Física 1 - Exactas
Practica 6. Momento lineal
sábado, 30 de mayo de 2026
Física 1 (Exactas) Practica 6.1 - Momento lineal
Dos cuerpos que
se mueven sobre una mesa libre de rozamiento se acercan con las direcciones
indicadas en la Figura, con velocidades v1 y v2, respectivamente Después del choque permanecen
unidos. Calcular la velocidad final de ambos.
∆p = pf – pi (ecuación vectorial)
Donde
∆p = variación de la cantidad
de movimiento = 0
pf = cantidad de movimiento
final = (m1 + m2) v
m1
= masa 1 = 70 kg
m2 = masa 2 = 100 kg
v = velocidad final
pi = cantidad de movimiento
inicial = m1 v1 + m2 v2
v1 = velocidad inicial de la masa 1 = 20 m/s
v2 = velocidad inicial de la
masa 2 = 40 m/s
Reemplazando
Según x. m1 v1 + m2 v2 cos 30°
= (m1 + m2) v cos α
Seguin
y. m2 sen 30° = (m1 + m2) v sen α
Elevando al cuadrado y sumando
ambas ecuaciones
(m1
v1 + m2 v2 cos 30°)^2 + (m2 v2 sen 30°)^2 = (m1 + m2)^2 v^2
Despejando v
v
= [((m1 v1 + m2 v2 cos 30°)^2 + (m2 v2 sen 30°)^2)] / (m1 + m2)^2) ^(1/2)
Reemplazando
v = [((70 kg 20 m/s
+ 100 kg 40 m/s cos 30°)^2 + (100 kg 40 m/s sen 30°)^2)] / (70 kg + 100 kg)^2)
^(1/2) = 31 m/s
viernes, 29 de mayo de 2026
Física 1 (Exactas) Practica 5.13 - Sistemas no inerciales
Un entretenimiento llamado silla voladora consiste en un disco horizontal de radio R de cuyo perímetro cuelgan hilos de longitud L. En el extremo de cada uno de estos hilos hay una canastilla dentro de la cual se ubica una persona. Considere un sistema de coordenadas fijo al disco el cual gira con velocidad angular constante ω (ver Figura).
Si todos los hilos forman con la vertical el mismo ángulo φ,
a.
¿Es razonable inferir que todos los pasajeros tienen
igual masa?
Ecuaciones de Newton (para sistemas no inerciales) para un pasajero
Dirección vertical: Ty – P = 0
Dirección radial: Tr – Fcf = 0
Donde
Ty = componente vertical de la
tensión = T cos φ
Tr = componente radial de la tensión
= T sen φ
T = tensión
P = peso = m g
Fcf = fuerza centrífuga = m
ω^2 D
D = distancia total entre el
pasajero y el eje = R + L sen φ
Reemplazando
T cos φ = m g
T
sen φ = m ω^2 (R + L sen φ)
Cociente entre ambas
ecuaciones
tan φ = ω^2 (R + L sen φ) /
g
El ángulo φ no depende de la masa
b. Halle ω
Despejando ω^2
ω = (g tan φ / (R + L sen φ)^(1/2)
jueves, 28 de mayo de 2026
Física 1 (Exactas) Practica 5.12 - Sistemas no inerciales
Una bolita de masa m se encuentra engarzada en un alambre circular de radio R, ubicado en posición vertical. El aro de alambre gira alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω constante.
a.
Escriba las ecuaciones de Newton utilizando un sistema
de referencia fijo al aro, indicando las fuerzas de interacción que actúan
sobre la bolita.
Fuerzas de Interacción
P = peso de la bolita = m g
N = Normal ejercida por el alambre (perpendicular a la trayectoria - dirección radial)
Fuerzas Inerciales
Fcf = Fuerza centrífuga = m ω^2 D
Fco = Fuerza de Coriolis = - 2 m ω x v
Ecuaciones de Newton (para sistema no inercial)
Dirección
radial: N - Fcfr – Pr = m ac
Dirección
perpendicular: Fcfp – Pt = m at
Donde
N = Normal
Fcfr =
componente radial de la fuerza centrífuga = Fcf sen φ
Fcfp =
componente perpendicular de la fuerza centrífuga = Fcf cos φ
Fcf =
Fuerza centrífuga = m ω^2 D
ω =
velocidad angular del aro
D = radio
de giro de la masa = R sen φ
R = radio
del aro
Pr =
componente radial del peso = P cos φ
Pt =
componente perpendicular del peso = P sen φ
P = peso =
m g
ac = aceleración
centrípeta = v^2 / R = Ω^2 R
v =
velocidad tangencial de la masa
Ω = velocidad angular de la masa = dφ / dt
at =
aceleración tangencial = d2x / dt2 = R d2φ /
dt2
Reemplazando
N
- m ω^2 R sen φ
sen φ
- m g cos φ = m R (dφ
/ dt)^2
m ω^2
R sen φ
cos φ
- m g sen φ
= m R d2φ
/ dt2
Ecuación
diferencial
d2φ / dt2 -
ω^2 sen φ cos φ + g / R sen φ = 0
b.
Calcule las posiciones de equilibrio y analice la
estabilidad de las mismas.
Posición de equilibrio
m ω^2 R
sen φ cos φ - m g sen φ = 0
Reordenando
m sen φ (ω^2
R cos φ - g) = 0
sen φ = 0 à
φ1 = 0
φ2 = π
(ω^2 R cos
φ - g) = 0 à
cos φ3 = g / (ω^2 R)
Solo existe
si g / (ω^2 R) < 1 à g / R < ω^2
Análisis de estabilidad – pequeñas perturbaciones
FN = m ω^2
R sen φ cos φ - m g sen φ
Con FN =
Fuerza Neta
φ = φeq + ε
Con ε
pequeña perturbación
Serie de
Taylor de 1er orden de FN
FN(φeq + ε)
= m ω^2 R sen φeq cos φeq - m g sen φeq
+
(m ω^2 R cos φeq cos φeq
- m ω^2 R sen φeq sen φeq - m g cos φeq)
ε =
= (m ω^2 R cos φeq cos φeq
- m ω^2 R sen φeq sen φeq - m g cos φeq)
ε
Para φ1 = 0
FN(ε) = (m ω^2
R - m g) ε
Reemplazando
en la ecuación diferencial
d2ε
/ dt2 - (ω^2 - g / R) ε = 0
Si (ω^2 - g /
R ) > 0 à la solución
de la ecuación es exponencial
ω^2 > g / R
à el equilibrio es
inestable
Si (ω^2 - g /
R ) < 0 à la solución de la ecuación es oscilatoria
ω^2 < g / R à el equilibrio es estable
Para φ2 = π
FN(π + ε) =
(m ω^2 R + m g) ε
Reemplazando
en la ecuación diferencial
d2ε
/ dt2 - (ω^2 + g / R) ε = 0
(ω^2 + g /
R ) > 0 à la solución
de la ecuación es exponencial à el equilibrio es inestable
Para cos φ3 = g / (ω^2 R) con à g / R < ω^2
FN(φ3 + ε) = (m ω^2 R - m g^2 / (ω^2 R)) ε
Reemplazando
en la ecuación diferencial
d2ε
/ dt2 - (ω^2 - g^2 / (ω^2 R^2)) ε = 0
Si g / R <
ω^2 à (ω^2 - g^2 / (ω^2 R^2)) < 0 à el equilibrio
es estable
c.
Considere que inicialmente se suelta la masa m desde un ángulo φo, encuentre la
fuerza de vínculo ejercida por el alambre en función de la posición de la
bolita.
Ecuación diferencial
d2φ
/ dt2 - ω^2 sen φ cos φ + g / R sen φ = 0
d2φ
/ dt2 = dΩ / dt = (dΩ / dφ) (dφ / dt) = (dΩ / dφ) Ω
Reemplazando
Ω dΩ / dφ =
ω^2 sen φ
cos φ
- g / R sen φ
Integrando
Ω^2 / 2 = ω^2 (sen φ)^2 / 2 + g / R cos φ + C
Para φ = φo
à vo = 0 (Ωo = 0)
0
= ω^2
(sen φo)^2
+ 2 g / R cos φo
+ C
C = - ω^2 (sen φo)^2 - 2 g / R cos φo
Reemplazando en Ω
Ω^2 = ω^2 ((sen φ)^2 - (sen φo)^2) + 2 g / R (cos φ -
cos φo)
Reemplazando en la ecuación radial
N = m ω^2 (2 (sen φ)^2 - (sen φo)^2) + g m (3 cos φ –
2 cos φo)
miércoles, 27 de mayo de 2026
Física 1 (Exactas) Practica 5.11 - Sistemas no inerciales
Dos masas m1 y m2 están unidas por una soga inextensible de longitud L y de masa despreciable (ver Figura). Los dos cuerpos están sobre un riel que gira con velocidad angular ω constante y el riel no permite que los cuerpos se muevan hacia los costados. En el instante t = 0, la masa m1 se encuentra en la posición A con velocidad nula con respecto al riel.
a.
En un sistema no inercial solidario al riel, indique
cuáles son las fuerzas y cuáles son las pseudofuerzas que actúan sobre cada
masa. Identifique los pares de acción y reacción.
Cuerpo 1
Fuerzas de interacción
Pseudofuerzas (fuerzas de inercial)
Fuerzas de interacción
b.
Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo en un
sistema no inercial solidario al riel.
Ecuaciones de Newton (sistema no inercial)
Cuerpo1. Dirección radial: T –
P1r + Fcf1r = m1 anr
Cuerpo1. Dirección
perpendicular: N1p – P1p – Fcf1p – Fco1 = 0
Cuerpo1. Dirección lateral al
riel: N1l – Fco1 = 0
Cuerpo2. Dirección horizontal:
Fcf2 – T = m2 anx
Cuerpo2. Dirección
perpendicular: N2p – P2 = 0
Cuerpo2. Dirección lateral al
riel: N2l – Fco2 = 0
Donde
T = tensión de la soga
P1r = componente radial del
peso = P1 sen α
P1p = componente perpendicular
del peso = P1 cos α
P1 = peso masa 1 = m1 g
Fcf1r = componente radial de
la fuerza centrípeta = Fcf1 cos α
Fcf1p = componente
perpendicular de la fuerza centrípeta = Fcf1p sen α
Fcf1 = fuerza centrífuga de la
masa 1 = m1 ω^2 r
ω = velocidad angular
r = distancia al eje de rotación
N1p = reacción normal del riel
– perpendicular al plano
N1l = reacción normal del riel
– lateral al riel
Fco1 = fuerza de Coriolis = 2
m1 ω r (perpendicular al riel)
anr = aceleración según la
dirección radial = d2r / dt2
N2 = reacción normal del riel
N2p = reacción normal del riel
– perpendicular al plano
N2l = reacción normal del riel
– lateral al riel
Fcf2 = fuerza centrífuga de la
masa 2 = m2 ω^2 x
x = distancia al eje de rotación
anx = aceleración según la
dirección horizontal = d2x / dt2
Reemplazando
T – m1 g sen α + m1 ω^2 r cos α
= m1 d2r / dt2
m2 ω^2 x – T = m2 d2x
/ dt2
Relaciones de vinculo
L = x + r
Con L = longitud de la cuerda
anx = anr (cuerda
inextensible)
Reemplazando en las ecuaciones
de Newton
T – m1 g sen α + m1 ω^2 (L – x) cos α = m1 d2x / dt2
m2 ω^2 x – T = m2 d2x / dt2
c.
Resuelva las ecuaciones de movimiento y describa cómo
será el movimiento de las partículas.
Sumando ambas ecuaciones
m2 ω^2 x – m1 g sen α + m1 ω^2
(L – x) cos α = m1 d2x / dt2 + m2 d2x / dt2
Reordenando
d2x / dt2 + (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2)
x = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 + m2)
Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) /
(m1 + m2) < 0 la solución es una función
exponencial
(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1
+ m2) < 0 à m1 cos α – m2 < 0 à m1 cos α < m2
Posición de equilibrio
m2 ω^2 xeq – m1 g sen α + m1 ω^2
(L – xeq) cos α = 0
despejando xeq
xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)
Definiendo la variable u
u = x - xeq
Reemplazando en la ecuación
diferencial
d2u / dt2 +
(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) u = 0
Opción I .
Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) /
(m1 + m2) > 0 la solución es una función
de oscilación (MAS)
(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1
+ m2) > 0 à m1 cos α – m2 > 0 à m1 cos α >
m2
La solución de la ecuación
diferencial
u = A cos (Ω t + φ)
Reemplazando en x
x(t) = A cos (Ω t + φ) + xeq
Donde
A = amplitud de oscilación
Ω = velocidad angular de la
oscilación = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)
φ = fase inicial
Para t = 0; x = L y v = 0
x(0) = A cos (φ) + xeq = L à A = (L – xeq)
v(0)
= dx / dt = - A Ω
sen (φ) = 0 à φ
= 0
Reemplazando
x(t) = (L – xeq) cos (Ω t) + xeq
Con
xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)
Ω = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)
Opción II.
Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) /
(m1 + m2) < 0 la solución es una función
exponencial
(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1
+ m2) < 0 à m1 cos α – m2 < 0 à m1 cos α < m2
La solución de la ecuación
diferencial
u = A e^(λt) + B e^-(λt)
Reemplazando en x
x(t) = A e^(λt) + B e^-(λt) +
xeq
Donde
A = amplitud de oscilación
λ = velocidad angular = ω
((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)
Para t = 0; x = L y v = 0
x(0) = A + B + xeq
= L à A = (L – xeq) /2
v(0)
= dx / dt = A λ
- B λ = 0 à
A – B = 0 à A = B
Reemplazando
x(t) = (L – xeq) / 2 (e^(λt) + e^-(λt)) + xeq
Con
xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)
λ = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)
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