Aceleración variable 27. Una partícula se desplaza
siguiendo una trayectoria rectilínea. Para cada una de las siguientes
expresiones de la aceleración a(t)
de la partícula, encontrar la expresión más general para la velocidad v(t)
y la posición x(t).
a) a(t) = ao , donde ao es una constante.
a(t) = dv(t)/dt = ao
integrando
v(t) - vo = ∫ ao dt (integral entre t y to ) = ao
* (t – to)
reordenando
v(t) = ao * (t - to )+ vo <
------------ velocidad
v(t) = dx(t)/dt = ao * (t – to)
+ vo
integrando
x(t) - xo= ∫ ao * (t – to)
+ vo
dt
(integral entre t y to
) = ao * (t2/2 - to2/2) - ao
to (t - to) + vo * (t – to)
reordenando
x(t) = ½ ao * (t – to)2 + vo * (t – to) + xo
< -------- posición
b) a(t) = ao cos ω t, donde ao y ω son constantes.
a(t) = dv(t)/dt = ao cos (ω t)
integrando
v(t) – vo = ∫ ao
cos (ω
t) dt (integral entre t y to
) = ao / ω * ( sen (ω t) - sen (ω to))
reordenando
v(t) = ao / ω
* ( sen (ω t) - sen (ω to)) + vo < ------------ velocidad
v(t) = dx(t)/dt = ao / ω * ( sen (ω t) - sen (ω to)) + vo
integrando
x(t) - xo = ∫ ao / ω * ( sen (ω t) - sen (ω to)) + vo (integral entre t y to ) =
x(t) - xo
= ao
/ ω2 * ( - cos (ω t) + cos (ω to) ) - ao
/ ω
* sen (ω to) *(t – to)
+ vo
* (t – to)
reordenando
x(t) = ao
/ ω 2 * ( - cos
(ω t) + cos (ω to) ) - ao / ω
* sen
(ω to) *(t – to) + vo * (t – to) + xo <
------- posición
c) a(t) = A t², donde A es una constante.
a(t) = dv(t)/dt = A t2
integrando
v(t) - vo
= ∫ A t2 dt
(integral entre t y to ) = A * (t3 / 3 – to3
/ 3 )
reordenando
v(t) = A/ 3 * (t3 - to3 ) + vo <
------------ velocidad
v(t) = dx(t)/dt = A/ 3 * (t3 - to3
) + vo
integrando
x(t) - xo = ∫ A/ 3 * (t3 - to3
)+ vo dt (integral entre t y to ) =
x(t) -
xo = A/ 3 * (t4 / 4 - to4/ 4) – A/3 * to3
* (t - to ) + vo (t
- to )
reordenando
x(t)
= A/12 *( t4 – to4)
– A/3 * to3 * (t
- to) + vo (t - to) + xo < -------- posición
Una pregunta: En el c de x(t), ese – A/3 * to3 ¿Cómo se obtiene? Porque al integrar la velocidad, esa parte no me queda, sólo tengo x(t) = A/12 *( t4 – to4) + vo (t - to) + xo
ResponderEliminarTe falta integrar el termino A/3 to3
ResponderEliminarPartiendo de
v(t) = A/ 3 * (t3 - to3 ) + vo
desarollando
v(t) = A/ 3 * t3 - A/ 3 * to3 + vo
al integrar
x(t)- xo = A/ 12 * t4 - A/ 3 * to3 * t + vo * t (entre to y t)
aplicando la regla de Barrow
x(t)- xo = A/ 12 * t4 - A/ 3 * to3 * t + vo * t - (A/ 12 * to4 - A/ 3 * to3 * to + vo * to)
reordenando
x(t) = A/ 12 * (t4-to4) - A/ 3 * to3 * (t-to) + vo * (t-to) + xo
Claro, porque To se integra como una constante. Muchas gracias!
ResponderEliminar