Física 1 (Ing.) Práctica 2.9 - Trabajo y Energía

Una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza de atracción inversamente proporcional al cuadrado del radio, F = - k / r². La trayectoria es un círculo de radio r. Mostrar que:

 

a.     la velocidad es v = (k / m r)^1/2

 

F = m ac

 

Donde

F = fuerza de atracción = - k / r^2

m = masa

ac = aceleración centrípeta = - v^2 / r

v = velocidad

 

Reemplazando

k / r^2 = m v^2 / r

 

Despejando v

v = [k / (m r)]^(1/2)

 

 

 

b.     la energía total es E = - k / 2r, y

 

Em = Ec + Ep

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinética = 1 / 2 m v^2

Ep = energía potencial

 

Ep = ∫ F dr = ∫ k / r^2 dr = k (- 1 / r)  

 

Reemplazando

Em = 1 /2 m (k / (m r)) -  k / r = - 1 /2 k / r

 

 

 

c.      el momento angular es L = (m k r)^1/2.

 

L = r x m v = r m [k / (m r)]^(1/2) = [ m k r ]^(1/2)

 

Donde

L = momento angular

 

Reemplazando

L = r m [k / (m r)]^(1/2) = [ m k r ]^(1/2)

 

 

 

d.     Relacionar lo visto en este problema con lo que le sucede a una partícula que se mueve en órbitas circulares alrededor de La Tierra. Considerar el potencial cero en el infinito.

 

FG = - G M / r^2

 

Donde

FG = fuerza gravitatoria

G = constante de gravitación universal

M = masa de la Tierra

m = masa del satélite

r = distancia entre el satélite y el centro de la Tierra

 

Reemplazando

FG = - (G M m) / r^2 à k = G M m

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.8 - Trabajo y Energía

Sobre una superficie horizontal con rozamiento despreciable, hay una partícula de masa m unida a un resorte de constante elástica k. El resorte se estira una distancia a y se suelta.

 

a.     Relacionar la energía potencial de la partícula en función de x con su energía cinética.

 

Em = Ec + Epe

 

Donde

Em = energía mecánica

Ex = energía cinética

Epe = energía potencial elástica = 1 /2 k x^2

k = constante elástica

x = distancia estirada del resorte

 

Reemplazando

Em = Ec + 1 /2 k x^2

 

 

b.     ¿En qué posiciones son nulas?

 

Epe = 0 à x = 0  

 

 

c.       ¿En qué posiciones son máximas o mínimas? 

 

Epe max à x = + a

Epe min à x = - a

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.7 - Trabajo y Energía

 

 

a.     Calcular el trabajo de la fuerza peso a lo largo de una trayectoria cerrada cualquiera.

 

El peso es una fuerza constante que actúa en dirección vertical à P = m g (-ǰ)

 

W = ∫ m g (-ǰ) . (dx (ǐ) + dy (ǰ) + dz (k)) = - ∫ m g dy = - m g (yf – yi)

 

trayectoria cerrada à yf = yi  à W = 0

 

 

b.     ¿Puede generalizarse a cualquier trayectoria?

 

Si.  El trabajo depende únicamente de la posición inicial y final. No del camino

 

 

c.      ¿Qué utilidad tiene esta propiedad?

 

Permite definir el concepto de energía potencial (Ep) = m g h

 

 

d.     ¿Cómo se llaman las fuerzas que presentan esta propiedad, por qué reciben ese nombre?

 

Fuerzas conservativas

El trabajo realizado por ellas “conserva” la energía mecánica (Em)

 

 

e.      Dar varios ejemplos.

 

Fuerza gravitatoria (ó fuerza peso)

Fuerza elástica (resortes ideales)

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.6 - Trabajo y Energía

A un objeto de 5 kg que solo se puede mover según el eje “x”, se le aplica una fuerza cuya componente F_x varía según el siguiente gráfico. 

  

a)     Calcular el trabajo realizado por el vector F entre x = 0 m y x = 12 m. 

 

 

W = área de la curva Fx(x) = triangulo azul + triangulo rojo

     = 10 N 8 m / 2 + 10 N (12 m – 8 m) / 2 = 60 J

 

 

b)    Calcular la velocidad en el punto x = 8 m.

 

ΔEc = W

 

Donde

ΔEc = variación de la energía cinética = Ecf – Eci

Ecf = energía cinética final = 1 /2 m vf^2

m = masa = 5 kg

vf = velocidad final

Eci = energía cinética inicial = 0

W = trabajo de la fuerza F = triangulo azul = 10 N 8 m / 2 = 40 J

 

Reemplazando y despejando vf

vf = [ 2 W / m]^(1/2) = [2 * 40 J / 5 kg]^(1/2) = 20 m/s

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.5 - Trabajo y Energía

Un cuerpo de masa m se mueve con velocidad V en relación con un observador O y con velocidad V' con respecto a O'. La velocidad de O' con respecto a O es u. Encontrar la relación entre las energías cinéticas Ec y Ec´ del cuerpo medidas por los observadores ubicados en O y O'.

 

 Ec = 1 / 2 m V^2

 

Donde

Ec = energía cinética respecto de O

V = velocidad respecto de O = V´ + u

V´= velocidad respecto de O´

.u = velocidad de O´ respecto de O

Ec´= energía cinética respecto de O´ = 1 / 2 m V´^2

 

Reemplazando

Ec = 1 / 2 m (V´+ u)^2 = 1/ 2 m V^2 + 2 * 1/ 2 m V´ u + 1/ 2 m u^2

Ec = Ec´ + m V´ u + 1 /2 m u^2

 

 

 

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.4 - Trabajo y Energía

¿Qué sucede con la energía cinética del cuerpo que se mueve por la espiral, mientras la desarrolla, su rapidez es constante, pero el módulo de su aceleración varía?? ¿Cuánto vale el trabajo de la fuerza neta que actúa sobre la partícula?

¿Por qué? 

 

Energía cinética

 

“… rapidez es constante … “ à ΔEc = 0

 

  

Aceleración

 

a = at + ac

 

Donde

a = aceleración

at = aceleración tangencial = 0 (rapidez constante)

ac = aceleración centripeta = v^2 / R 

v = velocidad (constante)

R = radio (variable)

reemplazando

| a | = (at^2 + (v^2 / R)^2 )^(1/2) = v^2 / R

R variable à  | a | variable  

  

Trabajo

 

ΔEc = 0 à W = 0 

W = F . d

Donde

W = trabajo

F = fuerza neta es radial (m ac)

d  = distancia recorrida es tangencial 

"." = producto escalar

reemplazando

W = F(ǔr) . d(ǔt) = 0 

    

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.3 - Trabajo y Energía

 

a.     ¿Qué fuerza constante debe ejercer el motor de un automóvil cuya masa es de 1500 kg para que aumente la velocidad del auto de 4 km/h a 40 km/h en 8 s?

 

F = m a

 

Donde

F = fuerza

m = masa = 1500 kg

a = aceleración = (vf – vi) / t

vf = velocidad final = 40 km/h (1000 m/1 kg) (1 h / 3600 s) = 11,11 m/s

vi = velocidad inicial = 4 km/h (1000 m/1 kg) (1 h / 3600 s) = 1,11 m/s

t = tiempo = 8 seg

 

Reemplazando

F = 1500 kg (11,11 m/s – 1,11 m/s) / 8 seg = 1875 N

 

 

b.     Determinar la variación de la cantidad de movimiento y de la energía cinética.

 

cantidad de movimiento (p)

Δp = pf – pi

 

Donde

Δp = variación de la cantidad de movimiento

pf = cantidad de movimiento final = m vf

pi = cantidad de movimiento inicial = m vi

 

reemplazando

Δp = m (vf – vi) = 1500 kg (11,11 m/s – 1,11 m/s) = 15000 kg.m/s

 

 Energía cinética (Ec)

ΔEc = Ecf – Eci

 

Donde

ΔEc = variación de la energía cinética

Ecf = energía cinética final = 1/ 2 m vf^2

Eci = energía cinética inicial = 1/ 2 m vi^2

 

Reemplazando

ΔEc = 1 /2 m (vf^2 – vi^2) = 1/ 2 * 1500 kg ((11,11 m/s)^2 – (1,11 m/s)^2) = 91667 J

 

 

c.      Determinar el trabajo hecho por la fuerza

 

 

ΔEc = W

 

Donde

ΔEc = variación de la energía cinética

W = trabajo de la fuerza neta

 

Reemplazando

W = ΔEc = 91667 J 

 

 

d.     Calcular la potencia media del motor. 

 

Pot = W / t

 

Donde

Pot = potencia media

W = trabajo = 91667 J

t = tiempo = 8 seg

 

Reemplazando

Pot = 91667 J / 8 seg = 11458 watt

 

 

e.      ¿Cuánto se desplazó?

 

W = F d

 

Donde

W = trabajo de la fuerza = 91667 J

F = fuerza = 1875 N

d = desplazamiento

 

Reemplazando y despejando d

d = W / F = 91667 J / 1875 N = 48,9 m