Física 1 (Exactas) Práctica 9.9 - Teoremas de conservación

            

Dos partículas de masa m están sujetas a los extremos de una barra de longitud L y masa despreciable en reposo sobre una superficie horizontal exenta de rozamiento. Otra partícula, también de masa m, se mueve a lo largo de una recta perpendicular a la barra con velocidad v₀ y choca quedándose adherida según se indica en las Figs. Describa cuantitativamente el movimiento después del choque, en particular, calcule la variación de energía cinética del sistema debida al choque plástico.

 

  

Caso a

 

 

 

Centro de masa

Antes del choque

Masa superior (0; L/2)

Masa inferior (0; - L/2)

 

xCM = 0

yCM =  (m  L/2 + m (- L/2)  / ( m + m) = 0

 

 

Despues del choque

Masa superior (0; L/2)

Masas inferiores (0; - L/2)

 

xCM = 0

yCM = ( m L/2 + 2 m (- L/2) ) / ( m + 2 m) = - 1 /6  L 

 

 

Velocidad de traslacion del centro de masa (vCM)

 

No hay fuerzas externas à Momento lineal se conserva

 po = pf

 

donde

po = momento lineal inicial = m vo (otra masa)

pf = momento lineal final = M vCM

M = masa toral = 3 m

vCM = vclocidad del centro de masa

 

reemplazando

m vo =  3 m vCM

 

despejndo vCM

vCM = m vo / 3 m = vo /3

 

Velocidad de rotacion (respecto al nuevo centro de masa)

Torque = r x F = 0 (no hay fuerzas externas) à momento angular se conserva

 Lo = Lf

 

donde

Lo = momento angular angular = m vo d1

d1 = distancia entre el centro de masa y el extremo inferior ( donde choca la masa) 

d1 = yCM – y (masa inferior) =  (- L/6)  - ( L/ 2) = L / 3  

Lf = momento anguular final = ICM ω

ICM = momento inercia del sistema = 2 m (L/3)^2 + m (L – L/3)^2 = 2 /3 m L^2

ω = velocidad angular

 

reemplazando

m vo L/3 = 2/3 m L^2 ω

 

despejando ω

ω = vo / (2 L) (en sentido antihorario)

 

El sistema se traslada y gira en sentido antihorario

 

Energia cinetica

∆Ec = Ecf – Ecp

 

Donde

∆Ec = variaicon de la energía cinetica

Ecf = energía cinetica final = Ecft + Ecfr

Ecft = energía cinetica final de traslacion = 1 /2 M vCM^2

Ecfr = energía cinetica final de rotacion = 1 /2 ICM  ω^2

Eco = energía cinetica inicial = 1 /2 m vo^2

 

reemplanzado

∆Ec = 1 /2 * 3 m (vo/3)^2 + 1 /2 (2 /3 m L^2) (vo / (2 L))^2 – 1 /2 m vo^2 =

∆Ec = - 1 /4 m vo^2

 

Choque plástico à sistema pierde energía cinetica

 

 

Caso b

 

Centro de masa

Antes del choque

 Masa superior (0; L/2)

Masa inferior (0; - L/2)

 

xCM = 0

yCM =  (m  L/2 + m (- L/2)  / ( m + m) = 0

 

 

Despues del choque

Masa superior (0; L/2)

Masa inferior (0; - L/2)

Masa que choca = (0; 0)

 

xCM = 0

yCM = ( m L/2 +  m (- L/2) + m * 0 ) / ( m +  m + m) = 0 

 

 El centro de masa no se desplaza

 

 

Velocidad de traslacion del centro de masa (vCM)

 

No hay fuerzas externas à Momento lineal se conserva

po = pf

 

donde

po = momento lineal inicial = m vo (otra masa)

pf = momento lineal final = M vCM

 

reemplazando

m vo =  3 m vCM

 

despejando vCM

vCM = m vo / 3 m = vo /3

 

 

Velocidad de rotacion (respecto al nuevo centro de masa)

 

Torque = r x F = 0 (no hay fuerzas externas) à momento angular se conserva

Lo = Lf

 

donde

Lo = momento angular angular = m vo d2

d2 = distancia entre el centro de masa y donde choca la masa = 0 

Lf = momento anguular final = ICM ω

ICM = momento inercia del sistema = 2 m (L/3)^2 + m (L – L/3)^2 = 2 /3 m L^2

ω = velocidad angular

 

reemplazando

0 = 2/3 m L^2 ω à  ω = 0

 

El sistema se traslada. NO gira

 

 

Energia cinetica

∆Ec = Ecf – Ecp

 

Donde

∆Ec = variaicon de la energía cinetica

Ecf = energía cinetica final =  1 /2 M vCM^2

Eco = energía cinetica inicial = 1 /2 m vo^2

 

reemplanzado

∆Ec = 1 /2 * 3 m (vo/3)^2  – 1 /2 m vo^2 =

∆Ec = - 1 /3 m vo^2

 

 

Choque plástico à sistema pierde energía cinetica

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 9.8 - Teoremas de conservación

Dos partículas de masas m₁ y m₂ se hallan sobre una mesa horizontal, unidas entre sí por una soga de longitud L que pasa a través de un anillo pequeño fijo a la mesa en el punto O. La superficie de la mesa carece de rozamiento y la soga es inextensible y de masa despreciable. Inicialmente ambas partículas están en reposo a una distancia L/2 del punto O, de forma tal que ambos tramos de la soga forman un ángulo recto (ver Figura). El sistema se pone en movimiento imprimiéndole a la partícula m₁ una velocidad v₀ perpendicular a la soga. Considere que las partículas nunca chocan entre sí y que la soga siempre se mantiene tensa. 

/

a)      Diga qué magnitudes se conservan para cada partícula por separado y para el sistema formado por ambas partículas y la soga. Justifique sus respuestas. 

 

Momento angular

 

Torque = ∆L

 

Donde

Torque = r x T

r = vector desde la masa hasta el centro O

T = tensión de la soga

∆L = variación del momento angular

 

Masa 1

Torque = r1 x T = 0 ( r y T están sobre la misma dirección) à momento angular se conserva 

 

Masa 2

Torque = r2 x T = 0 ( r y T están sobre la misma dirección) à momento angular se conserva

 

Sistema

Suma torque = 0 à momento angular se conserva

 

 

Energía mecánica

 

∆Em = Wfmc

 

Donde

∆Em = variación de energía mecánica (Em)

Wfnc = trabajo de fuerzas no conservativas = T ∆d

T = tensión

 ∆d = distancia que se movió la masa

 

Masa 1

Wfmc1 = T  ∆d1  ≠ 0 à ∆Em1 ≠ 0 à Energía mecánica NO se conserva

 

Masa 2

Wfmc2 = T  ∆d2  ≠ 0 à ∆Em2 ≠ 0 à Energía mecánica NO se conserva

 

Con ∆d1 = - ∆d2 (la soga es inextensible)

 

Sistema

Wfncs = T ∆d1 + T ∆d2 = 0 à Energía mecánica se conserva

 

b)      Calcule la velocidad de rotación alrededor de O de cada una de las partículas como función de la distancia de m₁ al punto O.

 

 

Masa 1

 ∆L1 = L1 – L1o

 

Donde

∆L1 = variación del momento angular

L1 = momento angular = m1 r1 v1

m1 = masa 1

r1 = distancia al origen O

v1 = velocidad de masa 1 = r1 ω1

ω1 = velocidad de rotación

L1o = momento angular inicial = m1 ro1 vo1

ro1 = distancia inicial al origen = L / 2

vo1 = velocidad inicial = vo

 

Reemplazando

m1 r1^2 ω1 = m1 L /2 vo

 

Despejando ω1

ω1 = L vo / (2 r1^2)

 

 

Masa 2

∆L2 = L2 – L2o

 

Donde

∆L2 = variación del momento angular

L2 = momento angular = m2 r2 v2

m2 = masa 2

r2 = distancia al origen O

v2 = velocidad de masa 2 = r2 ω2

ω2 = velocidad de rotación

L2o = momento angular inicial = 0 (parte del reposo)

 

Reemplazando

m2 r2^2 ω2 = 0 à  ω0 = 0

 

 

 

c)     Encuentre la velocidad radial del cuerpo m₁ cuando se halla a una distancia d = 3L/2 del punto O.

 

.d = 3 L/2 à  

Si longitud de la soga = L à d = 3 L/2 imposible

 

Energía mecánica total

∆Em = 0

 

Donde

∆Em = energía mecánica del sistema = Emf – Emo

mesa horizontal à Energia potencial = 0

 

Emf = energía mecánica final = Ec1f + Ec2f

Ec1f = energía cinética inicial de 1 = 1 /2 m1 v1^2

v1 = vector velocidad final de 1 =  v1r (ǔr) + v1t (ǔθ)

v1r = velocidad radial de 1

v1t = velocidad tangencial de 1 = r1 ω1

r1 = distancia al centro O = d

ω1 = velocidad angular 1 = L vo / (2 r1^2)

Ec2f = energía cinética final de 2 = 1 /2 m2 v2^2

v2 = vector velocidad final de 2 = v2r (ǔr) + v2t (ǔθ)

v2r = velocidad radial de 2 = - v1r (soga inextensible)

v2t = velocidad tangencial de 2 = r2  ω2

r2 = distancia al centro 0 = L – d  

ω2 = velocidad angular 2 = 0

 

Emo = energía mecánica inicial = Ec1o + Ec2o

Ec1o = energía cinética inicial de 1 = 1 /2 m1 vo^2

Ec2o = energía cinética inicial de 2 = 0 (parte del en reposo)

 

 (ǔr ) = versor radial

(ǔθ) = versor tangencial ó angular

 

Reemplazando

1 /2 m1 v1r^2 + 1 /2 m1 (d L vo / (2 d^2))^2 + 1 /2 m2 v1r^2 – 1 /2 m1 vo^2 = 0

 

Despejando v1r

v1r = vo [ m1 (1 -  L^2 / (4 d^2)) / (m1 + m2)]^(1/2)

 

 

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 9.7 - Teoremas de conservación

Dos cuerpos de masas m₁ y m₂, respectivamente, con m₁ = 2m y m₂ = m que están unidos por un resorte de longitud libre l₀ y constante elástica k, se encuentran sobre una superficie horizontal plana y carente de fricción. El sistema se pone en movimiento estirando el resorte hasta una longitud 2 l₀ y dándole una velocidad v cada una de las partículas, perpendicular al segmento que las une y en sentidos opuestos.

 

a)      Cuál es la velocidad angular del sistema cuando la longitud del resorte es (3/2) l₀?

No hay fuerzas externa  à momento angular se conserva

 

Centro de masa

CM = (r1 m1 + r2 m2) / (m1 + m2)

 

Donde

CM = centro de masa = 0 (origen de las coordenadas)

r1 = distancia de la masa 1 al centro de masa

m1 = masa del cuerpo 1 = 2 m

r2 = distancia de la masa 2 al centro de masa

m2 = masa del cuerpo 2 = m

r = longitud del resorte = r1 + r2

 

Reemplazando

CM = (r1 2 m -  r2 m) / (2m + m) = 0  à r1 2 m = r2 m

2 r1 = r2

 

Reemplazando r2

r = r1 + 2 r1 = 3 r1 à .r1 = 1/3 r

 

Reemplazando r1

r = 1 /2 r2 + r2 à r2 = 2/3 r

 

 

Momento angular

L = m1 r1 v1 + m2 r2 v2

 

Donde

L = momento angular

r1 = distancia de la masa 1 al centro de masa = 1/3 r

v1 = velocidad de la masa 1 = r1 ω

ω = velocidad angular

r2 = distancia de la masa 2 al centro de masa = 2/3 r

v2 = velocidad de la masa 2 = r2 ω

 

Momento inicial (Lo)

 r = 2 lo

v1 = v2 = v

 

Reemplazando

Lo = 2 m 1/3 * 2 lo v + m 2/3 * 2 lo v = 8/3 m lo v

 

 

Momento final (Lf)

 r = 3/2 lo

 

Reemplazando

Lf = 2 m (1/3 * 3/2 lo)^2 ω + m (2/3 * 3/2 lo)^2 ω = 3/2 m lo^2 ω

 

Igualando Lo = Lf

8/3 m lo v = 3/2 m lo^2 ω

 

Despejando ω

ω = 16 /9 v / lo

 

  

b)     Calcule el vector velocidad de cada masa en esa posición.

 

vf1 = vf1r (ǔr) + vf1t (ǔθ)

 

Donde

vf1 = vector velocidad final de la masa1

vf1r = velocidad radial de la masa 1

vf1t = velocidad tangencial de la masa 1 =  r1f   ω

r1f =  distancia al centro de masa 1 = 1 /3 * 3/2 lo = 1 /2 lo

ω = velocidad angular = 16 /9 v / lo

 

Reemplazando

vf1 = vf1r ( r ) + 1/2 lo 16/9 v / lo = vf1r (ǔr) + 8 /9 v (ǔθ)

 

(ǔr) = versor radial

(ǔθ) = versor tangencial o angular

 

 

vf2 = vf2r (ǔr) + vd2t (ǔθ)

 

Donde

vf2 = vector velocidad final de la masa 2

vf2r = velocidad radial de la masa 2

vf2t = velocidad tangencial de la masa 2 = r2f   ω

r2f = distancia al centro de masa 2 = 2/3 * 3/2 lo = lo

ω = velocidad angular = 16/9  v / lo

 

Reemplazando

vf2 = vf2r (ǔr) + lo (16/9 v / lo) (ǔθ) = vf2r (ǔr) + 16/9 v (ǔθ)

 

 

Relación velocidades radiales

 No hay fuerzas externas à vCM = 0

 

vCM = (m1 vf1r -  m2 vf2r ) / (m1 + m2) = 0

 

Reemplazando

2 m1 vf1r – m vf2r = 0 à vf2r  = 2 vf1r

 

 

Energía mecánica

 

No hay fuerzas no conservativas à Energía mecánica se conserva

 

Energía mecánica inicial (Emo)

Emo = Eco1 + Eco2 + Eepo

 

Donde

Emo = Energía mecánica inicial

Eco1 = energía cinética inicial de la masa 1 = 1/2 m1 v1^2

Eco2 = energía cinética inicial de la masa 2 = 1/2 m2 v2^2

Eepo = Energía elástica inicial = 1/2 k (2 lo – lo)^2 = 1/2 k lo^2

 

Reemplazando

Emo = 1/2 * 2 m v^2 + 1/2 m v^2 + 1/2 k lo^2 = 3/2 m v^2 + 1/2 k lo^2

 

 

Energía mecánica final (Emf)

Emf = Ecf1 + Ecf2 + Eepf

 

Donde

Emf = Energía mecánica final

Ecf1 = energía cinética final de la masa 1 = 1/2 m1 vf1^2

vf1 = velocidad final de la masa 1 = vf1r (ǔr) + 8/9 v (ǔθ)

Ecf2 = energía cinética final de la masa 2 = 1/2 m2 vf2^2

vf2 = velocidad tangencial final de la masa 2 = 2 vf1r (ǔr) + 16/9 v (ǔθ)

Eepf = Energía elástica final = 1/2 k (3/2 lo – lo)^2 = 1/8 k lo^2

 

Reemplazando

Emf = 1/2 * 2 m ( vf1r)^2 + 1/2 * 2 m (8 /9 v)^2 + 1/2 m (2 vf1r)^2 + 1/2 m (16/9 v)^2 + 1/2 k lo^2 =  3 m vf1r^2 + 64/27 m v^2 + 1/8 k lo^2

  

Igualando las Em

 3 m vf1r^2 + 64/27 m v^2 + 1/8 k lo^2 = 3/2 m v^2 + 1/2 k lo^2

 

Despejando vf1r

vf1r = [(3/2 m v^2 + 1 /2 k lo^2 - 64 /27 m v^2 -  1/8 k lo^2) / (3 m)]^(1/2)

        =   [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2)

 

Reemplazando en vf2r

vf2r = 2 [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2)

 

Reemplazando

vf1 = [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2) (ǔr) + 8/9 v (ǔθ)

vf2 = 2 [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2) (ǔr) + 16/9 v (ǔθ)