Física 1P May24 T 623.1 – 2 Cinemática

Desde un puente de 12,8 m de altura respecto de la superficie libre de un río se dispara una flecha con una velocidad de módulo 20 m/s, que forma un ángulo de 37° hacia arriba con respecto a la horizontal. Una lancha viaja en el río, en sentido opuesto al avance de la flecha con una velocidad constante de módulo 16 m/s (respecto a Tierra), hacia la base del puente. La flecha se inserta en la lancha. Si se desprecia el rozamiento con el aire:

 

a.     Escriba el vector velocidad media desarrollada por la flecha en los primeros dos segundos de viaje.

 

vm = (x – xo)/t i + (y – yo)/t j

 

Donde

.vm = velocidad media

x = posición horizontal en el instante t = xo + vox t

xo = posición inicial = 0

vox = velocidad inicial según x = vo cos 37°

vo = velocidad inicial = 20 m/s

t = tiempo transcurrido = 2 seg

 

y = altura en el instante t = yo + voy t – 1/ 2 g t^2

yo = altura inicial = 12,8 m

voy = velocidad inicial según y = vo sen 37°

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

 

Reemplazando

vm = vo cos 37° i + (vo sen 37° – 1/ 2 g t) j = 20 m/s 0,8 i + (20 m/s 0,6 – 1/ 2 10 m/s² 2 seg) j = 16 m/s i + 2 m/s j

 

b.     ¿A qué distancia de la base del puente está la lancha en el instante en que la flecha es disparada?

 

Flecha

x = xo + vox t

y = yo + voy t – 1/ 2 g t^2

 

donde

xf = posición de la flecha en el instante te

te = tiempo que tarda en llegar al rio y se encuentra con la lancha

y = altura en el instante te = 0

yo = altura inicial = 12,8 m

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de la altura

0 = 12,8 m + 20 m/s 0,6 t – 1/ 2 10 m/s²  t^2

 

Esta cuadrática tiene dos soluciones

t1 = -0,8 seg (descartada)

t2 = 3,2 seg

 

Reemplazando en la ecuación de la posición

xf = 0 + 20 m/s 0,80 3,2 seg = 51,2 m

 

Lancha

xl = D - vl te

 

Donde

xl  = posición de la lancha en el instante te = xf = 51,2 m

D = distancia de la base del puente está la lancha en el instante en que la flecha es disparada

vl = velocidad de la lancha = 16 m/s

 

Reemplazando y despejando D

D = xl + vl  te = 51,2 m + 16 m/s 3,2 seg = 102,4 m

 

c.      Calcule el módulo de la velocidad de la flecha en el instante en que impacta en la lancha.

 

| v | = raíz (vx^2 + vy^2)

 

Donde

| v | = módulo de la velocidad

 

vx = velocidad según x = vox

vox = velocidad inicial según x = vo cos 37°

 

vy = velocidad según y = voy – g te

voy = velocidad inicial según y = vo sen 37°

 

 

Reemplazando

 | v | = raíz ((20 m/s 0,80)^2 + (20 m/s 0,6 – 10 m/s² 3,2 seg)^2) = 25,61 m/s

 

 

 

Física 1P May24 T 623.1 – 1 Cinemática

Un avión debe volar desde una localidad A hacia otra B, ubicada a 840 km en dirección N 37° O, en un día que sopla un viento muy fuerte de Oeste a Este a 299 km/h. Si el viaje dura 4 h:

 

a.     Calcule el módulo de la velocidad que debe desarrollar el avión respecto al viento para llegar a destino.

 

 

 

VaT = Vav + VvT (ecuación vectorial)

 

Donde

VaT = velocidad del avión respecto a Tierra = dAB / t

dAB = distancia entre AB = 840 km

t = tiempo del viaje = 4 h

Vav = velocidad del avión respecto al viento

VvT = velocidad del viento respecto a Tierra = 299 km/h

 

 

OE:  VaT sen 37° = Vav cos θ – VvT

NS: VaT  cos 37° = Vav sen θ

 

Donde

OE = dirección Oeste Este

NS = dirección Norte Sur

θ = Angulo del avión con respecto al viento

 

| Vav | = raíz ((Vav sen θ)^2 + (Vav cos θ)^2)

 

Reemplazando

| Vav | = raíz ((dAB / t sen 37° + VvT)^2 + (dAB / t cos 37°)^2) = raíz ((840 km / 4 h 0,60 + 299 km/h)^2 + (840 km / 4 h 0,80)^2)  = 457 km/h

 

 

b.     Indique el ángulo que debe formar la dirección en la que debe orientar el piloto al avión, respecto de la dirección Oeste-Este.

 

tan θ = (Vav sen θ) / ( Vav cos θ)  

 

Reemplazando y despejando θ

θ = arco tan ((840 km / 4 h 0,60 + 299 km/h) / (840 km / 4 h 0,80)) = 21,6°

 

 

 

 

Física 1P May24 T 622.1 – 4 Dinámica

El sistema de la figura, compuesto por un bloque A de 10 kg y otro B de 20 kg, se encuentra sobre una superficie horizontal. El rozamiento entre todas las superficies es despreciable. Considere a la soga y a la polea fija ideales. En cierto instante, se aplica una fuerza F constante de 75 N, en la dirección indicada. Considerando el movimiento mientras que el bloque A se mantiene sobre B, realice los diagramas de cuerpo libre de cada bloque y:

 

 

 

DCL

 

 

a.     Calcule la intensidad de la fuerza que la superficie de apoyo le ejerce al bloque B.

 

Bloque A

Según x: Fx – T = mA a

Según y: Fy + NA – PA = 0

 

Bloque B:

Según x: T = mB a

Según y: NB – NA – PB = 0

 

Donde

Fx = componente x de la fuerza  F = F cos 53°

Fy = componente y de la fuerza  F = F sen 53°

F = fuerza constante = 75 N

T = tensión de la cuerda

mA = masa del carrito A = 10 kg

a = aceleración del sistema

NA = reacción del cuerpo B sobre el cuerpo A

PA = peso del cuerpo A =mA g

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

mB = masa del cuerpo B = 20 kg

NB = reacción de la superficie de apoyo sobre el cuerpo B

PB = peso del cuerpo B = mB g

 

Sumando las ecuaciones según y

Fy – PA + NB – PB = 0

 

Reemplazando y despejando NB

NB = mA g + mB g – F sen 53° = (10 kg + 20 kg) 10 m/s²  - 75 N sen 53° = 240 N

 

 

b.     Determine el módulo de la aceleración que adquiere el sistema.

 

Sumando las ecuaciones según x

Fx = mA a + mB a

 

Reemplazando y despejando a

a = F cos 53° / (mA + mB) = 75 N cos 53° / (10 kg + 20 kg) = 1,5 m/s²  

 

c.     ¿Cuál es la intensidad de la fuerza que soporta la pared?

 

R – T – T = 0

Donde

R = resistencia que soporta la pared

 

Reemplazando

R = 2 R = 2 mB a = 2 * 20 kg 1,5 m/s² = 60 N

 

 

Física 1P May24 T 622.1 – 3 Cinemática

Una motocicleta realiza la trayectoria circular de 2 m de radio que se muestra en la figura, en sentido antihorario. Parte desde el punto A con cierta velocidad angular, y 4 segundos después pasa por primera vez por B con una velocidad angular igual al doble de la que tenía en A. El movimiento puede asumirse uniformemente variado. Considere el sistema de referencia indicado:

 

 

 

 

a.  Escriba el vector aceleración de la motocicleta al pasar por primera vez por el punto B.

 

Ecuaciones horarias

θ = θo + ωo t + 1 /2 γ t^2

ω = ωo  + γ t

 

Donde

θ = ángulo barrido en B  = π / 2

θo = ángulo inicial en A = 0

ωo = velocidad angular inicial

ω = velocidad angular en t = 2 ωo

γ = aceleración angular

t = tiempo transcurrido = 4 seg

 

Reemplazando en la ecuación de la velocidad y despejando γ

γ = (2 ωo – ωo) / t = ωo / 4 seg

 

Reemplazando en la ecuación angular

π / 2 = 0 + ωo 4 seg + 1/ 2 (ωo / 4 seg) (4 seg)^2 = 6 ωo seg

 

Despejando ωo

ωo = π / 2 1/ 6 seg = π / 12 1 / seg

 

Reemplazando en γ

γ = (π / 12) 1 / seg / 4 seg = π / 48 1 / seg²

 

Aceleración tangencial (-i)

at = γ R

 

Donde

at = aceleración tangencial

R = radio = 2 m

 

Reemplazando

at = π / 48 1 / seg²  2 m = π / 24 m/seg²

 

Aceleración centrípeta (-j)

ac = ω^2 R

 

Donde

ac = aceleración centrípeta

ω = velocidad angular = 2 ωo

 

Reemplazando

ac = (2 π / 12 1 / seg)^2  2 m = = π^2 / 18 m/seg²

 

a = at + ac (ecuación vectorial)

 

Donde

.a = vector aceleración

 

Reemplazando

a = - π / 24 m/seg² i - π^2 / 18 m/seg² j

 

 

b. Calcule el vector aceleración media desarrollada por la motocicleta en esos 4 segundos que demoró el viaje de A hacia B.

 

am = (vB – vA) / t

 

Donde

am = aceleración media

vB = velocidad en B = ω R (-i)

vA = velocidad en A = ωo R (j)

 

Reemplazando

am = (- 2 π / 12 1 / seg 2 m / 4 seg) i + (π / 12 1 / seg 2 m / 4 seg) j

am = (-  π / 12 m/seg²) i + (π / 24 m/seg²) j

 

 

Física 1P May24 T 622.1 – 2 Cinemática

Un objeto es lanzado en forma oblicua y tarda 16 segundos en volver a la altura de lanzamiento. Durante el vuelo, en el que pueden despreciarse los rozamientos, el módulo mínimo de su velocidad es 4 m/s.

 

a. ¿Cuál es la altura máxima, respecto del nivel de lanzamiento, que alcanza el objeto?

 

Ecuación horaria de la altura

y = yo + voy t  - 1/ 2 g t^2

 

Donde

y = altura en el instante t = yo

yo  = altura inicial

voy = velocidad inicial según y

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

t = tiempo = 16 seg

Reemplazando y despejando voy

voy = 1 /2 g t = 1/ 2 10 m/s² 16 seg = 80 m/s

Ecuación horaria de la velocidad

 v = voy - g t

 

Donde

v = velocidad en el instante r = 0 (altura máxima)

 

Reemplazando y despejando t

t = voy / g = 80 m/s / 10 m/s² = 8 seg

 

Reemplazando en la ecuación de altura

y = yo + voy t – 1/ 2 g t^2 = yo + 80 m/s 8 seg – 1/ 2 10 m/s² (8 seg)^2 =  yo + 320 m

( y – yo) = 320 m

 

 

b.  Escriba el vector desplazamiento para los primeros 10 segundos de vuelo.

 

r = x i + y j

 

Donde

r = vector desplazamiento

x = desplazamiento según x = vox t

vox = velocidad inicial según x = 4 m/s

t = tiempo transcurrido = 10 seg

 

y = desplazamiento según y = yo + voy t – 1/ 2 g t^2

yo = altura inicial = 0

voy = velocidad inicial = 80 m/s

 

Reemplazando

r  = (4 m/s  10 seg) i + ( 80 m/s 10 seg – 1 /2 10 m/s² (10 seg)^2  ) j = 40  m  i + 300 m j

 

 

Física 1P May24 T 622.1 – 1 Cinemática

 Un día de mucho calor, el nadador Johnny Memojo entrena para una competencia, nadando entre dos muelles A y B que están distanciados 1,2 km, sobre la misma orilla de un río. Su velocidad respecto del agua tanto a la ida como al regreso tiene igual módulo constante. Ese día, la corriente es paralela a la orilla, y la rapidez del agua respecto de Tierra es 125 m/min. Si a la ida, desde A, Johnny nada a favor de la corriente, tardando 3 minutos en llegar a B, y se desprecia el lapso de tiempo en que invierte el sentido de nado:

 

a.     ¿Cuánto tarda en regresar de B hacia A?

 

Ida: VnTI = Vna + VaT

Vuelta: VnTV = Vna – VaT

 

Donde

VnTI = velocidad del nadador respecto de Tierra a la ida = dAB / tI

dAB = distancia entre los muelles A y B = 1,2 km = 1200 m

tI = tiempo de ida = 3 min

Vna = velocidad del nadador respecto al agua

VaT = velocidad del agua con respecto a Tierra = 125 m/min

VnTV = velocidad del nadador con respecto a Tierra a la vuelta = dAB / tV

 tV = tiempo de vuelta

 

Reemplazando en la ida y despejando Vna

Vna = dAB / TI – vaT = 1200 m / 3 min  - 125 m/ min = 275 m/min

 

Reemplazando en la vuelta y despejando tV

tV =  dAB / (Vna – VaT) = 1200 m / (275 m/min – 125 m/min) = 8 min

 

 

b.     En el instante en que Johnny emprende su regreso de B hacia A, su novia, Elba Gallo, parte nadando desde A hacia B desarrollando una velocidad constante respecto al agua de módulo 100 m/min. ¿A qué distancia del muelle A se cruzan ambos nadadores?

 

Johnny: .xJ = xoJ – VJ te

Elba: xE = xoE + VE te

 

Donde

xJ = distancia recorrida por Johnny en te

xoJ = distancia entre AB = 1200 m

VJ = velocidad de Johnny = Vna – VaT = 275 m/min  - 125 m/min = 150 m/min

te = tiempo del encuentro

 

xE = distancia recorrida por Elba en te

xoE = posición inicial de Elba = 0

VE = velocidad de Elba = VEa + VaT = 100 m/min + 125 m/min = 225 m/min

 

Igualando (xJ = xE) y despejando te

te = xoJ / (VJ + VE) = 1200 m / (150 m/min + 225 m/min) = 3,2 min

Reemplazando en xE

xE = 225 m/min 3,25 min = 720 m

 

c. Grafique posición respecto a Tierra en función del tiempo para ambos nadadores, desde el instante en que Johnny parte de A hasta que regresa a dicho muelle. Indique en el gráfico los valores característicos del viaje de cada uno.

 

 

 

Física 1P May24 T 621.1 – 4 Dinámica

Los carritos de la figura (cuyas masas son mA = 4 kg y mB = 6 kg) están apoyados sobre superficies carentes de rozamiento, ligados por una soga ideal que pasa por una polea fija, también ideal. Sobre A se aplica una fuerza F orientada 37° hacia arriba respecto a la horizontal.

 

 DCL

 

 

a.     Calcule la intensidad de la fuerza F necesaria para mantener al sistema en equilibrio.

 

Carrito A según x: - Fx + T = 0

Carrito B según x: - T + PBx = 0

 

Donde

Fx = componente según x de la fuerza F = F cos 37 °

T = tensión de la cuerda

PBx = componente x del peso del carrito B = mB g sen 37°

mB = masa del carrito B = 6 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

 

Reemplazando y sumando ambas ecuaciones

mB g sen 37° - F cos 37° = 0

 

Despejando F

F = mB g sen 37° / cos 37° = 6 kg 10 m/s² 0,60 / 0,80 = 45 N

 

 

b.     Halle la intensidad de la tensión en la cuerda en el caso considerado en el ítem anterior.

 

Reemplazando y despejando T en la ecuación del carrito B

T = mB g sen 37° = 6 kg 10 m/s² 0,60 = 36 N

 

 

c.      Si se suprime la fuerza F, ¿cuál es la aceleración del bloque B? Indique claramente su sentido

 

 

Carrito A según x: T = mA a

Carrito B según y: - T + PBx = mB a

 

Donde

mA = masa del carrito A = 4 kg

a = aceleración del sistema

 

Reemplazando y sumando ambas ecuaciones

mB g sen 37°  = mA a + mB a

 

Despejando a

a = mB g sen 37° / (mA + mB) = 6 kg 10 m/s² 0,60 / ( 4 kg + 6 kg) = 3,6 m/s²