Física 1 (Exactas) Practica 2.11 – Dinámica

 Un juego de un parque de diversiones consiste en un carrito de masa m1 que se desplaza sobre un riel semicircular de radio R carente de rozamiento. El carrito es arrastrado mediante una soga que se desliza a lo largo del riel que está enganchada a un sistema de poleas del cual cuelga un contrapeso de masa m2. Este contrapeso se mueve sobre un plano inclinado que forma un ángulo a con la horizontal. Considere que las sogas son inextensibles y sin masa, y que las sogas tienen masas despreciables.

 

Escriba las ecuaciones de Newton y de vínculo para ambas masas.

 

 

Cuerpo 1. Según r: N1 – P1r = m1 ac

Cuerpo 1. Según y: T1 – P1t = m1 at

Polea 1: - T1 + T1 = 0 (polea ideal)

Polea 2: - T1 – T1 + T2 = 0 (polea ideal)

Cuerpo 2. Según x: - T2 + P2x = m2 a2

Cuerpo 2. Según y: N2 – P2y = 0

 

Donde

N1 = reacción del plano al carrito 1

P1r = componente radial de P1 = P1 cos φ

P1t = componente tangencial de P1 = P1 sen φ

φ = ángulo con la vertical

P1 = peso del carrito = m1 g

m1 = masa del carrito

ac = aceleración centrípeta

T1 = tensión de la soga 

at = aceleración tangencial

T2 = tensión de la soga

P2x = componente según x de P2 = P2 sen α

P2y = componente según y de P2 = P2 cos α

P2 = peso del cuerpo = m2 g

m2 = masa del cuerpo

N2 = reacción del plano al cuerpo 2

 

 

 

AB + BD + DC = longitud de la soga

A´B + BD´ + D´C = longitud de la soga

 

Restando ambas ecuaciones

A´B – AB + BD´ - BD + D´C – DC = 0

d – x – x = 0 à d = 2 x

 

Donde

d = espacio recorrido por el carrito = A´B – AB = R j

x = espacio recorrido por la polea 2 (contrapeso) = - (BD´ - BD) = - (D´C – DC)

R = radio del riel

Reemplazando

R j = 2 x

 

 

a)     Diga para qué valor de j el carro podrá permanecer en reposo.

 

 Reemplazando en la ecuación tangencial del carrito y según x del contrapeso

T1 – m1 g sen φ = 0 (en reposo)

 m2 g sen α - T2 = 0 (en reposo)

 

Despejando T1 y T2

T1 = m1 g sen φ

T2 = m2 g sen α

 

De la polea P2

2 T1 = T2

 

Reemplazando

2 m1 g sen φ = m2 g sen α

 

Despejando sen φ

sen φ = m2 sen α / (2 m1)

 

 

b)    Encuentre la velocidad del carro como función de j.

 

Reemplazando en la ecuación tangencial del carrito y según x del contrapeso

T1 – m1 g sen φ = m1 at

m2 g sen α - T2 = m2 a2

 

Despejando T1 y T2

T1 = m1 g sen φ + m1 at

T2 = m2 g sen α – m2 a2

 

Ecuaciones horarias de los desplazamientos.

d = 1 / 2 at t^2

x = 1 /2 a2 t^2

 

Reemplazando

d = 2 x

1 /2 at t^2 = 2 ( 1/2 a2 t^2) à a2 = at / 2

 

De la polea P2

2 T1 = T2

2 (m1 g sen φ + m1 at) = m2 g sen α – m2 at / 2

 

Despejando at

at = (- 2 m1 g sen φ + m2 g sen α) / (2 m1 + m2 / 2)

 at = dv/dt = dω/dt R = R dω/dφ dφ/dt = R ω dω/dφ

Reemplazando 

 R ω dω/dφ = - 2 m1 g sen φ / (2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α / (2 m1 + m2 / 2)

 

reordenando

R ω dω = [- 2 m1 g sen φ / (2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α / (2 m1 + m2 / 2)] dφ

1 /2 R ω^2 = 2 m1 g cos φ / (2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α / (2 m1 + m2 / 2) φ

Integrando y multiplicando por R

R^2 ω^2 = 2 R [ 2 m1 g cos φ / (2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α / (2 m1 + m2 / 2) φ ]

 

v^2  = 2 R [ 2 m1 g cos φ / (2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α / (2 m1 + m2 / 2) φ ] + C

 

  

c)     Resuelva numéricamente la ecuación de movimiento y encuentre el tiempo que tarda el carrito en subir hasta j = p/2, suponiendo que sen a = 1/2, m1 = m2, j (0) = 0 y parte del reposo.

 

Para sen a = 1/2, m1 = m2 = m, j (0) = 0 y parte del reposo (vo = 0)

 

Reemplazando

vo^2  = 2 R [ 2 m g cos 0 / (2 m + m / 2) + m g (1/2) / (2 m + m / 2) 0 ] + C = 0

vo^2  = 4 R 2/5  g  + C = 0 à C = - 8/5 R g

 

Reemplazando y reordenando

v^2  =  8/5 R g (cos φ + 4 φ  -  1)

 

v = R ω  = R dφ/dt = raíz cuadrada [8/5  R g (cos φ  +  4 φ   -  1)]

 

Reordenando

dφ / (raíz cuadrada [8/5 R g (cos φ + 4 φ  - 1)] = R dt

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.10 – Dinámica

 Un cuerpo de masa m se halla apoyado sobre una superficie cónica sin fricción, colgando del extremo de una cuerda inextensible de longitud L. En el instante inicial el cuerpo rota con velocidad angular de módulo wo.

 

 

 

a)     Escriba las ecuaciones de Newton y las condiciones de vínculo para la partícula.

 

 

 

Ecuaciones de Newton

Según r:  Tr - Nr = m ac

Según y : Ty + Ny – P  = 0

 

donde

T = tensión de la cuerda

Tr = componente según r de la tensión = T sen α

Ty = componente según y de la tensión = T cos α

N = reacción del cono

Nr = componente según r de la reacción = N cos α

Ny = componente según y de la reacción = N sen α

α = ángulo de la soga con la vertical

ac = aceleración centrípeta = ω^2 R

ω = velocidad angular = ωo

R = radio de giro = L sen α

L = longitud de la cuerda

P = peso = m g

 

Radio de giro

 

 

 

b)    Calcule la aceleración de la partícula.

 

a = ac + ay (ecuación vectorial)

 

Donde

a = aceleración

ac = aceleración centrípeta = ω^2 R

ay = aceleración según y = 0 (cuerda inextensible)

 

Reemplazando ac

ac = ωo^2 L sen α

 

 

c)     Halle la tensión de la cuerda y la fuerza de interacción ejercida por la superficie. Diga para qué valor de wo esta última fuerza se anula.

 

Reemplazando en las ecuaciones de Newton

T sen α - N cos α = ωo^2 L sen α

T cos α + N sen α – m g = 0

 

Despejando N en cada ecuación

N cos α = T sen α - ωo^2 L sen α

N sen α = - T cos α + m g

 

Cociente entre ambas ecuaciones

tan α = (- T cos α + m g) / (T sen α - ωo^2 L sen α)

 

Reordenando y despejando T

T = (m g + ωo^2 L sen α tan α) / (sen α tan α + cos α)

 

Despejando T en cada ecuación

T sen α = N cos α + ωo^2 L sen α

T cos α = m g - N sen α

 

Cociente entre ambas ecuaciones

tan α = (N cos α + ωo^2 L sen α) / (m g - N sen α)

 

Reordenando y despejando N

N = (m g tan α - ωo^2 L sen α) / (cos α + sen α tan α)

 

N = (m g tan α - ωo^2 L sen α) / (cos α + sen α tan α) = 0

m g tan α - ωo^2 L sen α = 0

 

Despejando ωo

ωo = raíz cuadrada (m g tan α / (L sen α)) = raíz cuadrada (m g / (L cos α))

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.9 – Dinámica

Un hilo inextensible pasa a través de un tubo delgado de vidrio y dos cuerpos de masas M y m (M > m) penden de los extremos del hilo como se indica en la figura. El cuerpo m realiza una trayectoria circular alrededor del tubo, en un plano horizontal, de tal forma que M permanece en reposo. El período del movimiento es T.

 

 

a)     Diga cuál es el ángulo entre el hilo y el tubo en función de m y M.

 

 

Cuerpo m según y: Tey – Pm = 0

Cuerpo m según r: Ter = m ac

Cuerpo M según y: Te – PM = 0

 

Donde

Ty = componente según y de la tensión = Te cos θ

Tr = componente según r de la tensión = Te sen θ

Te = tensión del hilo

θ = angulo entre el hilo y el tubo (cos θ = h / L)

h = diferencia de altura = L cos θ

Pm = peso del cuerpo m = m g

PM = peso del cuerpo M = M g

ac = aceleración centrípeta = ω^2 R

ω = velocidad angular = 2π / T

T = periodo

R = radio de giro = L sen θ

 

Despejando Te de la ecuación de la masa M

Te = M g

 

Reemplazando en la ecuación según y de la masa m

M g cos θ = m g

 

Despejando cos θ

cos θ = m / M

θ = arco cos (m / M)

 

 

b)    Exprese el valor de L en función de T, m, M y g.

  

Reemplazando en la ecuación radial

M g sen θ = m (2π /T)^2 L sen θ

 

Despejando L

L = M / m  (T / (2π))^2  g

 

  

c)     Exprese T en función de g y h.

 

cos θ = m / M = h / L (ver figura)

 

Despejando L

L = h M / m

 

Igualando L

h M / m = M / m (T / (2π))^2  g

 

despejando T

T = 2π raíz (h / g)