Un juego de un parque de diversiones consiste en un carrito de masa m1 que se desplaza sobre un riel semicircular de radio R carente de rozamiento. El carrito es arrastrado mediante una soga que se desliza a lo largo del riel que está enganchada a un sistema de poleas del cual cuelga un contrapeso de masa m2. Este contrapeso se mueve sobre un plano inclinado que forma un ángulo a con la horizontal. Considere que las sogas son inextensibles y sin masa, y que las sogas tienen masas despreciables.
Escriba las ecuaciones de Newton y de vínculo para
ambas masas.
AB + BD + DC = longitud de la soga
A´B + BD´ +
D´C = longitud de la soga
Restando
ambas ecuaciones
A´B – AB +
BD´ - BD + D´C – DC = 0
d – x – x
= 0 à d = 2 x
Donde
d =
espacio recorrido por el carrito = A´B – AB = R j
x =
espacio recorrido por la polea 2 (contrapeso) = - (BD´ - BD) = - (D´C – DC)
R j = 2 x
Cuerpo 1.
Según r: N1 – P1r = m1 ac
Cuerpo 1.
Según y: T1 – P1t = m1 at
Polea 1: -
T1 + T1 = 0 (polea ideal)
Polea 2: -
T1 – T1 + T2 = 0 (polea ideal)
Cuerpo 2. Según
x: P2x – T2 = m2 a2
Cuerpo 2.
Según y: N2 – P2y = 0
Donde
N1 =
reacción del plano al carrito 1
P1r =
componente radial de P1 = P1 cos φ
P1t =
componente tangencial de P1 = P1 sen φ
φ = ángulo
con la vertical
P1 = peso
del carrito = m1 g
m1 = masa
del carrito
ac =
aceleración centrípeta = v^2 / R = ω^2 R
v =
velocidad tangencial
ω =
velocidad angular
R = radio
del riel
T1 =
tensión de la soga = T
at = aceleración
tangencial = R γ
γ = aceleración
angular = d2φ/dt2
T2 =
tensión de la soga
P2x =
componente según x de P2 = P2 sen α
P2y =
componente según y de P2 = P2 cos α
P2 = peso
del cuerpo = m2 g
m2 = masa
del cuerpo
a2 = aceleración
del contrapeso = d2x/dt2
N2 =
reacción del plano al cuerpo 2
Reemplazando
Polea móvil:
T2 = 2 T
Vinculo de
la soga
R j = 2 x
Derivada segunda
R d2φ/dt2 = 2 d2x/dt2
à
d2x/dt2 = R / 2 d2φ/dt2
Reemplazando
en las Ecuaciones de Newton
T
– m1 g sen φ
= m1 R d2φ/dt2
m2
g sen α
– 2 T = m2 R / 2 d2φ/dt2
a.
Diga para qué valor de j el carro podrá permanecer en reposo.
Reemplazando
en la ecuación tangencial del carrito y según x del contrapeso
T – m1 g sen
φ = 0 (en reposo)
m2 g sen α –
2 T = 0 (en reposo)
Despejando
T
T = m1 g sen φ
T = m2 g sen α / 2
Reemplazando
m1 g sen φ = m2 g sen α / 2
Despejando sen φ
sen φ
= m2 sen α
/ (2 m1)
b.
Encuentre la velocidad del carro como función de j.
Reemplazando
en la ecuación tangencial del carrito y según x del contrapeso
T – m1 g sen φ = m1 R d2φ/dt2
m2 g sen α – 2 T = m2 R / 2 d2φ/dt2
Despejando T
T = m1 g sen φ + m1 R d2φ/dt2
T = (m2 g sen α –
m2 R / 2 d2φ/dt2) / 2
Igualando
ambas ecuaciones
m1 g sen φ + m1 R d2φ/dt2 = (m2 g sen α –
m2 R / 2 d2φ/dt2) / 2
Despejado d2φ/dt2
d2φ/dt2
= (- 2 m1 g sen φ + m2 g sen α) / (2 m1 R + m2 R / 2)
d2φ/dt2 = dω/dt = dω/dφ dφ/dt = ω dω/dφ
ω dω/dφ = - 2 m1 g sen φ / (2 m1 R + m2 R / 2) + m2 g sen α / (2 m1 R + m2 R / 2)
integrando
1 /2 ω^2 = 2 m1 g cos φ /
(2 m1 R + m2 R / 2) + m2 g sen α / (2 m1 R + m2 R / 2) φ
Multiplicando
por R^2
R^2 ω^2 = 2 R [2 m1 g cos φ /
(2 m1 + m2 / 2) + m2 g sen α / (2 m1 + m2 / 2) φ
v^2 = R^2 ω^2
v^2 = [4 R g (2 m1 cos φ + m2 sen α φ) / (4 m1 + m2)] + C
c.
Resuelva numéricamente la ecuación de movimiento y
encuentre el tiempo que tarda el carrito en subir hasta j = p/2, suponiendo que sen a = 1/2, m1 = m2, j (0) = 0 y parte del reposo.
d2φ/dt2 = (- 2 m1 g sen φ + m2 g sen α) / (2 m1 R + m2 R / 2)
Para sen a = 1/2, m1 = m2 = m, j (0) = 0 y parte del reposo (vo = 0)
d2φ/dt2 = g / R 1 /5 (1 - 4 sen φ)
Para φ = 0
d2φ/dt2
= g / (5 R) > 0
Con vo = 0 à el carrito está subiendo y aumentando su velocidad
d2φ/dt2 = 0 à (1 - 4 sen φ) = 0 à
1 / 4 = sen φ
Despejando φ
φ = arco sen (1 /4) = 14,5°
A partir de
φ = 14,5° la aceleración es negativa el carrito comienza a frenarse
Reemplazando
en v (las condiciones iniciales)
v^2 = 8 / 5 R g (4 cos φ +
φ - 4)
v^2 = 0 (comienza a bajar) à ( 4 cos φ + φ - 4) = 0
Esta ecuación
tiene como soluciones
φ = 0 (coincide con la condición de contorno)
φ = 29,3° < 90° ( p/2)
Nunca llega a p/2
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