Física 1 (Exactas) Practica 1.1.6. Cinemática – Coordenadas cartesianas

 Un juego de un parque de diversiones consiste en una pelotita que se mueve por un carril rectilíneo con aceleración a = k t hacia la derecha, con k > 0. A t = 0, la pelotita se halla en reposo en el extremo izquierdo del carril (punto A). El jugador dispone de un rifle, ubicado a una distancia D del punto A, que dispara bolas con velocidad vo variable, pero con un ángulo α fijo.

 

 

a.     ¿Con qué velocidad vo debe disparar el jugador para que le sea posible acertar en la pelotita? ¿En otras palabras, para qué valor de vo las trayectorias de la bala y la pelotita se cruzan?

 

Jugador

 

rj(t)  = (xj(t) ; yj(t))

 

Donde

rj(t) = posición de la bala del jugador en el instante t

xj(t) = posición según x en el instante t

yj(t) = altura según y en el instante t

 

Ecuaciones horarias

xj = xo + vo cos α t

yj = yo + vo sen α t - 1/ 2 g t^2

 

Donde

xo = posición inicial = 0

yo = altura inicial = 0

vo = velocidad inicial

g = aceleración de la gravedad

 

Reemplazando en yj = 0 (puede encuentrar  la pelota),

yj = vo sen α t - 1/ 2 g t^2 = 0

 

Esta cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 0 (cuando se dispara)

t2 = 2 vo sen α / g (cuando llega)

 

Reemplazando en xj para (va a encontrar la pelota si cae despues de D)

xj = vo cos α 2 vo sen α / g = vo^2 sen 2 α / g > D

 

Despejando vo

vo > raíz cuadrada (D g / sen 2 α)

 

Nota:

D > 0; g > 0;  0 < α < 90° à sen 2 α > 0  à  D g / sen 2 α > 0 (existe la raiz cuadrada)

 

 b.     ¿Si vo es alguna de las velocidades halladas en a), en qué instante debe disparar el jugador para pegarle a la pelotita?

 

Jugador

 

rj(t) = (xj(t); yj(t))

 

xj = vo cos α (te – toj)

yj = yo + vo sen α (te – toj) - 1/ 2 g (te – toj)^2

 

Donde

te = tiempo del encuentro

toj = tiempo de lanzamiento del jugador

 

Pelotita

 

rp(t) = (xp(t); yp(t))

 

Donde

rp(t) = posición de la pelotita en el instante t

xp(t) = posición según x en el instante t

yp(t) = altura según y en el instante t = 0

 

Según x

ap = k t

integrando

ap = d vp / d t à vp(t) = 1/ 2 k t^2 + vop 

Con vop = 0 para to = 0

integrando

vp = d xp / d t à xp(t) = 1/ 6 k t^3 + xop

Con xop = D para to = 0

   

Reemplazando

xp(t) = 1/ 6 k t^3 + D

 

Según y

yp = 0

 

Ecuentro 

xj = xp, yj = yp = 0 para te

 

vo cos α (te – toj) = D + 1/ 6 k te^3

vo sen α (te – toj) - 1/ 2 g (te – toj)^2 = 0

 

despejando (te – toj) en la ecuación según y

(te – toj) = 0 (descartada)

(te – toj) =  2 vo sen α  / g

 

Reemplazando en la ecuación según x

vo cos α 2 vo sen α / g = D + 1/ 6 k te^3

 

despejando te

te = raíz cubica (6 (vo^2 sen 2 α / g – D) / k)

 

Despejando toj de la ecuación en (te – toj)

toj = te – 2 vo sen α / g

 

Reemplazando te

toj = raíz cubica (6 (vo^2 sen 2 α / g – D) / k) – 2 vo sen α / g