Cuatro resortes idénticos de constante elástica k desconocida y longitud natural lo se hallan sosteniendo un cuerpo formado por dos pesas de masa m cada una, como muestra la Figura
a)
Sabiendo que
la posición de equilibrio del cuerpo se halla a una distancia d del techo, encuentre el valor de k.
Resortes en
serie
Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)
Unión de los resortes: F1 - F2 = 0
Cuerpo: F2 - P = 0
Resorte equivalente: Feq – P = 0
donde
F1 = fuerza elástica resorte 1= k1 x1
k1 = constante del resorte 1 = k
x1 = variación de la longitud del resorte 1
F2 = fuerza elástica resorte 2 = k3 x2
k2 = constante del resorte 2 = k
x2 = variación de la longitud del resorte 2
P = peso del cuerpo
Feq = fuerza equivalente = keq x
keq = constante del resorte equivalente
x = variación total del resorte equivalente
Despejando F en las ecuaciones de Newton
F1 = F2
F2 = P
Feq = P
La variación total del resorte equivalente
x = x1 + x2
Reemplazando las x
F / keq = F1 / k1 + F2 / k2
Despejando keq
keq = 1 / (1 / k1 + 1 / k2) = k / 2
Resortes
en paralelo
Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)
Cuerpo: F1 + F2 – P = 0
Resorte equivalente: Feq – P = 0
donde
F1 = fuerza elástica = k1 x1
k1 = constante del resorte 1 = k/2
x1 = variación de la longitud del resorte 1
F2 = fuerza elástica = k2 x2
k2 = constante del resorte 2 = k / 2
x2 = variación de la longitud del resorte 2
P = peso del cuerpo
Feq = fuerza equivalente = keq x
keq = constante del resorte equivalente
.x = variación total del resorte equivalente = x1 = x2
reemplazando F1 y F2 en la ecuación del cuerpo
k1 x + k2 x = P
keq x = P
keq = k1 + k2 = k / 2
+ k / 2 = k
Sistema equivalente
Ecuación de Newton (sistema en equilibrio)
Resorte equivalente: Feq – P = 0
donde
Feq = fuerza equivalente = keq x
.keq = constante del resorte equivalente = k
x = variación total del resorte equivalente = d – 2
lo
d = distancia al techo
lo = longitud natural de cada resorte
P = peso de ambos cuerpos = 2 m g
Reemplazando
k (d – 2 lo) = 2 m g
Despejando k
k
= 2 m g / (d – 2 lo)
b)
Estando el
sistema en su posición de equilibrio se retira una de las pesas sin perturbarlo
y se lo deja en libertad.
i)
Obtenga la
ecuación que rige el movimiento posterior del sistema. Calcule el período de
oscilación y la nueva posición de equilibrio.
Ecuación de Newton (sistema en equilibrio)
Resorte equivalente: Feq – P = 0
Donde
Feq = fuerza elástica equivalente = keq (xe – 2 lo)
keq = constante elástica equivalente = k
xe = longitud de equilibrio
lo = longitud natural de cada resorte
P = peso de un cuerpo = m g
Reemplazando
k (xe – 2 lo) = m g
Despejando xe
xe
= m g / k + 2 lo
Ecuación de Newton
Resorte equivalente: Fe – P = m a
Donde
Feq = fuerza elástica equivalente = k (x – 2 lo)
k = constante elástica equivalente
lo = longitud natural de cada resorte
P = peso de un cuerpo = m g
a = aceleración del sistema = d2x / dt2
Reemplazando en la ecuación de Newton
d2x
/ dt2 – k / m (x – 2 lo) + g = 0
Cambio de variable
.u = x – xe = x - (m g / k + 2lo)
Reemplazando
k x – k 2 lo – m g = k (x – 2 lo – m g / k) = k u
d2x / dt2 = d2u /
dt2
Reemplazando en la ecuación de Newton
d2u / dt2 + k/ m u = 0
La solución de esta ecuación diferencial es una
función seno o coseno con ω = (k / m)^(1/2)
Periodo
ω = 2π / T
Donde
ω = velocidad angular = (k / m)^(1/2)
T = periodo
Despejando T
T
= 2π / ω = 2π (m/ k)^(1/2)
ii)
Utilizando
las condiciones iniciales halle la posición del cuerpo en función del tiempo.
La solución general de esta ecuación diferencial
u = A cos
(ω t + φ)
Donde
A = amplitud
ω = velocidad angular = (k / m)^(1/2)
φ = ángulo de fase
Reemplazando
en x
x = A cos (ω t + φ) + xe
v = dx / dt = - A ω sen (ω t + φ)
Si no se
perturbo el sistema al quitar la segunda masa
Para t =
0 à x(0) = d y v(0) = 0
Reemplazando
x(0) = A cos (φ) + xe = d
v(0) = - A ω sen (φ) = 0
De la ecuación
de v
sen (φ) = 0
à φ = 0
de la
ecuación de x
A cos (0) =
d – xe à A = d – (m g/k + 2lo)
Reemplazando
en x
x = (d – (m g/k + 2 lo)) cos ((k/m)^(1/2) t) + m g / k + 2 lo
