Física 1 (Exactas) Práctica 10.4 - Gravitación

Una partícula de masa m es dejada en el punto A de un túnel sin fricción imprimiéndole una velocidad v₀ (ver Figura). La partícula se halla bajo la acción de la atracción gravitatoria de la Tierra. 

 

a)      Grafique la energía potencial de la partícula en función de la coordenada y. Diga cuál es la máxima velocidad v₀ que puede tener la partícula en A para que su movimiento sea ligado.

 

V(y) = - G MT m / [RT^2 + y^2]^(1/2)

 

Donde

V(y) = energía potencial

G = constante de gravitación universal

MT = masa de la Tierra

m = masa de la partícula

RT = radio terrestre

y = posición de la partícula en el tubo

 

 

Gráfico Google AI

Movimiento ligado à partícula no tiene la energía suficiente para escapar hacia el infinito.

  

En el infinito  (y à ∞)

Em∞ = Ec∞ + V∞

 

Donde

Em∞  = energía mecánica y à ∞

Ec∞ = energía cinética y à ∞ = 1 /2 m v∞^2

v∞ = velocidad en el infinito = 0

V∞ = energía potencial en el infinito = lim      - G MT m / [RT^2 + y^2]^(1/2) = 0

                                                              y à ∞

 

Reemplazando

Em∞ à 0

 

En el punto A ( y = 0)

EmA = EcA + VA

 

Donde

EmA = energía mecánica en A

EcA = energía cinética en A = 1 /2 m vo^2

vo = velocidad en A

VA = energía potencial en A = - G MT m / RT

 

Reemplazando

EmA = 1 /2 m vo^2 – G MT m / RT

 

Movimiento ligado  à EmA < Em∞

 

Reemplazando

1 /2 m vo^2 – G MT m / RT < 0

 

Despejando vo

vo <  [2 G MT / RT]^(1/2)

 

vo max = [2 G MT / RT]^(1/2)

 

 

 

b)     Encuentre la ecuación de movimiento para la partícula. Diga bajo qué condiciones el movimiento será armónico simple y escriba la ecuación de movimiento en ese caso. 

 

Ecuación de movimiento

Fy = m ay

 

Donde

F = fuerza de atracción gravitatoria = - G MT m / [RT^2 + y^2]

Fy = componente según y de F gravitatoria = F ǔy

ǔy = versor según y = y / [RT^2 + y^2]^(1/2)

ay = aceleración según y = d²y / dt²

 

Reemplazando

 - G MT m y / [RT^2 + y^2]^(3/2) = m d²y / dt²

 

Reordenando

d²y / dt² + G MT y / [RT^2 + y^2]^(3/2) = 0

 

 

Movimiento Armónica Simple (MAS)

 

MAS = pequeñas oscilaciones à y << RT

 à RT^2 + y^2 << RT^2

 à G MT / RT^2 = g

 

Reemplazando de la ecuación de movimiento

d²y / dt² + g / RT y = 0

 

Ecuación de movimiento equivale a la ecuación de un péndulo (pequeñas oscilaciones) o resorte

  

 

c)      Para el caso armónico simple, halle la frecuencia de oscilación y determine la posición de la partícula en función del tiempo.

 

Solución de la ecuación de movimiento

y = A cos (ω t) + B sen (ω t)

v = dy / dt = - A ω sen (ω t) + B ω cos (ω t)

 

Donde

y = solución de la ecuación diferencial = posición

v = velocidad = dv / dt

ω = velocidad angular = (g / RT)^(1/2)

 

En  t = 0  à y(0) = 0  y  v(0) = vo

y(0) = A cos (ω 0) + B sen (ω 0) = A à A = 0

v(0) = - A ω  sen (ω 0) + B ω cos (ω 0) = B ω = vo ­­à B =  vo / ω

 

Reemplazando

y = vo / ω sen (ω t)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 10.3 - Gravitación

Considere dos partículas de masas M₁ y M₂, fijas y separadas entre sí por una distancia D. Una tercera partícula de masa m es libre de moverse por un tubo carente de rozamiento, que se halla sobre la mediatriz del segmento determinado por ambas masas. 

 

a)      Calcule la energía potencial gravitatoria en función de la coordenada z que determina la posición. Grafique cualitativamente el potencial. 

 

V(z) = - G M1 m / [(D/2)^2 + z^2]^(1/2) -  G M1 m / [(D/2)^2 + z^2]^(1/2)

 

Donde

V(z) = energía potencial gravitatoria

G = constante de gravitación universal

M1, M2 = masas fijas equidistantes

D = distancia entre las masas

z = posición de la masa m

 

Reordenando

V(z) = - G (M1 + M2) m / [(D/2)^(2) + z^2]^(1/2)

 

Gráfico Google IA

 

b)     Determine la posición de equilibrio indicando si m corresponde a un equilibrio estable o inestable. 

 

Posicion de equilibrio

Punto critico à d V(z) / dz = 0

 

d V(z) / dz  =  1 /2  G (M1 + M2) m  2 z / ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)  = 0 à z = 0

 

Estabilidad

 

d² V(z) / dz² =  G (M1 + M2) m / ((D/2)^2 + z^2)^(3/2) – 3 G (M1 + M2) m  z^2  / ((D/2)^2 + z^2)^(5/2) 

 

En z = 0

d² V(z) / dz² =  8 G (M1 + M2) m / D^3  > 0 à mínimo  à estable 

 

 

 

c)      Encuentre la frecuencia angular de oscilación para pequeños apartamientos de la masa m de su posición de equilibrio.

 

Con  z << D

 

La ecuación diferencial

d² V(ε) / dz² =  8 G (M1 + M2) m  / D^3

 

Esta ecuación diferencial tiene una solución oscilatoria con

ω^2  =  8 G (M1 + M2) m  / D^3 / m =  8 G (M1 + M2) / D^3

 

ω = [8 G (M1 + M2) / D^3]^(1/2)

 

 

 

d)     Calcule la fuerza que ejerce el tubo sobre la masa en función de la posición. 

 

F tubo + F = 0

 

Donde

F tubo = fuerza que ejerce el tubo sobre la masa

F = fuerza gravitatoria generada por las M1 y M2 = F1 + F2

F1 = fuerza gravitatoria generada por M1 = - G M1 m / r^2 (D/2 / r)

F2 = fuerza gravitatoria generada por M2 = G M2 m / r^2 (D/2 / r)   

r = distancia entre m y las masas = [(D/2)^2 + z^2]^(1/2)

 

Reemplazando

Ftubo =  G M1 m  D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)] - G M2 m  D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)]

Ftubo  = G (M1 – M2) m D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)]

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 10.2 - Gravitación

Aplique el problema anterior considerando que M₁ = M_T (masa de la Tierra), M₁ = M_L (masa de la Luna), D es la distancia Tierra-Luna, y la partícula de masa m es un cohete que se dispara desde la superficie de la Tierra hacia la Luna con una velocidad v₀. Tenga en cuenta que en este problema M₁ y M₂ no son partículas puntuales, sino que tienen radios R_T (radio de la Tierra) y R_L (radio de la Luna), respectivamente.

 

a)      Calcule y grafique el potencial gravitatorio del cohete en función de su distancia a la Tierra, medida desde la superficie terrestre.

 

 V(x) = VT(x) + VL(x)

 

Donde

V(x) = potencial gravitatorio total

VT(x) = potencial gravitatorio de la Tierra = G MT m / (RT + x)

G = constante de gravitación universal

MT = masa de la Tierra

m = masa del cohete

RT = radio de la Tierra

x = distancia del cohete con respecto a la superficie de la Tierra

VL(x) = potencial gravitatorio de la Luna = G ML m / (D – (RT + x))

ML = masa de la Luna

D = distancia Tierra Luna

RL = radio de la Luna

 

Reemplazando

V(x) = - G MT m / (RT + x) -  G ML m / (D – (RT + x)

 

 

Gráfico: Google IA

 

b)     ¿En qué punto de su trayectoria hacia la Luna el cohete tiene aceleración nula?

 

FT + FL = 0

 

Donde

FT = fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra = - G MT m / ro^2

ro = distancia del cohete desde el centro de la Tierra

FL = fuerza gravitatoria de atracción de la Luna = G ML m / (D – ro)^2

xo = distancia del cohete desde la superficie de la Tierra = ro - RT

 

Reemplazando

 - G MT m / ro^2 + G ML m / (D – ro)^2 = 0

 

Despejando ro

ro = MT^(1/2) D / (ML^(1/2) + MT^(1/2))

 

Despejando xo

xo = MT^(1/2) D / (ML^(1/2) + MT^(1/2)) – RT

 

 

c)      Calcule la velocidad inicial mínima del cohete necesaria para llegar a este punto y caer en la Luna por la acción de la atracción gravitatoria lunar.

 

Para superar el punto de equilibrio el cohete debe llegar con velocidad nula.

 

Emo = Emf

 

Donde

Emo = energía mecánica inicial (en la superficie de la Tierra) = Eco + V(RT) 

Eco = energía cinética inicial = 1 /2 m vo^2

vo = velocidad inicial

V(RT) = energía gravitatoria inicial =   - G MT m / RT -  G ML m / (D – RT)

Emf = energía mecánica final (en el punto de aceleración nula) = Ecf + V(ro)

Ecf = energía cinética final mínima = 0

V(ro) = energía gravitatoria final =   - G MT m / ro -  G ML m / (D – ro)

ro = distancia del cohete desde el centro de la Tierra = MT^(1/2) D / (ML^(1/2) + MT^(1/2))

 

Reemplazando

1 /2 m vo^2 – V(RT) = V(xo)

 

Despejando vo

vo = [ 2 V(xo) – V(RT)]^(1/2)

 

Reemplazando

vo = [ 2 G [ MT / RT – ML / (D – RT) – ((MT^(1/2) + ML^(1/2))^2 / D ] ^(1/2)

 

 

Datos

G = Constante de Gravitación Universal	6,67 x 10^-11 N m2/ kg2
MT = Masa de la Tierra	5,97 x 10^24 kg
RT = Radio de la Tierra (promedio)	6,37 x 10^6 m
D = Distancia Tierra – Luna (promedio)	3,57 x 10^8 m
ML = Masa de La Luna	7,35 × 10^22 kg
RL = Radio de la Luna (promedio)	3,47 x 10^6 m

 

vo ≈ 1.11 x 10^4 m/s