Biofísica 3 Termodinámica (20) 28. Primer principio

La tasa metabólica y el intercambio de calor:

a) Un cuerpo en contacto con un ambiente a distinta temperatura intercambia calor fundamentalmente por convección y radiación. Para ambos mecanismos, el calor intercambiado por unidad de tiempo es directamente proporcional a la superficie del cuerpo. Considere dos cubos de aristas 1 cm y 10 cm, del mismo material, a la misma temperatura inicial, e inmersos en un ambiente de menor temperatura. Demuestre que la velocidad de enfriamiento (venfr = ΔT/ Δτ) del cubo grande es la décima parte de la del cubo chico.

 

Q/Δt = k  A  ΔT / Δx (Ley de Fourier)

 

donde

Q/Δt = Flujo de calor

Q = calor cedido por el cuerpo = m ce ΔT

ce = calor específico

m =  masa = δ V

δ = densidad

V = Volumen

ΔT = diferencia de temperatura entre el interior y el exterior del cuerpo

 

Δt = tiempo transcurrido

k  =  conductividad característica del cuerpo

A = área

Δx = espesor de la “piel” del cuerpo

ΔT = diferencia de temperatura entre el interior y el exterior del cuerpo

 

 

Reemplazando

δ  V  ce  ΔT / Δt = k  A  ΔT / Δx

 

despejando v = ΔT / Δt

v = ΔT / Δt = k  A  ΔT / (δ  V  ce  Δx)

 

para ambos cubos k, ΔT, δ ce y Δx son iguales

 

El cociente entre ambas velocidades

v1/v2 = (A1/V1) / (A2/V2)

 

Cubo 1 (grande)

A1 = 6  (10 cm)^2 = 6 x 10^2 cm²

V1 = (10cm)^3  = 10^3 cm³

 

Cubo 2 (pequeño)

A2 = 6 (1 cm)^2 = 6 cm²

V2 = (1 cm)^3  = 1 cm³

 

v1/v2 = (6 x 10^2 cm²/ 10^3 cm³) / (6 cm²/ 1 cm³) = 1/10

 

10 v1 = v2  à 10 velocidad del cubo grande = velocidad del cubo pequeño

 

b) Con el resultado obtenido en a), a igualdad de restantes condiciones, ¿quién disipa más rápidamente calor por unidad de masa un adulto o un niño?

 

v = k A ΔT / m (Ley de enfriamiento de Newton)

 

donde

v = velocidad de enfriamiento

k = constante (conductividad característica del cuerpo / (calor especifico del cuerpo * espesor de la piel)

A = área

ΔT = diferencia de temperatura entre el interior y el exterior del cuerpo

m = masa

 

En las personas

Area (la piel) es proporcional al cuadrado de la talla = a t^2

Masa (masa corporal) es proporcional al cubo de la talla = b t^3

 

Donde

a, b = son los factores de proporcionalidad

t = talla

 

Adulto = (1)

Niño = (2)

 

t1 > t2   à t2 / t1 < 1

 

Reemplazando

v1 = k a t1^2 ΔT / (b t1^3)

v2 = k a t2^2 ΔT / (b t2^3)

 

El cociente v1 / v2

v1/v2 = (1/t1) / (1/t2) = t2 / t1

 

.v1 = t2 / t1 v2  à v1 < v2

 

El niño disipa más rápidamente calor por unidad de masa que un adulto

 

 c) ¿Cómo asociaría sus conclusiones de b) con los valores de la tasa metabólica por unidad de peso de un niño y de un adulto?

 El niño tiene la tasa metabólica por unidad de masa mayor que los adultos

 

d) Respecto a la alimentación, el niño debe alimentarse más, ¿sólo debido a que está creciendo?

La mayor ingesta por unidad de masa obedece a la mayor tasa metabólica.

 

El niño debe alimentarse más (por unidad de masa) que un adulto