Física 1 (Ing.) Práctica 1.17 - Cinemática y Dinámica

Halle la expresión para la aceleración de los cuerpos m₁ y m₂ y la tensión en las cuerdas en cada caso. Considere las poleas como ideales, y desprecie la fricción de m₁ con la superficie.

Primero resuelva algebraicamente y luego analice el movimiento para m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

Caso A 

DCL

 

 

Cuerpo 1. Según x: T = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Cuerpo 2. Según x: P2 – T = m2 a2

 

Donde

T = tensión

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2 = a1 = a (cuerda ideal)

 

Sumando ambas ecuaciones

m2 g = (m1 + m2) a

 

Despejando a

a = m2 g / (m1 + m2)

 

Reemplazando T

T = m1 a = m1 m2 g / (m1 + m2)

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a = m2 g / (m1 + m2) = 6 kg 10 m/s² / (4 kg + 6 kg) = 6 m/s²

T = m1 m2 g / (m1 + m2) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (4 kg + 6 kg) = 24 N

 

 

Caso B

DCL

 

Cuerpo 1. Según x: T1 = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Polea:  T2 – T1 – T3 = 0

Cuerpo2. Según x: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

T2 = tensión del cuerpo 2

T3 = tensión de la polea al techo 

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Relación de movimientos

 

 

 

 

L = AB + BC + CD

L´ = A´B + BC´+ C´D

 

Restando ambas ecuaciones

L – L´ = AB – A´B + BC – BC´+ CD – C´D

 

Con

L = L’ = longitud de la cuerda

AB – A´B = d1

BC – BC´= - dp

CD – C´D = - dp

 

reemplazando

 d1 – dp – dp = 0 à d1 = 2 dp

 a1 = 2 a2

 

Polea

T2 – T1 – T3 = 0 à T2 = 2 T1

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 = m1 a1

m2 g – 2 T1 = m2 a1 / 2

 

Reemplazando T1

.m2 g – 2 m1 a1 = m2 a1 / 2

 

Despejando a1

a1 = m2 g / (m2 / 2 + 2 m1)

a2 =  a1 / 2

 

Reemplazando T

T1 = m1 a1 = m1 m2 g / (m2 / 2 + 2 m1)

T2 = 2 T1

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a1 = m2 g  / (m2 / 2 + 2 m1)  = 6 kg 10 m/s² / (6 kg / 2  + 2 * 4 kg) = 5,45 m/s²

a2 = 5,45 m/s² / 2 = 2,73 m/s²

T1 = m1 m2 g / (m2 / 2 + 2 m1) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (6 kg / 2 + 2 * 4 kg) = 21,82 N

T2 = 2 T1 = 2 * 21,82 N = 43,64 N

 

  

Caso C 

 

DCL

Cuerpo 1. Según x: T1 = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Polea:  T2 + T3 – T1 = 0

Cuerpo2. Según x: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

T2 = tensión del cuerpo 2

T3 = tensión de la polea al piso 

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Relación de movimientos 

L1 = AB + BC

L1´ = A´B + BC´

 

Restando ambas ecuaciones

L1 – L1´ = AB – A´B + BC – BC´

 

Con

L1 = L1’ = longitud de la cuerda 1 (desde el cuerpo 1 a la polea móvil)

AB – A´B = d1

BC – BC´= - dp

 

reemplazando

d1 – dp = 0 à d1 =  dp

a1 = ap

 

L2 = EC + CD

L2´ = EC´ + C´D´

 

Restando ambas ecuaciones

L´2 – L2´ = EC – EC´ + CD – C´D´

 

Con

L2 = L2’ = longitud de la cuerda 2 (desde el cuerpo 2 al piso)

EC– EC´ = dp

CD – C´D´ = CD – C´D + C´D – C´D´ = dp + d2

 

reemplazando

 dp  + dp – d2 = 0 à 2 dp =  d2

 ap = a2

 2 a1 = a2

 

Polea

T2 + T3 – T1 = 0 à 2 T2 = T1

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 = m1 a1

m2 g – T1 / 2 = m2 2 a1

 

Reemplazando T1

m2 g –  m1 a1 / 2 = m2 2 a1

m2 g = 2 m2 a1 + m1 /2 a1

 

Despejando a

a1 = m2 g / (2 m2 + m1 / 2)

a2 =  2 a1 

 

Reemplazando T

T1 = m1 a1 = m1 m2 g / (2 m2 + m1 / 2)

T2 = T1 / 2  

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a1 = m2 g / (2 m2 + m1 / 2)  = 6 kg 10 m/s² / (2 * 6 kg  + 4 kg / 2) = 4,29 m/s²

a2 = 2 * 4,29 m/s² / 2 = 8,57 m/s²

T1 = m1 m2 g / (2 m2 + m1 / 2) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (2 * 6 kg + 4 kg / 2 = 17,14 N

T2 = T1 / 2 = 17,14 N / 2 = 8,57 N

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.16 - Cinemática y Dinámica

Dos bloques, que pesan 8 kg y 80 kg respectivamente, están unidos por una barra y deslizan hacia abajo sobre un plano inclinado 30⁰ respecto de la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque de menos masa y el plano es 0,25 y el correspondiente al otro bloque es 0,5.

 

a.   Calcular la aceleración y la tensión en la barra. ¿La barra está comprimida o traccionada? ¿Depende el resultado de la ubicación relativa de los bloques?

 

  

Ecuación de Newton

Bloque 1:

Según x: P1 sen 30° - Froz1 – T = m1 a

Según y: N1 – P1 cos 30° = 0

Bloque 2:

Según x: T + P2 sen 30° - Froz2 = m2 a

Según y: N2 – P2 cos 30° = 0

Donde

P1 = peso del bloque 1 = m1 g

m1 = masa del bloque 1

Froz1 = fuerza de rozamiento dinámico del bloque 1 = μ1 N1

μ1 = coeficiente de rozamiento del bloque 1

N1 = reacción del plano = m1 g cos 30° (ecuación según y)

T = fuerza de la barra

a = aceleración

P2 = peso del bloque 2 = m2 g

m2 = masa del bloque 2

Froz2 = fuerza de rozamiento dinámico del bloque 2 = μ2 N2

μ2 = coeficiente de rozamiento del bloque 2

N2 = reacción del plano = m2 g cos 30° (ecuación según y)

 

Reemplazando y sumando ambas ecuaciones

m1 g sen 30° -  μ1 m1 g cos 30° + m2 g sen 30° -  μ2 m2 g cos 30° = (m1 + m2) a

 

Despejando a

a = ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

 

Reemplazando en la ecuación del bloque 1 según x

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

 

 

a.1. m1 = 80 kg y m2 = 8 kg;  μ1 = 0,50 y μ2 = 0,25

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = ((80 kg + 8 kg) 10 m/s² 0,5 - (0,50 * 80 kg + 0,25 * 8 kg) 10 m/s² 0,867) / (80 kg + 8 kg)

a = 0,87 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 80 kg (10 m/s² 0,5 – 0,50 *10 m/s²  0,867 - 0,867 m/s²)   

T = - 15,75 N à barra esta comprimida

 

 

a.2. m1 = 8 kg y m2 = 80 kg;  μ1 = 0,25 y μ2 = 0,5

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = ((8 kg + 80 kg) 10 m/s² 0,5 - (0,25 * 8 kg + 0,5 * 80 kg) 10 m/s² 0,867) / (8 kg + 80 kg)

a = 0,87 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 8 kg (10 m/s² 0,5 – 0,25 *10 m/s²  0,867 - 0,87 m/s² )  

T = 15,75 N à barra esta traccionada

 

 

 

b.  ¿Cuál sería la aceleración y la tensión en la barra si los bloques intercambian los coeficientes de rozamiento?

  

b.1. m1 = 80 kg y m2 = 8 kg; μ1 = 0,25 y μ2 = 0,50

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30° -  ( μ1 m1 +  μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = ((80 kg + 8 kg) 10 m/s² 0,50 - (0,25 * 80 kg + 0,50 * 8 kg) 10 m/s² 0,867) / (80 kg + 8 kg)

a = 2,64 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 80 kg (10 m/s² 0,50 – 0,25 *10 m/s²  0,867 – 2,64 m/s² )  

T = 15,75 N à barra esta traccionada

 

 

b.2. m1 = 8 kg  y m2 = 80 kg g;  μ1 = 0,50 y μ2 = 0,25

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30°  -  ( μ1 m1 +  μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = ((8 kg + 80 kg) 10 m/s² 0,50 - (0,50 * 8 kg + 0,25 * 80 kg) 10 m/s² 0,867) / (8 kg + 80 kg)

a = 2,64 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 8 kg (10 m/s² 0,50 – 0,25 *10 m/s² 0,867 – 2,64 m/s² )  

T = - 15,75 N à barra esta comprimida

 

 

 

c.   Recalcular suponiendo ambos coeficientes iguales a 0,25.

 

 

c.1. m1 = 80 kg y m2 = 8 kg; μ1 = μ2 = 0,25

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30°  -  ( μ1 m1 +  μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = 10 m/s² 0,50 - 0,25 * 10 m/s² 0,867

a = 2,83 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 80 kg (10 m/s² 0,50 – 0,25 *10 m/s²  0,867 – 2,83 m/s² )  

T = 0 N à NI tracción NI compresión

 

 

c.2. m1 = 8 kg y m2 = 80 kg g; μ1 = μ2 = 0,25

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = 10 m/s² 0,50 - 0,25 * 10 m/s² 0,867

a = 2,83 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 8 kg (10 m/s² 0,50 – 0,25 *10 m/s² * 0,867 - 2,83 m/s² )  

T = 0 N à NI tracción NI compresión

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.15 - Cinemática y Dinámica

Las masas de A y B en la figura (i) y (ii) son 10 kg y 5 kg, respectivamente. El coeficiente de fricción de A con la mesa es de 0.20.

 

 

 

a.   Hallar la masa mínima de C que evitará que A se mueva.

 

DCL

 

Ecuaciones de Newton

Cuerpo A según x:  - FrozA + T = 0

Cuerpo A según y:  NA – PA – RCA = 0

Cuerpo C según y: RAC – PC = 0

Cuerpo B según x: - T + PB = 0

 

donde

FrozA = fuerza de rozamiento estático máximo entre el cuerpo A y la mesa = μe NA

μe = coeficiente de rozamiento estático entre el cuerpo A y la mesa = 0,2

NA = fuerza que ejerce la mesa sobre el cuerpo A

T = tensión de la soga

RCA = reacción del cuerpo C sobre el cuerpo A

RAC = reacción del cuerpo A sobre el cuerpo C

| RCA | = | RAC | par de acción-reacción

PA, PB, PC = peso de los cuerpos A, B y C respectivamente = masa g

mA = masa del cuerpo A = 10 kg

mB = masa del cuerpo B = 5 kg

mC = masa del cuerpo C

 

sumando las ecuaciones según y de los cuerpos A y C y despejando NA

NA = PA + PC = mA g + mC g

 

calculando FrozA

FrozA = μe (mA + mC) g

 

Sumando las ecuaciones según x de los cuerpos A y B

PB = FrozA = μe (mA + mC) g

 

despejando mC

mC = mB / μe - mA = 5 kg / 0,2 - 10 kg = 15 kg

 

 

b.  Si se retira el cuerpo C, calcular el vector aceleración de las masas A y B considerando un μd = 0,1.

 

DCL

 

Ecuaciones de Newton

 

Cuerpo A según x: - FrozA + T = mA a

Cuerpo A según y: NA – PA = 0

Cuerpo B según y: - T + PB = mB a

 

donde

FrozA = Fuerza de rozamiento dinámico entre el cuerpo A y la mesa = μd NA

μd = coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo A y la mesa  = 0,1

NA = fuerza que ejerce la mesa sobre el cuerpo A

T = tensión de la soga

PA, PB = peso de los cuerpos A y B respectivamente = masa  g

mA = masa del cuerpo A = 10 kg

mB = masa del cuerpo B = 5 kg

a = aceleración del sistema

 

despejando NA de la ecuación según y del cuerpo A

NA = PA = mA g

 

calculando FrozA

FrozA = μd  mA  g

 

restando las ecuaciones según x de los cuerpos A y B

g mB - μd g mA =  (mA + mB) a

 

Despejando a

a = g (mB - μd mA) / (mA + mB) = 10 m/s² (5 kg – 0,1*10 kg) / (10 kg + 5 kg) =

a = 2,67 m/s²  

 

 

 c.   Hallar la velocidad relativa de A respecto de B después de 0.5 s de retirado el cuerpo C. 

 

vA = vAB + vB (vectorial)

 

donde

vA = velocidad de A = a t = 2,67 m/s² * 0,5 s = 1,33 m/s î  (dirección x, sentido positivo)

vAB = velocidad relativa de A respecto de B

vB = velocidad de B = 1,33 m/s ĵ (soga ideal)

 

reemplazando y despejando vAB

vAB = 1,33 m/s î + 1,33 m/s ĵ  

 

 

 

d.1.  Si se vuelve a colocar el cuerpo C sobre el A (misma situación que en el ítem a), pero la soga se sujeta del cuerpo C, ¿qué coeficiente de rozamiento es necesario entre el cuerpo A y C para que los cuerpos permanezcan en equilibrio?

 

DCL

 

Ecuaciones de Newton

 

Cuerpo A según x: - FrozA + FrozCA = 0 (está en equilibrio)

Cuerpo A según y: NA – PA - RCA = 0

Cuerpo B según y: - T + PB = 0 (está en equilibrio)

Cuerpo C según x: T - FrozAC = 0 (está en equilibrio)

Cuerpo C según y: RAC – PC = 0

 

donde

FrozA = Fuerza de rozamiento estático máximo entre el cuerpo A y la mesa = μe NA

μe = coeficiente de rozamiento estático entre el cuerpo A y la mesa = 0,2

NA = fuerza que ejerce la mesa sobre el cuerpo A

RCA = fuerza ejercida por el cuerpo C sobre el cuerpo A

RAC = fuerza ejercida por el cuerpo A sobre el cuerpo C

| RCA | = | RAC | par de acción-reacción

FrozCA = fuerza de rozamiento entre los cuerpos A y C, sobre el cuerpo A = μeCA RAC

μeCA = coeficiente de rozamiento estático entre los cuerpos A y C

FrozAC = fuerza de rozamiento entre los cuerpos A y C, sobre el cuerpo C

| FrozCA | = | FrozAC | par de acción-reacción

T = tensión de la soga

PA, PB, PC = peso de los cuerpos A, B y C respectivamente = masa g

mA = masa del cuerpo A = 10 kg

mB = masa del cuerpo B = 5 kg

mC = masa del cuerpo C = 15 kg

 

despejando RAC de la ecuación según y del cuerpo C

RAC = PC = mC g

 

FrozAB = μeCA FAC = μeCA mC g

 

restando las ecuaciones según y de los cuerpos B y C y despejando FrozAB

FrozAB = PB = mB g

 

reemplazando FAC e igualando

μeCA mC g = mB g

 

despejando

μeCA = mB / mC = 5 kg / 15 kg = 0,33 o mayor

 

 

 

d.2. ¿Cómo se moverían los cuerpos si, entre A y C, existiese el mismo coeficiente de roce que entre A y la mesa? 

 

Si μe = 0,2 (entre A y C)  < 0,33 à B y C se mueven

 

Cuerpo C según y: RAC – PC = 0

 

Donde

RCA = fuerza ejercida por el cuerpo C sobre el cuerpo A

PC = peso del cuerpo C = mC g

 

Reemplazando

RAC = mC g

 

FrozCA = μdCA mC g = μd RAC = 0,20 * 15 kg 10 m/s² = 30 N

 

Cuerpo A según y: NA – PA - RCA = 0

 

Donde

NA = fuerza que ejerce la mesa sobre el cuerpo A = PC = mC g

RCA = fuerza ejercida por el cuerpo C sobre el cuerpo A

PA = peso del cuerpo A = mA g

 

Reemplazando

NA = PA + RCA

 

FrozA max = μe NA = μe g (mA + mC) = 0,20 * 10 m/s² (10 kg + 15 kg) = 50 N

 

FrozCA < FrozA max à A NO se mueve