vaT)^2) = raíz ((30 m/s)^2 – (15 m/s)^2) = 25,98 m/s

 

 

b.     Calcular el ancho del rio

 

D = vLT t

 

Donde

D = ancho del rio

t = tiempo = 400 seg

 

Reemplazando

D = 25,98 m/s 400 seg = 10392 m 

 

 

 

 

Física 1 P Sep 25 TF - 3. Cinemática

Un jugador practica pateando desde el punto del penal (sin arquero). La distancia desde el punto del penal al arco es 11 m y la altura del arco es 2,4 m. Al patear, el jugador le imprime a la pelota una velocidad de modulo desconocido en una dirección que forma un ángulo de 40° respecto a la horizontal.

 

a)     Calcular el módulo de la velocidad inicial de la pelota si luego de patear esta pega en el travesaño

 

Ecuaciones horarias

x = xo + vox t

y = yo + voy t – 1/ 2 g t^2

 

Donde

x = posición final = 11 m

xo = posición inicial = 0

vox = componente según x de la velocidad inicial = vo cos 40°

vo = velocidad inicial

y = altura final = 2,4 m

yo = altura inicial = 0

voy = componente según y de la velocidad inicial = vo sen 40°

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando en la ecuación de la posición y despejando t

t = x / (vo cos 40°)

 

Reemplazando en la ecuación de la altura

y = vo sen 40° x / (vo cos 40°) – 1 /2 g (x / (vo cos 40°))^2

 

Despejando vo

vo = raíz ((10 m/s² x^2) / (2 (cos 40°)^2 (x tan 40° - y))

vo = raíz ((10 m/s² (11 m)^2) / (2 (cos 40°)^2 (11 m tan 40° - 2,4 m)) = 12,29 m/s

 

 

b)    Obtenga el tiempo que tarda la pelota en llegar hasta el travesaño

 

Reemplazando en la ecuación de la posición y despejando t

t = x / (vo cos 40°) = 11 m / (12,29 m/s cos 40°) = 1,17 seg

 

 

c)     Calcular el vector velocidad en el instante en que la pelota pega en el travesaño.

 

Ecuaciones horarias

vx = vox

vy = voy – g t

 

Donde

vx = velocidad según x

vy = velocidad según y

 

Reemplazando

vx = vo cos 40° = 12,29 m/s cos 40° = 9,41 m/s

vy = vo sen 40° - g t = 12,29 m/s sen 40° - 10 m/s² 1,17 seg = - 3,79 m/s

v = 9,41 m/s (i) – 3,79 m/s (j)

 

 

 

Física 1 P Sep 25 TF - 2. Cinemática

Un móvil recorre una circunferencia de 0,5 de radio. Se desplaza desde el punto A hacia el punto B en 4 seg moviéndose con velocidad angular constante. A partir de ese instante comienza a disminuir su velocidad hasta que se detiene completamente 16 seg después.

 

 

a.     Calcular el número de vueltas que realiza el móvil hasta detenerse.

 

De A B

Ecuación horaria

θB = θA + ω t

donde

θB = ángulo B = π/2

θA = ángulo A = 0

ωo = velocidad angular

tB = tiempo = 4 seg

 

Reemplazando y despejando ω

ωo = (θB – θA) / t = (π/2 – 0) / 4 seg = π/8 1/seg

 

 

Después de B

θ = θB + ωo (t – tB) +1/ 2 α (t – tB)^2

ω = ωo + α (t – tB)

 

Donde

θ = ángulo barrido

θB = ángulo B = π/2

ωo = velocidad angular = π/8  1/seg

ω = velocidad angular final = 0

α = aceleración

tB = tiempo en θB = 4 seg

t = tiempo = 4 seg + 16 seg = 20 seg

 

Reemplazando en la ecuación de velocidad y despejando α

α = (ω – ωo) / (t – tB) = (0 - π/8 1/seg) / (20 seg – 4 seg) = - π/128 1/seg²

 

Reemplazando en la ecuación angular

θ = π/2 + π/8  1/seg (20 seg – 4 seg) + 1/ 2 (- π/128  1/seg² ) (20 seg – 4 seg)^2 = 3/2 π

 

Vueltas = 0

A partir de los 20 seg empieza a retroceder (ω < 0)

 

 

b.     Determinar los vectores de velocidad y aceleración del móvil en el instante en que pasa por primera vez por el punto C (decir claramente cuál es el sistema de referencia utilizado)

  

En C

θC= θB + ωo (tC – tB) +1/ 2 α (tC – tB)^2

 

Donde

θC= ángulo C = π

θB = ángulo B = π/2

ωo = velocidad angular = π/8  1/seg

α = aceleración = - π/128 1/seg²

tB = tiempo en θB = 4 seg

tC = tiempo

 

Reemplazando en el ángulo barrido C

 π = π/2 + π/8 (tC – 4 seg) +1/ 2 (- π /128 1/seg²) (tC – 4 seg)^2

 

Reordenando

0 = (π/2 – π) + π/8 (tC – 4 seg) +1/ 2 (- π /128 1/seg²) (tC – 4 seg)^2

 

Esta cuadrática tiene dos soluciones

tc1 – 4 seg = 4,69 seg à tc1 = 4,69 seg + 4 seg = 8,69 seg (primera pasada)

tc2 – 4 seg = 27,31 seg à tc2 = 27,31 seg + 4 seg = 31,31 seg

Velocidad en C

ωC = ωo + α (tC – tB)

 

Donde

ωo = velocidad angular = π/8 1/seg

ωC = velocidad angular en C

α = aceleración = - π/128 1/seg²

tB = tiempo en θB = 4 seg

tC = tiempo en θC = 8,69 seg

 

Reemplazando

ωC = π/8 1/seg + (- π/128 1/seg²) (8,69 seg – 4 seg) = 0,088 π 1/s

 

| vC | = ωC R

 

Donde

| vC | = velocidad tangencial en C

R = radio de la circunferencia = 0,5 m

 

Reemplazando

| vC | = 0,088 π 1/s 0,5 m = 0,044 π m/s

 

vC = - 0,044 π m/s (j)

 

  

Aceleración en C

   

| a | = | at | + | ac | (ecuación vectorial)

 

Donde

| a | = aceleración

| at | = aceleración tangencial = α R

| ac | = aceleración centrípeta = ωC^2 R

 

 Reemplazando

| at | =   π/128 1/seg² 0,5 m = 0,0039 π m/seg²

| ac | = (0,088 π 1/s)^2 0,5 m = 0,0039 π^2 m/seg²

 

 a = 0,0039 π^2 m/seg²  (i) + 0,0039 π m/seg² (j)