Física UBA XXI Guía 7.2.3. Dinámica

2.3. Se desea subir una caja de 24 kg por una rampa de 2,5 m de longitud que se encuentra inclinada 30° respecto al piso.

a. Si se considera que no hay fuerza de fricción entre la caja y el piso:

¿Cuál es la mínima velocidad inicial que debe imprimirse a la caja para poder llegar al final de la rampa (2,5 m)?

ΔEm = EmB – EmA = 0 (no hay trabajo de fuerzas no conservativas)

 

Donde

ΔEm = variación de  la energía mecánica

 

EmB = energía mecánica en B (final de la rampa) = EcB + EpB

EcB = energía cinética en B = 1/ 2 m vB²

m = masa = 24 kg

vB = velocidad en B = 0

EpB = energía potencial en B  = m g hB

g = aceleración de la gravedad = 9,8 m/s²

hB = altura = L sen 30º

L = longitud de la rampa = 2,5 m 

 

EmB = m g L sen 30º

 

EmA = energía mecánica en A (inicio de la rampa) = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 1/ 2 m vi²

vA = velocidad en A

EpA = energía potencia en A  = m g hA

hA = 0

 

EmA = 1/ 2 m vA²

 

reemplazando y despejando vA

 

vA =  ( m g L sen 30º  / (1/ 2) m )^1/2 = (2 g L sen 30º)^1/2  = (2* 9,8 m/s² 2,5 m  sen 30º)^1/2  = 4,95 m/s  

 

¿Cuánto es el valor que posee la energía mecánica inicialmente? ¿Y al llegar al final de la rampa?

 

EmA = 1/ 2 m vA²  = 1/ 2 * 24 kg (4,95 m/s)²  ) = 294 J

 

EmB = m g L sen 30º  = 24 kg 9,8 m/s² 2,5 m  sen 30º = 294 J

 

ΔEm = EmB – EmA = 0 (no hay trabajo de fuerzas no conservativas) --------- EmA = EmB

 

b. Si ahora desea subir otra caja de 24 kg pero cuyo material posee un coeficiente de fricción dinámico con la rampa de 0,29 y la arroja con la misma velocidad que calculó en el ítem a), ¿a qué altura se detendrá la caja?

 

ΔEm = EmC – EmA = Wfroz

 

Donde

ΔEm = variación de  la energía mecánica

 

EmC = energía mecánica en C (donde se detiene la caja) = EcC + EpC

EcC = energía cinética en C = 1/ 2 m vC²

m = masa = 24 kg

vC = velocidad en C = 0

EpC = energía potencial en C  = m g hC

g = aceleración de la gravedad = 9,8 m/s²

hC = altura

 

EmC = m g hC

 

EmA = energía mecánica en A (inicio de la rampa) = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 1/ 2 m vA²

vA = velocidad en A = 4,95 m/s

EpA = energía potencia en A  = m g hA

hA = 0

 

EmA = 1/ 2 m vA²

 

Wfroz = trabajo de la fuerza de rozamiento = Froz d cos 180º

Froz = fuerza de rozamientos

d = distancia recorrida en el plano = hC / sen 30º

 

Wfroz = - Froz hC / sen 30º

 

 

Según x ------------- - Froz – Px = m a

Según y ------------  N – Py = 0

 

Donde

Froz  = fuerza de rozamiento = μ N

μ = coeficiente de rozamiento = 0,29

N = reacción del plano

Px = componente según x del peso = P sen 30º

Py = componente según y del peso = P cos 30º

P = peso = m g

m = masa = 24 kg

g = aceleración de la gravedad = 9,8 m/s²

 

Reemplazando y calculando Froz

Froz = μ N = μ Py = μ P cos 30º = μ m g cos 30º 

 

 

Reemplazando en ΔEm

m g hC -  1/ 2 m vA² =  - μ m g cos 30º hC/ sen30º

 

despejando h

hC = (1/ 2  m vC² ) / (m g + μ m g cos 30º /sen 30º) = (4,95 m/s)²  / (2 * 9,8 m/s² (1 + 0,29/tan 30º)) = 0,83 m  --- altura

 

¿Cuánta distancia deslizó sobre la rampa?

 

Reemplazando en d

d = hC /  sen 30º = 0,83 m / sen 30º = 1,66 m ----------- distancia sobre la rampa

 

 

¿Cuánto vale la energía mecánica, la energía cinética y la energía potencial en la situación inicial?

 

Reemplazando

EmA = 1/ 2 m vA²  = 1/ 2 * 24 kg (4,95 m/s)²  ) = 294 J

EcA =  1/ 2 m vA²  = 1/ 2 * 24 kg (4,95 m/s)²  ) = 294 J

EpA = 0

 

¿Y en la situación final?

 

Reemplazando

EmB = m g hB  =  24 kg 9,8 m/s²   0,83 m = 195,7 J

EcB = 0

EpB = m g hB  =  24 kg 9,8 m/s²   0,83 m = 195,7 J