Una masa m está enhebrada en un aro circular sin fricción de radio R y unida al extremo de un resorte de constante k y longitud natural nula (se considera despreciable frente al radio del aro). El otro extremo del resorte corre libremente a lo largo de un eje vertical, de modo tal que el resorte permanece siempre en posición horizontal (ver Figura).
a. Halle
las ecuaciones de Newton para m.
Dirección tangencial: Fet – Pt = m at
Dirección radial: N – Pr – Fer = m ac
Donde
Fet
= componente tangencial de la fuerza elástica = Fe cos θ
Fer
= componente radial de la fuerza elástica = Fe sen θ
Fe
= fuerza elástica = k ∆x
k
= constante del resorte
∆x = variación de la longitud del resorte = l – lo
l
= longitud del resorte = R sen θ
lo
= longitud natural del resorte = 0
Pt
= componente tangencial del peso = P sen θ
Pr
= componente radial del peso = P cos θ
P
= peso de la masa = m g
ac = aceleración centrípeta = v^2 / R = ω^2 R
v
= velocidad tangencial
ω = velocidad angular = dθ /dt
R
= radio del aro
at = aceleración tangencial =
γ R
γ =
aceleración angular = d2θ/dt2
N
= reacción del aro
Reemplazando
k R sen θ cos θ – m g sen θ = m R d2θ/dt2
N – m g cos θ – k R sen θ sen θ = m R (dθ/dt)^2
b. Si
inicialmente la masa se encuentra en θ = π/2 con
velocidad nula, halle la expresión de la fuerza de vínculo con el aro en
función del ángulo θ.
Despejando N de la ecuación de
Newton radial
N
= m R ω^2 + m g cos θ + k R sen θ
sen θ
La ecuación de Newton
tangencial
k R sen θ cos θ – m g sen θ =
m R d2θ/dt2
d2θ/dt2 = dω/dt = dω/dθ dθ/dt = dω/dθ ω
Reemplazando
m
R ω dω/dθ = k R sen θ cos θ – m g sen θ
Separando
variables e integrando
m
R ω^2 /2 = k R (sen θ)^2 / 2 + m g cos θ + C
Para
θ = π / 2 y v = 0 (à ω = 0)
0
= k R (sen π / 2)^2 / 2 + m
g cos π / 2 + C à C = - 1 /2 k R
m R ω^2 = k R (sen θ)^2 + 2 m g cos θ - k R
Reemplazando en N
N
= k R (sen θ)^2 + 2 m g cos θ
- k R + m g cos θ + k R sen θ
sen θ
N = 2 k R (sen θ)^2 + 3 m g cos θ - k R
c. Encuentre
las posiciones de equilibrio y analice si son estables o inestables.
La ecuación de Newton
tangencial
.k R sen θ cos θ – m g sen θ =
0 (equilibrio)
reordenando
sen θ (k R cos θ – m g) = 0
Las soluciones de esta ecuación
sen θ = 0 à θ1 = 0
(arriba) y θ2 = π (abajo)
(k R cos θ – m g) = 0 à cos θ3 = m g / (k R)
θ3 = arco cos (m g / (k R)) y θ3 existe si m g < k R
Análisis de estabilidad – Método
de perturbaciones
θ = θo + ε
donde
θ = ángulo
θo = ángulo de la posición de
equilibrio
ε = pequeño desplazamiento
Ecuación tangencial
m R d2θ/dt2 = k R sen θ cos θ – m g sen θ
Reemplazando
m R d2ε/dt2 = k R sen (θo + ε) cos (θo + ε) – m g sen (θo + ε)
Aproximación de Taylor en FN(θo +
FN(θo +
+ [k R cos(θo)
cos (θo) - k R sen (θo) sen (θo) – m g cos (θo)]
ε =
= [ 2 k R(cos(θo))^2
- k R – m g cos (θo)] ε
Reemplazando
d2ε/dt2 - [2 k R (cos (θo))^2 - k R – m g cos (θo)] / (m R) ε =
0
θ1 = 0 (arriba)
[2 k R (cos (0))^2 - k R – m g cos (0)] / (m R) = [k /
m – g / R]
Reemplazando en la ecuación diferencial
de ε
d2ε/dt2 - [k / m – g / R] ε
= 0
Si [k / m – g / R] < 0
à la solución de ε es una función seno ó coseno à estable
k / m < g / R à estable en θ1
= 0
Si [k / m – g / R] > 0
à la solución de ε es una función exponencial à inestable
k / m > g /
R à inestable en θ1 = 0
θ2 = π (abajo)
[2 k R(cos(π))^2 - k R – m g cos (π)] / (m R) = [ k / m + g / R]
Reemplazando en la ecuación
diferencial de ε
d2ε/dt2 - [ g / R + k /
m] ε = 0
[g / R + k / m ] > 0 à la solución de ε es una función exponencial à inestable
inestable siempre en θ2 = π
θ3 = arco cos (m g / (k R)) (θ3 existe si m g < k R)
d2ε/dt2 - [2 k R (m g / (k R))^2 - k R – m g (m g / (k R)] / (m R) ε = 0
d2ε/dt2 - k / m [(m g / (k R))^2 - 1] ε = 0
m g < k R à m g/ (k R) < 1 à (m g / (k R))^2 < 1 à [(m g / (k R))^2 - 1] < 0
k / m [(m g / (k R))^2 - 1] < 0 à la solución de ε es una función seno ó coseno à estable
k / m < g / R à estable en θ3 = arco cos (m g / (k R))
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