Física 1 (Exactas) Practica 0 – 3. 22. Dinámica e interacciones

 El sistema de la Figura está formado por dos partículas de masas m1 y m2, las cuales parten del reposo y se mueven de tal forma que la masa m1 sube recorriendo todo el plano inclinado en un tiempo T. Intercambiando las partículas, m2 recorre todo el plano subiendo en un tiempo T/4 (no hay rozamiento). Sabiendo que m1/m2 = 9, hallar  a 

 

DCL

 

Cuerpo A, según x: - PAx + T = mA a

Cuerpo B, según x: - T + PB = mB a

 

Donde

PAx = peso del cuerpo A según el eje x = PA sen α

PA = peso del cuerpo A = mA g

mA = masa del cuerpo A

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

T = tensión del hilo

a = aceleración

PB = peso del cuerpo B = mB g

mB = masa del cuerpo B

 

Sumando ambas ecuaciones

- mA g sen α + mB g = mA a + mB a

 

Despejando a

a = g (mB - mA sen α) / (mA + mB)

 

 

Opcion 1

x1 = xo + vo t1 + 1 / 2 a1 t1^2

 

Donde

x1 = largo total del plano = L

xo = posicion inicial = 0

vo = velocidad inicial = 0 (reposo)

a1 = aceleración

t1 = tiempo transcurrido = T

 

mA = m1

mB = m2

 

Reemplazando en a1

a1 = g (m2 - m1 sen α) / (m1 + m2)

 

m1/m2 = 9

 

a1 = g (m2/m2 - m1/m2 sen α) / (m1/m2 + m2/m2) = g (1 - 9 sen α) / (9 + 1)

Reemplazando en x1

L = 1 /2 g (1 - 9 sen α) / 10 T^2

 

Opcion 2

x2 = xo + vo t2 + 1 / 2 a2 t2^2

 

Donde

x2 = largo total del plano = L

xo = posicion inicial = 0

vo = velocidad inicial = 0 (reposo)

a2 = aceleración

t2 = tiempo transcurrido = T/4

 

mA = m2

mB = m1

 

Reemplazando en a

a2 = g (m1 - m2 sen α) / (m2 + m1)

 

Con m1/m2 = 9

 a2 = g (m1/m2 – m2/m2 sen α) / (m1/m2 + m2/m2) = g (9 - sen α) / (9 + 1)

 

Reemplazando en x2

L = 1 /2 g (9 -  sen α) / 10 (T/4)^2

 

Igualando L

 1 /2 g (1 - 9 sen α) / 10 T^2 = 1 /2 g (9 -  sen α) / 10 (T/4)^2

(1 - 9 sen α) = (9 -  sen α)  / 16

 

Reordenando

16 – 9 = 16 * 9 sen α -  sen α

sen α = (16 – 9) / ( 16 * 9  - 1 ) = 7 / 143

 

Reemplazando en a1

a1 = g (1 - 9 sen α) / 10 = 10 m/s² (1 – 9 *7/143) / 10 = 0,56 m/s²

 

Reemplazando en a2

a2 = g (9 -  sen α) / 10 =  10 m/s² (9 – 7/143) / 10 = 8,95 m/s²

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 3. 21. Dinámica e interacciones

En el sistema de la Fig. No existe fricción, el hilo es inextensible con masa despreciable y la polea es de masa despreciable (sin rozamiento).

a)     Diga cuáles son las fuerzas ejercidas sobre las masas y sobre el hilo. Indique los pares de acción y reacción.

 

DCL

 

P1 = peso del cuerpo 1

El par de acción y reacción está en el centro de la Tierra

 

N1 = reacción del plano al cuerpo 1

El par de acción y reacción está en el plano

 

TH1 = tensión del hilo sobre el cuerpo 1

T1H = tensión del cuerpo 1 sobre el hilo

TH1 y T1H par de acción y reacción

 

TH2 = tensión del hilo sobre el cuerpo 2

T2H = tensión del cuerpo 2 sobre el hilo

TH2 y T2H par de acción y reacción

 

P2 = peso del cuerpo 2

El par de acción y reacción está en el centro de la Tierra

 

b)    ¿Cuál es la aceleración del sistema en función de los datos m1, m2, α y g?

 

Cuerpo 1, según x: P1x + TH1 = m1 a

Cuerpo 2, según x: - TH2 + P2 = m2 a

 

Donde

P1x = peso del cuerpo 1 según el eje x = P1 sen α

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

m1 = masa del cuerpo 1

g = aceleración de la gravedad

TH1 = tensión del hilo sobre el cuerpo 1

a = aceleración

TH2 = tensión del hilo sobre el cuerpo 2 = TH1 (hilo es inextensible con masa despreciable)

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

m2 = masa del cuerpo 2

 

Sumando ambas ecuaciones

m1 g sen α + m2 g = m1 a + m2 a

 

Despejando a

a = (m1 g sen α + m2 g) / (m1 + m2)

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 3. 20. Dinámica e interacciones

 En el sistema de la Figuera señale las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos e indique los pares de interacción. Sugerencia: para cada cuerpo, dibuje las fuerzas que actúan sobre él, aclarando qué interacción las origina.

 

DCL

 

P1 = peso del cuerpo 1

El par de acción y reacción está en el centro de la Tierra

 

R21 = reacción del cuerpo 2 debido al cuerpo 1

R12 = reacción del cuerpo 1 debido al cuerpo 2

R21 y R12 par de acción y reacción

 

P2 = peso del cuerpo 2

El par de acción y reacción está en el centro de la Tierra

 

N2 = reacción del plano al cuerpo 2

El par de acción y reacción está en el plano

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 2. 19. Cinemática

 Un automóvil cuya velocidad es 90 km/h pasa ante un puesto caminero. En ese instante sale en su persecución un patrullero que parte del reposo y acelera uniformemente de modo que alcanza una velocidad de 90 km/h en 10 s. Halle,

 

a)     El tiempo que dura la persecución.

 

Automóvil

xA(t) = xoA + voA t

 

Donde

xA(t) = posición del automóvil en el instante t

xoA = posición inicial = 0

voA = velocidad del automóvil = 90 km/h (1000 m/1 km) (1 h / 3600 s) = 25 m/s

t = tiempo

 

Reemplazando

xA(t) = 25 m/s t

 

 

Patrullero

vP(t) = voP + a t

 

Donde

voP = velocidad inicial del patrullero = 0

a = aceleración del patrullero

vP(t) = velocidad del patrullero = 90 km/h (1000 m/1 km) (1 h / 3600 s) = 25 m/s

t = tiempo = 10 s

 

Reemplazando en la ecuación de la velocidad y despejando a

a = vP / t = 25 m/s / 10 s = 2,5 m/s²

 

xP(t) = xoP + voP t + 1/ 2 a t^2

 

Donde

xP(t) = posición del patrullero en el instante t

xoP = posición inicial = 0

voP = velocidad inicial del patrullero = 0

a = aceleración = 2,5 m/s²

t = tiempo

 

Reemplazando

xP(t) = 1/ 2 * 2,5 m/s² t^2

 

 

Encuentro = Igualando ambas ecuaciones xA(t) = xP(t)

25 m/s t = 1/ 2 * 2,5 m/s² t^2

 

Reordenando

1/ 2 * 2,5 m/s² t^2 - 25 m/s t = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 0 (instante inicial)

t2 = 2 * 25 m/s / 2,5 m/s² = 20 s 

 

 

b)    El punto en que el patrullero alcanza el automóvil.

Reemplazando en la ecuación de la posición del patrullero

xP(t) = 1/ 2 * 2,5 m/s² (20 s)^2 = 500 m

 

 

c)     La velocidad del patrullero en el punto de alcance.

 

Reemplazando en la ecuación de la velocidad del patrullero

vP(t) = 0 + 2,5 m/s² 20 s = 50 m/s

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 2. 18. Cinemática

 Desde una terraza a 40 m del suelo se lanza hacia arriba una piedra con velocidad 15 m/s,

 

a)     ¿Con qué velocidad vuelve a pasar por el nivel de la terraza?

 

Ecuaciones horarias

y(t) = yo + vo t - 1/ 2 g t^2

v(t) = vo - g t

 

Donde

y(t) = altura en el instante t

yo = altura inicial = 40 m

vo = velocidad inicial = 15 m/s

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo transcurrido

v(t) = velocidad en el instante t

 

Reemplazando en la ecuación de la altura (y = 40 m)

40 m = 40 m + 15 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s²  t^2

 

Reordenando

1/ 2 * 10 m/s²  t^2 – 15 m/s t = 0

 

Esta ecuación tiene dos soluciones

t1 = 0 (en el momento que se lanza)

t2 = 2 * 15 m/s / 10 m/s² = 3 s

 

Reemplazando en la ecuación de la velocidad

v(3s) = 15 m /s - 10 m/s²  3 s = - 15 m/s

 

 

b)    ¿Cuándo llega al suelo?

 

Reemplazando en la ecuación de la altura para y = 0 (piso)

0 m = 40 m + 15 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s²  t^2

 

Esta ecuación tiene dos soluciones

t1 = - 1,70 s (descartado)

t2 = 4,70 s

 

 

c)     Cuándo y dónde se encuentra con una piedra arrojada desde el suelo hacia arriba con una velocidad de 55 m/ y que parte desde el suelo en el mismo instante que la anterior?

 

Piedra 1

y1(t) = 40 m + 15 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s² t^2

 

Piedra 2

 

Ecuación horaria

y2(t) = y2o + v2o t - 1/ 2 g t^2

 

Donde

y2(t) = altura en el instante t

y2o = altura inicial = 0 m

v2o = velocidad inicial = 55 m/s

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

y2(t) = 55 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s² t^2

 

Encuentro = Igualando ambas ecuaciones y1(t) = y2(t)

40 m + 15 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s² t^2 = 55 m/s t  - 1/ 2 * 10 m/s² t^2

 

Reordenando

40 m + 15 m/s t – 55 m/s t = 0

 

Despejando t

t = 40 m / (40 m/s) = 1 s (tiempo del encuentro)

 

Reemplazando en la ecuación de la altura

y2(t) = 55 m/s 1 s   - 1/ 2 * 10 m/s² (1 s)^2 = 50 m (altura del encuentro)

 

 

d)    Represente gráficamente

y1(t) = 40 m + 15 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s² t^2

y2(t) = 55 m/s t - 1/ 2 * 10 m/s² t^2