Física 1 (Exactas) Practica 5.12 - Sistemas no inerciales

Una bolita de masa m se encuentra engarzada en un alambre circular de radio R, ubicado en posición vertical. El aro de alambre gira alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω constante.

 

 

a.     Escriba las ecuaciones de Newton utilizando un sistema de referencia fijo al aro, indicando las fuerzas de interacción que actúan sobre la bolita.

 

Fuerzas de Interacción

P = peso de la bolita = m g

N = Normal ejercida por el alambre (perpendicular a la trayectoria - dirección radial)

 

Fuerzas Inerciales

Fcf = Fuerza centrífuga = m ω^2 D

Fco = Fuerza de Coriolis = - 2 m ω x v

 

 

Ecuaciones de Newton (para sistema no inercial)

Dirección radial: N - Fcfr – Pr = m ac

Dirección perpendicular:  Fcfp – Pt = m at

 

Donde

N = Normal

Fcfr = componente radial de la fuerza centrífuga = Fcf sen φ

Fcfp = componente perpendicular de la fuerza centrífuga = Fcf cos φ

Fcf = Fuerza centrífuga = m ω^2 D

ω = velocidad angular del aro

D = radio de giro de la masa = R sen φ

R = radio del aro

Pr = componente radial del peso = P cos φ

Pt = componente perpendicular del peso = P sen φ

P = peso = m g

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R = Ω^2 R

v = velocidad tangencial de la masa

Ω = velocidad angular de la masa = dφ / dt

at = aceleración tangencial = d²x / dt² = R d²φ / dt² 

 

Reemplazando

N -  m ω^2 R sen φ sen φ -  m g cos φ = m R (dφ / dt)^2

m ω^2 R sen φ cos φ -  m g sen φ = m R d²φ / dt²

 

 

Ecuación diferencial

d²φ / dt² -  ω^2 sen φ cos φ + g / R sen φ = 0

 

 

b.     Calcule las posiciones de equilibrio y analice la estabilidad de las mismas.

 

Posición de equilibrio

 

 m ω^2 R sen φ cos φ -  m g sen φ = 0

 

Reordenando

m sen φ (ω^2 R cos φ -  g) = 0

 

sen φ = 0 à

φ1 = 0

φ2 = π

 

(ω^2 R cos φ -  g) = 0 à

cos φ3 = g / (ω^2 R)

Solo existe si g / (ω^2 R) < 1 à  g / R < ω^2

 

 

Análisis de estabilidad – pequeñas perturbaciones

 

FN = m ω^2 R sen φ cos φ -  m g sen φ

Con FN = Fuerza Neta

 

φ = φeq + ε

Con ε pequeña perturbación

 

Serie de Taylor de 1er orden de FN

FN(φeq + ε) = m ω^2 R sen φeq cos φeq -  m g sen φeq +

                        (m ω^2 R cos φeq cos φeq - m ω^2 R sen φeq sen φeq -  m g cos φeq) ε =

                     = (m ω^2 R cos φeq cos φeq - m ω^2 R sen φeq sen φeq -  m g cos φeq) ε

 

Para φ1 = 0

FN(ε) = (m ω^2 R -  m g) ε

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² - (ω^2 -  g / R) ε = 0

 

Si (ω^2  -  g / R ) > 0 à la solución de la ecuación es exponencial

ω^2  > g / R à el equilibrio es inestable

 

Si (ω^2  -  g / R ) <  0 à la solución de la ecuación es oscilatoria

ω^2  <  g / R à el equilibrio es estable

 

 

Para φ2 = π

FN(π + ε) = (m ω^2 R + m g) ε

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² - (ω^2 + g / R) ε = 0

 

(ω^2 + g / R ) > 0 à la solución de la ecuación es exponencial à el equilibrio es inestable

 

Para  cos φ3 = g / (ω^2 R) con à   g / R  < ω^2

FN(φ3 + ε) = (m ω^2 R   -  m g^2 / (ω^2 R)) ε

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² - (ω^2   -  g^2 / (ω^2 R^2)) ε = 0

 

Si g / R  < ω^2  à (ω^2   -  g^2 / (ω^2 R^2)) < 0  à el equilibrio es estable

 

 

c.      Considere que inicialmente se suelta la masa m desde un ángulo φo, encuentre la fuerza de vínculo ejercida por el alambre en función de la posición de la bolita.

 

Ecuación diferencial

d²φ / dt² -  ω^2 sen φ cos φ + g / R sen φ = 0

 

 d²φ / dt² = dΩ / dt = (dΩ / dφ) ⁽dφ / dt) = (dΩ / dφ) Ω

 

Reemplazando

Ω dΩ / dφ = ω^2 sen φ cos φ -  g / R sen φ

 

Integrando

Ω^2 / 2 = ω^2 (sen φ)^2 / 2 + g / R cos φ + C

 

Para φ = φo à vo = 0  (Ωo = 0)

0 = ω^2 (sen φo)^2 + 2 g / R cos φo + C

C = - ω^2 (sen φo)^2 - 2 g / R cos φo

 

Reemplazando en Ω

Ω^2 = ω^2 ((sen φ)^2 - (sen φo)^2) + 2 g / R (cos φ - cos φo)

 

Reemplazando en la ecuación radial

N = m ω^2 (2 (sen φ)^2 - (sen φo)^2) + g m (3 cos φ – 2 cos φo)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 5.11 - Sistemas no inerciales

Dos masas m1 y m2 están unidas por una soga inextensible de longitud L y de masa despreciable (ver Figura). Los dos cuerpos están sobre un riel que gira con velocidad angular ω constante y el riel no permite que los cuerpos se muevan hacia los costados. En el instante t = 0, la masa m1 se encuentra en la posición A con velocidad nula con respecto al riel.

 

a.     En un sistema no inercial solidario al riel, indique cuáles son las fuerzas y cuáles son las pseudofuerzas que actúan sobre cada masa. Identifique los pares de acción y reacción.

 

Cuerpo 1

 

Fuerzas de interacción

 P1 = peso masa 1 = m1 g

 N1 = reacción normal del riel

 T = tensión de la soga

 

Pseudofuerzas (fuerzas de inercial)

 Fcf1 = fuerza centrífuga de la masa 1 = m1 ω^2 r

 Fco1 = fuerza de Coriolis = 2 m1 ω r (perpendicular al riel)

 

 Cuerpo 2

 

Fuerzas de interacción

 P2 = peso masa 2 = m2 g

 N2 = reacción normal del riel

 T = tensión de la soga

 

 Pseudofuerzas (fuerzas de inercial)

 Fcf2 = fuerza centrífuga de la masa 2 = m2 ω^2 x

 Fco2 = fuerza de Coriolis = 2 m2 ω x (perpendicular al riel)

 

 

b.     Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo en un sistema no inercial solidario al riel.

 

Ecuaciones de Newton (sistema no inercial)

Cuerpo1. Dirección radial: T – P1r + Fcf1r = m1 anr

Cuerpo1. Dirección perpendicular: N1p – P1p – Fcf1p – Fco1 = 0

Cuerpo1. Dirección lateral al riel: N1l  – Fco1 = 0

Cuerpo2. Dirección horizontal: Fcf2 – T = m2 anx

Cuerpo2. Dirección perpendicular: N2p – P2 = 0  

Cuerpo2. Dirección lateral al riel: N2l – Fco2 = 0

 

Donde

T = tensión de la soga

P1r = componente radial del peso = P1 sen α

P1p = componente perpendicular del peso = P1 cos α

P1 = peso masa 1 = m1 g

Fcf1r = componente radial de la fuerza centrípeta = Fcf1 cos α

Fcf1p = componente perpendicular de la fuerza centrípeta = Fcf1p sen α

Fcf1 = fuerza centrífuga de la masa 1 = m1 ω^2 r

ω = velocidad angular

r = distancia al eje de rotación

N1p = reacción normal del riel – perpendicular al plano

N1l = reacción normal del riel – lateral al riel

Fco1 = fuerza de Coriolis = 2 m1 ω r (perpendicular al riel)

anr = aceleración según la dirección radial = d²r / dt²

N2 = reacción normal del riel

N2p = reacción normal del riel – perpendicular al plano

N2l = reacción normal del riel – lateral al riel

Fcf2 = fuerza centrífuga de la masa 2 = m2 ω^2 x

x = distancia al eje de rotación

anx = aceleración según la dirección horizontal = d²x / dt²

 

Reemplazando

T – m1 g sen α + m1 ω^2 r cos α = m1 d²r / dt²

m2 ω^2 x – T = m2 d²x / dt²

 

 

Relaciones de vinculo

 

L = x + r

 

Con L = longitud de la cuerda

 

anx = anr (cuerda inextensible)

 

Reemplazando en las ecuaciones de Newton

T – m1 g sen α + m1 ω^2 (L – x) cos α = m1 d²x / dt²

m2 ω^2 x – T = m2 d²x / dt²

 

 

 

c.      Resuelva las ecuaciones de movimiento y describa cómo será el movimiento de las partículas.

 

Sumando ambas ecuaciones

m2 ω^2 x – m1 g sen α + m1 ω^2 (L – x) cos α = m1 d²x / dt² + m2 d²x / dt²

 

Reordenando

d²x / dt² + (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) x = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 + m2) 

Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) < 0 la solución es una función exponencial

(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) <  0 à m1 cos α – m2 < 0 à m1 cos α <  m2

 

 

Posición de equilibrio

 

m2 ω^2 xeq – m1 g sen α + m1 ω^2 (L – xeq) cos α = 0

 

despejando xeq

xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)

 

Definiendo la variable u

u = x - xeq

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²u / dt² + (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) u = 0

 

 

Opción I .

Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) > 0 la solución es una función de oscilación (MAS)

(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) > 0 à m1 cos α – m2  > 0 à m1 cos α > m2

 

La solución de la ecuación diferencial

u = A cos (Ω t + φ)

 

Reemplazando en x

x(t) = A cos (Ω t + φ) + xeq

 

Donde

A = amplitud de oscilación

Ω = velocidad angular de la oscilación = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)

φ = fase inicial

 

 

Para t = 0; x = L y v = 0

x(0) = A cos (φ) + xeq = L à A = (L – xeq)

v(0) = dx / dt  = - A Ω sen (φ) = 0  à φ = 0

 

 Reemplazando

x(t) = (L – xeq) cos (Ω t) + xeq

 

Con

xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)

 Ω = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)

 

 

Opción II.

Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) < 0 la solución es una función exponencial

(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) <  0 à m1 cos α – m2 < 0 à m1 cos α <  m2

 

La solución de la ecuación diferencial

u = A e^(λt) + B e^-(λt)

 

Reemplazando en x

x(t) = A e^(λt) + B e^-(λt) + xeq

 

Donde

A = amplitud de oscilación

λ = velocidad angular = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)

 

Para t = 0; x = L y v = 0

x(0) = A + B  + xeq  = L à A = (L – xeq) /2  

v(0) = dx / dt  = A λ - B λ  = 0   à A – B = 0 à A = B

 

 Reemplazando

x(t) = (L – xeq) / 2 (e^(λt) + e^-(λt)) + xeq

  

Con

xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)

 λ = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)